Aufgabe 3085
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Müsliriegel
Ein neuer Müsliriegel steht vor der Markteinführung. Der Hersteller dieses Müsliriegels produziert 100 000 Stück davon. A
Teil c
Aus Erfahrung weiß man, dass 95 % der Müsliriegel eine vorgegebene Mindestmasse haben. Eine Zufallsstichprobe von 1 000 Müsliriegeln wird ausgewählt. Die binomialverteilte Zufallsvariable Y beschreibt dabei die Anzahl der Müsliriegel in dieser Zufallsstichprobe, die die vorgegebene Mindestmasse haben.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie die Standardabweichung σ(Y) der Zufallsvariablen Y.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Kontext.
P(Y ≥ 933) ≈ 0,99
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Für die Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen gilt:
\(V\left( X \right) = {\sigma ^2} = n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)\)
Daraus können wir die gesuchte Standardabweichung wir folgt ermitteln
\(\sigma \left( Y \right) = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} \)
\(\eqalign{ & n = 1000 \cr & p = 95\% \overset{\wedge}\to{=} 0,95 \cr & \sigma \left( Y \right) = \sqrt {1000 \cdot 0,95 \cdot \left( {1 - 0,95} \right)} \approx 6,892 \cr} \)
→ Die Standardabweichung σ(Y) der Zufallsvariablen Y beträgt \(\sigma \left( Y \right) \approx 6,892\)
2. Teilaufgabe:
- P ist das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit 0,99 angegeben ist.
- Y ist die Zufallsvariable, und gibt die Anzahl der Müsliriegel mit der vorgegebenen Mindestmasse an
→ Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 933 Müsliriegel die vorgegebene Mindestmasse haben, beträgt ca. 99 %.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(\sigma \left( Y \right) \approx 6,892\)
2. Teilaufgabe
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 933 Müsliriegel die vorgegebene Mindestmasse haben, beträgt ca. 99 %.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für eine richtige Interpretation.