Österreichische AHS Matura - 2021.01.12 - 4 Typ II Beispiele - 120 Minuten Rechenzeit

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Tee

Tee ist weltweit eines der meist konsumierten Getränke.

Teil a

Modellhaft wird angenommen, dass der Pro-Kopf-Verbrauch von Tee in Österreich jedes Jahr im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr um den gleichen Prozentsatz steigt. Unter dieser Annahme gibt die Funktion f den jährlichen Pro-Kopf-Verbrauch von Tee in Österreich ab 2016 in Abhängigkeit von der Zeit t an (t in Jahren, f(t) in Litern).

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie an, um welchen Funktionstyp es sich bei f handelt.

Der jährliche Pro-Kopf-Verbrauch von Tee lag in Österreich im Jahr 2016 bei 33 L. Der Anteil des Tees, der in Osterreich im Jahr 2016 mittels Teebeutel zubereitet wurde, beträgt 95 %.

Es werden folgende Annahmen getroffen:

• Der Pro-Kopf-Verbrauch von Tee in Osterreich steigt seit dem Jahr 2016 jedes Jahr im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr um 2 %.
• Der Anteil des Tees, der in Osterreich jedes Jahr mittels Teebeutel zubereitet wird, bleibt gleich.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie an, wie viele Liter Tee im Jahr 2026 unter den oben angeführten Annahmen pro Kopf in Österreich mittels Teebeuteln zubereitet werden.

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Tee

Tee ist weltweit eines der meistkonsumierten Getränke.

Teil b

Der weltweit größte Teeproduzent ist China. Die nachstehende Tabelle gibt die Menge des in China produzierten Tees in Millionen Tonnen für einige Jahre im Zeitraum von 2011 bis 2017 an.

Quelle: https://de.statista.com/statistik/daten/studie/29847/umfrage/produktion… [28.08.2018].

Die Menge des in China produzierten Tees soll in Abhängigkeit von der Zeit t ab dem Jahr 2011 näherungsweise durch eine lineare Funktion g beschrieben werden (t in Jahren ab dem Jahr 2011, g(t) in Millionen Tonnen).

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie unter Verwendung der Daten aus den Jahren 2011 und 2017 eine Funktionsgleichung für g an.

g(t) =

In den Jahren 2013 und 2015 gibt es jeweils eine Abweichung zwischen den Funktionswerten von g und den Werten aus der obigen Tabelle.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie an, in welchem der Jahre 2013 und 2015 der Betrag der absoluten Abweichung zwischen dem Funktionswert von g und dem zugehörigen Wert aus der obigen Tabelle größer ist. Ermitteln Sie für das angegebene Jahr ebenso den Betrag der absoluten Abweichung.

• Jahr:
• Betrag der absoluten Abweichung:         Millionen Tonnen

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Tee

Tee ist weltweit eines der meistkonsumierten Getränke.

Teil c

Heiser Tee kühlt bei niedrigerer Umgebungstemperatur ab. Die Temperatur T(t) des Tees t Minuten nach Beginn des Abkühlungsprozesses kann bei einer Anfangstemperatur T₀ und einer konstanten Umgebungstemperatur TU durch die nachstehende Funktionsgleichung näherungsweise beschrieben werden.

\(T\left( t \right) = \left( {{T_0} - {T_U}} \right) \cdot {e^{ - k \cdot t}} + {T_U}{\text{ mit }}k \in \mathbb{R}\)

(t in Minuten, T_U in °C, T₀ in °C, T(t) in °C)

Eine Tasse mit Tee mit der Anfangstemperatur T₀ = 90 °C wird in einen Raum mit einer konstanten Umgebungstemperatur von T_U = 20 °C gestellt. Der Tee ist nach 10 Minuten auf eine Temperatur von 65 °C abgekühlt.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie k.

Nehmen Sie an, dass der ermittelte Wert von k sowohl für den Abkühlungsprozess eines Tees mit einer Anfangstemperatur von 90 °C als auch für den Abkühlungsprozess eines anderen Tees mit einer Anfangstemperatur von 70 °C gilt.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie an, bei welcher Umgebungstemperatur T_U beide Tees in der gleichen Zeit auf die Hälfte des Wertes ihrer jeweiligen Anfangstemperatur (in °C) abkühlen.

T_U = °C

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Erderwärmung

Unter globaler Mitteltemperatur versteht man die über die gesamte Erdoberfläche gemittelte Temperatur in einem bestimmten Zeitraum unter bestimmten Bedingungen. Die Entwicklung der globalen Mitteltemperatur kann mithilfe von Klimamodellen prognostiziert werden.

