Linearkombination von Vektoren
Formel
Linearkombination von Vektoren
Unter der Linearkombination von Vektoren versteht man die Summe von mehreren Vektoren, wobei es sein kann, dass einzelne oder alle Vektoren auch noch mit einem Skalar multipliziert wurden.
\(\overrightarrow s = {\lambda _1} \cdot \overrightarrow {{a_1}} + {\lambda _2} \cdot \overrightarrow {{a_2}} + ... + {\lambda _n} \cdot \overrightarrow {{a_n}} \)
Lineare Abhängigkeit von Vektoren
- Zwei Vektoren sind linear abhängig und daher parallel zu einander, wenn das Kreuzprodukt der beiden Vektoren den Nullvektor ergibt.
- Zwei Vektoren sind linear abhängig und daher parallel zu einander, wenn es einen Faktor \(\lambda\)(=Skalar) gibt, mit dem man die Richtungsvektoren \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}} \end{array}} \right)\) des einen Vektors in die Richtungsvektoren des anderen Vektors durch Multiplikation umrechnen kann \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x} = \lambda \cdot {a_x}}\\ {{b_y} = \lambda \cdot {a_y}} \end{array}} \right)\)
- Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie in der selben Ebene liegen, also komplanar sind.
- Die drei Vektoren sind dann linear abhängig, wenn sich einer der Vektoren als Linearkombination der beiden anderen Vektoren anschreiben lässt.
\({\lambda _1} \circ \overrightarrow {{v_1}} + {\lambda _2} \circ \overrightarrow {{v_2}} = \overrightarrow {{v_3}} \)
- Mehrere Vektoren sind linear abhängig, wenn sie in einer Ebene liegen und durch Vektoraddition eine geschlossene Vektorkette bilden. Bei einer Vektorkette fallen Anfangs- und Endpunkt zusammen.
- Mehrere Vektoren sind dann linear abhängig, wenn sich eine Linearkombination angeben lässt, die den Nullvektor ergibt, wobei mindestens einer der Lambda-Koeffizienten ungleich null sein muss.
\({\lambda _1} \circ \overrightarrow {{v_1}} + {\lambda _2} \circ \overrightarrow {{v_2}} + {\lambda _3} \circ \overrightarrow {{v_3}} = \overrightarrow 0 \)
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
- Zwei Vektoren sind dann linear unabhängig, wenn ihr Kreuzprodukt nicht den Nullvektor ergibt
- Mehrere Vektoren sind dann linear unabhängig, wenn sich eine Linearkombination angeben lässt, die den Nullvektor ergibt wobei alle Lambda-Koeffizienten gleich null sein müssen.
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Vektoralgebra | Die Vektoralgebra beschäftigt sich mit den Grundrechenregeln für Vektoren |
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Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1561
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parallelität von Geraden
Gegeben sind folgende Parameterdarstellungen der Geraden g und h:
\(\begin{array}{l} g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1\\ 1 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}\\ 1\\ 2 \end{array}} \right)\,\,\,\,\,mit\,\,\,t \in \Bbb R\\ h:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1\\ 1 \end{array}} \right) + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ {{h_y}}\\ {{h_z}} \end{array}} \right)\,\,\,\,\,mit\,\,\,s \in \Bbb R\end{array}\)
Aufgabenstellung
Bestimmen Sie die Koordinaten hy und hz des Richtungsvektors der Geraden h so, dass die Gerade h zur Geraden g parallel ist!
Aufgabe 6030
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die Abbildung zeigt eine Sonnenuhr mit einer gegenüber der Horizontalen geneigten, rechteckigen Grundplatte, auf der sich ein kreisförmiges Zifferblatt befindet. Auf der Grundplatte ist der Polstab befestigt, dessen Schatten bei Sonneneinstrahlung die Uhrzeit auf dem
Zifferblatt anzeigt. Eine Sonnenuhr dieser Bauart wird in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft dargestellt (siehe nachfolgende Abbildung).
Dabei beschreibt das Rechteck ABCD mit \(A\left( {5\left| { - 4\left| 0 \right.} \right.} \right)\) und \(B\left( {5\left| {4\left| 0 \right.} \right.} \right)\) die Grundplatte der Sonnenuhr. Der Befestigungspunkt des Polstabs auf der Grundplatte wird im Modell durch den Diagonalenschnittpunkt \(M\left( {2,5\left| {0\left| 2 \right.} \right.} \right)\) des Rechtecks ABCD dargestellt. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 10cm in der Realität. Die Horizontale wird im Modell durch die x1x2-Ebene beschrieben.
1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts C.
2. Teilaufgabe a.2) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Rechteck ABCD liegt, in Normalenform.
(mögliches Teilergebnis: \(E:4{x_1} + 5{x_3} - 20 = 0\))
Die Grundplatte ist gegenüber der Horizontalen um den Winkel α geneigt. Damit man mit der Sonnenuhr die Uhrzeit korrekt bestimmen kann, muss für den Breitengrad φ des Aufstellungsorts der Sonnenuhr \(\alpha + \varphi = 90^\circ \) gelten.
3. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Bestimmen Sie, für welchen Breitengrad φ die Sonnenuhr gebaut wurde.
Der Polstab wird im Modell durch die Strecke \(\left[ {MS} \right]{\rm{ mit }}S\left( {4,5\left| {0\left| {4,5} \right.} \right.} \right)\) dargestellt.
4. Teilaufgabe c.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Zeigen Sie, dass der Polstab senkrecht auf der Grundplatte steht.
5. Teilaufgabe c.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Berechnen Sie die Länge des Polstabs auf Zentimeter genau.
Sonnenlicht, das an einem Sommertag zu einem bestimmten Zeitpunkt t0 auf die Sonnenuhr einfällt, wird im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor
\(\overrightarrow u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 6\\ { - 13} \end{array}} \right)\)dargestellt.
6. Teilaufgabe d) 6 BE - Bearbeitungszeit: 14:00
Weisen Sie nach, dass der Schatten der im Modell durch den Punkt S dargestellten Spitze des Polstabs außerhalb der rechteckigen Grundplatte liegt.
Um 6 Uhr verläuft der Schatten des Polstabs im Modell durch den Mittelpunkt der Kante \(\left[ {BC} \right]\), um 12 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante \(\left[ {AB} \right]\) und um 18 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante \(\left[ {AD} \right]\).
7. Teilaufgabe e) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie, dass der (in Teilaufgabe c, Anm.) betrachtete Zeitpunkt t0 vor 12 Uhr liegt.
Im Verlauf des Vormittags überstreicht der Schatten des Polstabs auf der Grundplatte in gleichen Zeiten gleich große Winkel.
8. Teilaufgabe f) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie die Uhrzeit auf Minuten genau, zu der der Schatten des Polstabs im Modell durch den Punkt B verläuft.