Aufgabe 3081
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Elektromobilität
Der Bestand an Elektroautos nahm in Österreich in den letzten Jahren zu. Die Grunde dafür liegen unter anderem an technischen Verbesserungen, wie zum Beispiel den steigenden Batteriekapazitäten und kürzeren Ladezeiten.
- Unter Batteriekapazität versteht man die in der Batterie des Elektroautos maximal speicherbare Energie E (in Kilowattstunden, kWh). Diese Energie wird während des Fahrens in eine andere Energieform umgewandelt und beim Ladevorgang wieder der Batterie zugeführt.
- Unter Ladezeit versteht man diejenige Zeit, die für das vollständige Laden einer (annähernd) leeren Batterie benötigt wird.
Teil b
Die Batteriekapazität (in kWh) ist das Produkt von Ladeleistung (in kW) und Ladezeit (in h). Um beispielsweise eine (annähernd) leere Batterie mit einer Batteriekapazität von 22 kWh mit einer Ladeleistung von 11 kW zu laden, benötigt man eine Ladezeit von 2 h. Die Funktion f beschreibt die Ladezeit f(P) einer Batterie mit einer Batteriekapazität von 22 kWh in Abhängigkeit von der Ladeleistung P (P in kW, f(P) in h).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie f(P) an.
f(P) =
Die typische Ladeleistung einer privaten Ladestation liegt im Leistungsintervall [2,3 kW; 3,7 kW].
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie für eine Batterie mit einer Batteriekapazität von 22 kWh dasjenige Zeitintervall der Ladezeit an, das diesem Leistungsintervall entspricht.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
- Die Energie bzw. Arbeit W, die eine Batterie speichern kann, wird in Wattstunden Wh oder dem tausendfachen davon, in kWh=1000Wh gemessen.
- Die Ladeleistung P in Watt bzw. kW ist ein Maß dafür, wieviel Energie der Batterie zu einem bestimmten Zeitpunkt vom Ladegerät zugeführt werden kann, um sie wieder aufzuladen.
- Je höher die Ladeleistung ist, um so kürzer ist die Ladezeit t, die benötigt wird, um die Batterie aufzuladen.
Die Gleichung für die elektrische Arbeit bzw. elektrische Energie lautet:
\(\eqalign{ & W = P \cdot t \cr & \cr & {\text{bzw}}{\text{. als Einheitengleichung:}} \cr & Wh = W \cdot h \cr & \cr & t = \frac{W}{P} \cr} \)
Wenn wir die Ladezeit t (in h) als Funktion der Ladeleistung P (in kW) ausdrücken wollen und uns auf eine konkrete Batterie mit der gespeicherten elektrischen Energie W von 22 kWh beziehen, dann können wir wie folgt umformen:
\(\eqalign{ & f\left( P \right) = t\left( P \right) = \dfrac{{W = 22 \cdot \left[ {kWh} \right]}}{{P \cdot \left[ {kW} \right]}} \cr & f\left( P \right) = \dfrac{{22}}{P}{\text{ }}..{\text{ in Stunden h}} \cr} \)
2. Teilaufgabe:
Unter Verwendung der Formel aus der 1. Teilaufgabe erhalten wir das gesuchte Intervall wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( P \right) = \frac{{22}}{P} \cr & \cr & f\left( {P = 2,3{\text{kW}}} \right) = \dfrac{{22 \cdot kWh}}{{2,3 \cdot kW}} \approx 9,565 \cdot h \cr & f\left( {P = 3,7{\text{kW}}} \right) = \dfrac{{22 \cdot kWh}}{{3,7 \cdot kW}} \approx 5,946 \cdot h \cr & \cr & \left[ {5,946{\text{h}}....9,565h} \right] \cr} \)
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(f\left( P \right) = \dfrac{{22}}{P}\)
2. Teilaufgabe
Zeitintervall: [5,94... h; 9,56... h]
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Ausgleichspunkt für eine richtige Funktionsgleichung. Äquivalente Funktionsgleichungen sind als richtig zu werten.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für ein richtiges Intervall, wobei die Einheit „h“ nicht angegeben sein muss.