Aufgabe 1561

Zwei Vektoren \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) sind dann zueinander parallel, wenn es genau einen Faktor \(\lambda\) gibt mit dem man die Richtungsvektoren \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}} \end{array}} \right)\) des einen Vektors in die Richtungsvektoren \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}} \end{array}} \right)\) des anderen Vektors durch Multiplikation umrechnen kann. In diesem Fall spricht man von linearer Abhängigkeit.

\(\overrightarrow a \left\| {\overrightarrow b } \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow b = \lambda .\overrightarrow a \Leftrightarrow \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {\lambda .{a_x}} \cr {\lambda .{a_y}} \cr } } \right);\)

Damit die beiden Geraden g und h parallel zu einander sind, müssen ihre beiden Richtungsvektoren linear abhängig sein: \(\overrightarrow {{r_g}} = \lambda \cdot \overrightarrow {{r_h}} \) Aus der x-Koordinate der beiden Richtungsvektoren können wir das \(\lambda \) bestimmen und danach in die Gleichungen für die y und die z Koordinate einsetzen:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {{r_g}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}\\ 1\\ 2 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow {{r_h}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ {{h_y}}\\ {{h_z}} \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {{r_g}} = \lambda \cdot \overrightarrow {{r_h}} \\ \\ {\rm{Gl}}{\rm{.1:}}\,\, - 3 = \lambda \cdot 6 \Rightarrow \lambda = - 0,5\\ {\rm{Gl}}{\rm{.2:}}\,\,1 = \lambda \cdot {h_y} \Rightarrow 1 = - 0,5 \cdot {h_y} \Rightarrow {h_y} = - 2\\ {\rm{Gl}}{\rm{.3:}}\,\,2 = \lambda \cdot {h_z} \Rightarrow 2 = - 0,5 \cdot {h_z} \Rightarrow {h_z} = - 4 \end{array}\)