Nachstehend sind für einzelne Jahre die globalen Mitteltemperaturen angeführt.

Die Funktion T beschreibt modellhaft die globale Mitteltemperatur in Abhängigkeit von der Zeit t (t in Jahren ab dem Jahr 1900, T(t) in °C). Es gilt:

\(T\left( t \right) = a \cdot {e^{0,008 \cdot t}} - 0,03 \cdot t + 11,1{\text{ mit }}a \in \mathbb{R}\)

Teil a

Bei einem bestimmten Klimamodell wird a = 2,7 angenommen. Die Funktion T hat an der Stelle t = t₀ eine lokale Extremstelle.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie t₀.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Begründen Sie mathematisch, warum gemäß diesem Modell die globale Mitteltemperatur ab der Stelle t₀ immer schneller ansteigt.

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Erderwärmung

Unter globaler Mitteltemperatur versteht man die über die gesamte Erdoberfläche gemittelte Temperatur in einem bestimmten Zeitraum unter bestimmten Bedingungen. Die Entwicklung der globalen Mitteltemperatur kann mithilfe von Klimamodellen prognostiziert werden.

Die Funktion T beschreibt modellhaft die globale Mitteltemperatur in Abhängigkeit von der Zeit t (t in Jahren ab dem Jahr 1900, T(t) in °C). Es gilt:

\(T\left( t \right) = a \cdot {e^{0,008 \cdot t}} - 0,03 \cdot t + 11,1{\text{ mit }}a \in \mathbb{R}\)

Teil b

Verschiedene Studien nehmen an, dass die globale Mitteltemperatur im Jahr 2100 im Vergleich zur globalen Mitteltemperatur im Jahr 2000 (also 14,31 °C) um mindestens 1,5 °C, aber um höchstens 4,5 °C höher sein wird.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Weisen Sie nach, dass die Funktion T mit a = 2,7 diese Studien mit der Annahme für das Jahr 2100 bestätigt.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie den kleinstmöglichen Wert a_min und den größtmöglichen Wert a_max so an, dass die Funktion T diese Studien bestätigt.

a_min =

a_max =

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Erderwärmung

Unter globaler Mitteltemperatur versteht man die über die gesamte Erdoberfläche gemittelte Temperatur in einem bestimmten Zeitraum unter bestimmten Bedingungen. Die Entwicklung der globalen Mitteltemperatur kann mithilfe von Klimamodellen prognostiziert werden.

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Erderwärmung

Unter globaler Mitteltemperatur versteht man die über die gesamte Erdoberfläche gemittelte Temperatur in einem bestimmten Zeitraum unter bestimmten Bedingungen. Die Entwicklung der globalen Mitteltemperatur kann mithilfe von Klimamodellen prognostiziert werden.

Nachstehend sind für einzelne Jahre die globalen Mitteltemperaturen angeführt.

Die Funktion T beschreibt modellhaft die globale Mitteltemperatur in Abhängigkeit von der Zeit t (t in Jahren ab dem Jahr 1900, T(t) in °C). Es gilt:

\(T\left( t \right) = a \cdot {e^{0,008 \cdot t}} - 0,03 \cdot t + 11,1{\text{ mit }}a \in \mathbb{R}\)

Teil c

Bei der UN-Klimakonferenz in Paris im Jahr 2015 wurde eine neue internationale Klimaschutz-Vereinbarung getroffen, die die Begrenzung der Zunahme der globalen Mitteltemperatur vorsieht. Demnach dürfte die globale Mitteltemperatur im Jahr 2100 höchstens 15,3 °C betragen.

Um diese Klimaschutz-Vereinbarung zu erfüllen, darf ab dem Jahr 2015 die mittlere Änderungsrate der globalen Mitteltemperatur pro Jahr höchstens einen bestimmten Wert k betragen (k in °C pro Jahr).

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie k.

Es wird angenommen, dass die globale Mitteltemperatur ab dem Jahr 2015 linear zunimmt und die mittlere Änderungsrate der globalen Mitteltemperatur pro Jahr tatsächlich k entspricht.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie unter dieser Annahme eine Gleichung derjenigen linearen Funktion M an, die die jährliche globale Mitteltemperatur (in °C) t Jahre nach 2015 modellhaft beschreibt.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
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Elektromobilität

Der Bestand an Elektroautos nahm in Österreich in den letzten Jahren zu. Die Grunde dafür liegen unter anderem an technischen Verbesserungen, wie zum Beispiel den steigenden Batteriekapazitäten und kürzeren Ladezeiten.

