Aufgabe 3080

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Elektromobilität

Der Bestand an Elektroautos nahm in Österreich in den letzten Jahren zu. Die Grunde dafür liegen unter anderem an technischen Verbesserungen, wie zum Beispiel den steigenden Batteriekapazitäten und kürzeren Ladezeiten.

  • Unter Batteriekapazität versteht man die in der Batterie des Elektroautos maximal speicherbare Energie E (in Kilowattstunden, kWh). Diese Energie wird während des Fahrens in eine andere Energieform umgewandelt und beim Ladevorgang wieder der Batterie zugeführt.
  • Unter Ladezeit versteht man diejenige Zeit, die für das vollständige Laden einer (annähernd) leeren Batterie benötigt wird.

 

Teil a

Die nachstehende Grafik zeigt den Bestand an Elektroautos in Österreich für den Zeitraum vom 31. Dezember 2015 bis 31. August 2018. Für die Jahre 2015 bis 2017 wird der Bestand jeweils am Ende des Jahres dargestellt, für das Jahr 2018 der Bestand Ende August.

Illustration fehlt

Datenquelle: Statistik Austria, https://www.statistik.at/web_de/statistiken/energie_umwelt_innovation_m…
[23.03.2020].

 

Die Differenzengleichung \({B_{n + 1}} = {B_n} \cdot a + b\) beschreibt die Entwicklung des Bestands an Elektroautos in Österreich ausgehend vom Jahr 2015 für die Jahre 2016 und 2017. Dabei gilt:

  • B0 ist der Bestand am Ende des Jahres 2015.
  • B1 ist der Bestand am Ende des Jahres 2016.
  • B2 ist der Bestand am Ende des Jahres 2017.

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie a und b an.

  • a =
  • b =

Damit die angegebene Differenzengleichung auch für das Ende des Jahres 2018 zutrifft, hätte der Bestand an Elektroautos im Rest des Jahres 2018 noch um eine bestimmte Anzahl erhöht werden müssen.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie diese Anzahl.

Lösungsweg

1. Teilaufgabe:

Um die beiden Unbekannten a und b berechnen zu können benötigen wir 2 Gleichungen. Diese erhalten wir, indem wir die Werte für 2015, 2016 und 2027 in die Differenzengleicung einsetzen:

\(\eqalign{ & {B_{n + 1}} = {B_n} \cdot a + b \cr & \cr & {B_0} = 5032 \cr & {B_1} = 5032 \cdot a + b = 9073 \to b = 9073 - 5032 \cdot a \cr & {B_2} = 9073 \cdot a + b = 14618 \to \cr & 9073 \cdot a + 9073 - 5032 \cdot a = 14618\,\,\,\,\,\left| { - 9073} \right. \cr & 4041 \cdot a = 5545\,\,\,\,\,\left| {:4041} \right. \cr & \cr & a = \dfrac{{5545}}{{4041}} \approx 1,37 \cr & b = 9073 - 5032 \cdot \dfrac{{5545}}{{4041}} \approx 2168,16 \cr & \cr & a \approx 1,37 \cr & b \approx 2168,16 \cr} \)

2. Teilaufgabe:

Da wir aus der 1. Teilaufgabe a und b kennen, können wir die Jahresproduktion B3 berechnen. Davon müssen wir die Produktion der ersten 8 Monate abziehen, um die zu erwartende Produktion der letzten 4 Monate zu ermitteln:

Damit wir keine Rechenungenauigkeiten erhalten, setzen wir die exakten Werte aus der 1. Teilaufgabe für a und b und nicht die gerundeten Werte ein:

\(\eqalign{
& {B_3} = 14618 \cdot \dfrac{{5545}}{{4041}} + 9073 - 5032 \cdot \dfrac{{5545}}{{4041}} \approx 22226,766 \cr
& \Delta {B_3} \approx 22226,766 - 18459 \approx 3767,766 \cr} \)

Der Bestand an Elektroautos hätte im Jahr 2018 noch um ca. 3 768 Elektroautos erhöht werden müssen, damit die angegebene Differenzengleichung auch für das Jahr 2018 zutreffend wäre.

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

1. Teilaufgabe

  • a = 1,37...
  • b = 2 168,1...

2. Teilaufgabe
Der Bestand an Elektroautos hätte im Jahr 2018 noch um ca. 3 768 Elektroautos erhöht werden müssen, damit die angegebene Differenzengleichung auch für das Jahr 2018 zutreffend wäre.

Lösungsschlüssel:

1. Teilaufgabe
Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen Werte.

2. Teilaufgabe
Ein Punkt für die richtige Lösung.