• Unter Batteriekapazität versteht man die in der Batterie des Elektroautos maximal speicherbare Energie E (in Kilowattstunden, kWh). Diese Energie wird während des Fahrens in eine andere Energieform umgewandelt und beim Ladevorgang wieder der Batterie zugeführt.
• Unter Ladezeit versteht man diejenige Zeit, die für das vollständige Laden einer (annähernd) leeren Batterie benötigt wird.

Teil a

Die nachstehende Grafik zeigt den Bestand an Elektroautos in Österreich für den Zeitraum vom 31. Dezember 2015 bis 31. August 2018. Für die Jahre 2015 bis 2017 wird der Bestand jeweils am Ende des Jahres dargestellt, für das Jahr 2018 der Bestand Ende August.

Illustration fehlt

Datenquelle: Statistik Austria, https://www.statistik.at/web_de/statistiken/energie_umwelt_innovation_m…
[23.03.2020].

Die Differenzengleichung \({B_{n + 1}} = {B_n} \cdot a + b\) beschreibt die Entwicklung des Bestands an Elektroautos in Österreich ausgehend vom Jahr 2015 für die Jahre 2016 und 2017. Dabei gilt:

• B₀ ist der Bestand am Ende des Jahres 2015.
• B₁ ist der Bestand am Ende des Jahres 2016.
• B₂ ist der Bestand am Ende des Jahres 2017.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie a und b an.

• a =
• b =

Damit die angegebene Differenzengleichung auch für das Ende des Jahres 2018 zutrifft, hätte der Bestand an Elektroautos im Rest des Jahres 2018 noch um eine bestimmte Anzahl erhöht werden müssen.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie diese Anzahl.

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Elektromobilität

Der Bestand an Elektroautos nahm in Österreich in den letzten Jahren zu. Die Grunde dafür liegen unter anderem an technischen Verbesserungen, wie zum Beispiel den steigenden Batteriekapazitäten und kürzeren Ladezeiten.

• Unter Batteriekapazität versteht man die in der Batterie des Elektroautos maximal speicherbare Energie E (in Kilowattstunden, kWh). Diese Energie wird während des Fahrens in eine andere Energieform umgewandelt und beim Ladevorgang wieder der Batterie zugeführt.
• Unter Ladezeit versteht man diejenige Zeit, die für das vollständige Laden einer (annähernd) leeren Batterie benötigt wird.

Teil b

Die Batteriekapazität (in kWh) ist das Produkt von Ladeleistung (in kW) und Ladezeit (in h). Um beispielsweise eine (annähernd) leere Batterie mit einer Batteriekapazität von 22 kWh mit einer Ladeleistung von 11 kW zu laden, benötigt man eine Ladezeit von 2 h. Die Funktion f beschreibt die Ladezeit f(P) einer Batterie mit einer Batteriekapazität von 22 kWh in Abhängigkeit von der Ladeleistung P (P in kW, f(P) in h).

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie f(P) an.

f(P) =

Die typische Ladeleistung einer privaten Ladestation liegt im Leistungsintervall [2,3 kW; 3,7 kW].

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie für eine Batterie mit einer Batteriekapazität von 22 kWh dasjenige Zeitintervall der Ladezeit an, das diesem Leistungsintervall entspricht.

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Elektromobilität

Der Bestand an Elektroautos nahm in Österreich in den letzten Jahren zu. Die Grunde dafür liegen unter anderem an technischen Verbesserungen, wie zum Beispiel den steigenden Batteriekapazitäten und kürzeren Ladezeiten.

• Unter Batteriekapazität versteht man die in der Batterie des Elektroautos maximal speicherbare Energie E (in Kilowattstunden, kWh). Diese Energie wird während des Fahrens in eine andere Energieform umgewandelt und beim Ladevorgang wieder der Batterie zugeführt.
• Unter Ladezeit versteht man diejenige Zeit, die für das vollständige Laden einer (annähernd) leeren Batterie benötigt wird.

Teil c

Für die Fahrt eines Elektroautos auf einer bestimmten Teststrecke wird modellhaft angenommen:

• Die gesamte Teststrecke wird mit einer konstanten Geschwindigkeit durchfahren.
• Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen dem Energiebedarf dieses Elektroautos und der jeweiligen konstanten Geschwindigkeit.

Dieses Elektroauto hat bei einer konstanten Geschwindigkeit von 70 km/h einen Energiebedarf von 12,9 kWh für das Durchfahren dieser Teststrecke. Bei einer konstanten Geschwindigkeit von 110 km/h hat es einen Energiebedarf von 20,9 kWh für das Durchfahren dieser Teststrecke. Die Funktion E beschreibt den Energiebedarf E(v) in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v mit

\(50 \leqslant v \leqslant 130\)

(v in km/h, E(v) in kWh).

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie E(v) an.

E(v) =

Die Batterie dieses Elektroautos hat eine Batteriekapazität von 41 kWh und ist vor dem Durchfahren der Teststrecke vollständig geladen. Nach dem Durchfahren der Teststrecke sind in der Batterie noch 30,22 kWh gespeichert.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie die (konstante) Geschwindigkeit v₁, mit der die Teststrecke durchfahren worden ist.

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Müsliriegel

Ein neuer Müsliriegel steht vor der Markteinführung. Der Hersteller dieses Müsliriegels produziert 100 000 Stuck davon. Auf allen Verpackungen der Müsliriegel wird die Möglichkeit von Sofortgewinnen angekündigt. Die jeweilige Höhe des Sofortgewinns kann man nach dem Öffnen der Verpackung auf deren Innenseite ablesen. Der Hersteller des Müsliriegels gibt an: Es werden

• 9 000 Sofortgewinne zu je € 2
• 900 Sofortgewinne zu je € 5
• 100 Sofortgewinne zu je € 65

ausgezahlt.

Alle produzierten Müsliriegel werden an Geschäfte geliefert. Die Verteilung der Müsliriegel erfolgt nach dem Zufallsprinzip.

Teil a

Unter Berücksichtigung aller Produktionskosten kostet jeder der 100 000 Müsliriegel in der Produktion durchschnittlich € 1. Der Verkaufspreis eines Müsliriegels soll so festgelegt werden, dass für den Hersteller ein Gewinn von mindestens € 80.000 erzielt wird, wenn nach dem Verkauf aller Müsliriegel alle Sofortgewinne ausgezahlt werden müssen. Alle Müsliriegel haben den gleichen Verkaufspreis.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie den unter diesen Voraussetzungen kleinstmöglichen Verkaufspreis p des Müsliriegels.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie an, um wie viel Prozent der kleinstmögliche Verkaufspreis p gesenkt werden kann, wenn man die Müsliriegel ohne Gewinnspiel verkauft und der Gewinn trotzdem mindestens € 80.000 ausmachen soll.

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Müsliriegel

Ein neuer Müsliriegel steht vor der Markteinführung. Der Hersteller dieses Müsliriegels produziert 100 000 Stück davon. Auf allen Verpackungen der Müsliriegel wird die Möglichkeit von Sofortgewinnen angekündigt. Die jeweilige Höhe des Sofortgewinns kann man nach dem Öffnen der Verpackung auf deren Innenseite ablesen. Der Hersteller des Müsliriegels gibt an: Es werden

• 9 000 Sofortgewinne zu je € 2
• 900 Sofortgewinne zu je € 5
• 100 Sofortgewinne zu je € 65

ausgezahlt.

Alle produzierten Müsliriegel werden an Geschäfte geliefert. Die Verteilung der Müsliriegel erfolgt nach dem Zufallsprinzip.

Teil b

Die Zufallsvariable X beschreibt die Höhe des ausgezahlten Sofortgewinns pro gekauften Müsliriegel.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie den Erwartungswert E(X).

Ein Kunde kauft 4 Müsliriegel.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der der Kunde mindestens einen Sofortgewinn erzielt.

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​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Müsliriegel

Ein neuer Müsliriegel steht vor der Markteinführung. Der Hersteller dieses Müsliriegels produziert 100 000 Stück davon. A

Teil c

Aus Erfahrung weiß man, dass 95 % der Müsliriegel eine vorgegebene Mindestmasse haben. Eine Zufallsstichprobe von 1 000 Müsliriegeln wird ausgewählt. Die binomialverteilte Zufallsvariable Y beschreibt dabei die Anzahl der Müsliriegel in dieser Zufallsstichprobe, die die vorgegebene Mindestmasse haben.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie die Standardabweichung σ(Y) der Zufallsvariablen Y.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Kontext.

P(Y ≥ 933) ≈ 0,99