Aufgabe 3082

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Elektromobilität

Der Bestand an Elektroautos nahm in Österreich in den letzten Jahren zu. Die Grunde dafür liegen unter anderem an technischen Verbesserungen, wie zum Beispiel den steigenden Batteriekapazitäten und kürzeren Ladezeiten.

  • Unter Batteriekapazität versteht man die in der Batterie des Elektroautos maximal speicherbare Energie E (in Kilowattstunden, kWh). Diese Energie wird während des Fahrens in eine andere Energieform umgewandelt und beim Ladevorgang wieder der Batterie zugeführt.
  • Unter Ladezeit versteht man diejenige Zeit, die für das vollständige Laden einer (annähernd) leeren Batterie benötigt wird.

 

Teil c

Für die Fahrt eines Elektroautos auf einer bestimmten Teststrecke wird modellhaft angenommen:

  • Die gesamte Teststrecke wird mit einer konstanten Geschwindigkeit durchfahren.
  • Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen dem Energiebedarf dieses Elektroautos und der jeweiligen konstanten Geschwindigkeit.

Dieses Elektroauto hat bei einer konstanten Geschwindigkeit von 70 km/h einen Energiebedarf von 12,9 kWh für das Durchfahren dieser Teststrecke. Bei einer konstanten Geschwindigkeit von 110 km/h hat es einen Energiebedarf von 20,9 kWh für das Durchfahren dieser Teststrecke. Die Funktion E beschreibt den Energiebedarf E(v) in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v mit

\(50 \leqslant v \leqslant 130\)

(v in km/h, E(v) in kWh).

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie E(v) an.

E(v) =

Die Batterie dieses Elektroautos hat eine Batteriekapazität von 41 kWh und ist vor dem Durchfahren der Teststrecke vollständig geladen. Nach dem Durchfahren der Teststrecke sind in der Batterie noch 30,22 kWh gespeichert.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie die (konstante) Geschwindigkeit v1, mit der die Teststrecke durchfahren worden ist.

Lösungsweg

1. Teilaufgabe:

Aus der Angabe können wir wie folgt ablesen:

\(\eqalign{ & {v_1} = 70km/h \to E(v = {v_1}) = 12,9kWh \cr & {v_2} = 110km/h \to E(v = {v_2}) = 20,9kWh \cr} \)

 

Lt. Angabe ist der Zusammenhang zwischen E(v) und v ein linearer, also vom Typ: \(k \cdot x + d\)

Somit können wir wie folgt ansetzen:
\(\eqalign{ & E\left( v \right) = k \cdot v + d \cr & \cr & E\left( {{v_1}} \right) = 12,9 = k \cdot 70 + d \cr & E\left( {{v_2}} \right) = 20,9 = k \cdot 110 + d \cr & \cr & E\left( {{v_2}} \right) - E\left( {{v_1}} \right) = 8 = 40 \cdot k \to k = \frac{8}{{40}} = 0,2 \cr & 12,9 = 0,2 \cdot 70 + d \to d = 12,9 - 14 = - 1,1 \cr & \cr & E\left( v \right) = 0,2 \cdot v - 1,1 \cr} \)

2. Teilaufgabe:

In die Gleichung aus der 1. Teilaufgabe können wir die verbrauchte Energie eingeben und v explizit machen:

\(\eqalign{ & E\left( {{v_1}} \right) = 41 - 30,22 = 10,78 \cr & \cr & E\left( v \right) = 0,2 \cdot v - 1,1 \cr & 10,78 = 0,2 \cdot {v_1} - 1,1\,\,\,\,\,\left| { + 1,1\,\,\,\,\,\left| {:0,2} \right.} \right. \cr & {v_1} = \dfrac{{\left( {10,78 + 1,1} \right)}}{{0,2}} = 59,5 \cr & {v_1} = 59,4{\text{km/h}} \cr} \)

Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.

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Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

1. Teilaufgabe

\(E\left( v \right) = 0,2 \cdot v - 1,1\)

2. Teilaufgabe

\({v_1} = 59,4{\text{km/h}}\)

Lösungsschlüssel:

1. Teilaufgabe
Ein Punkt für eine richtige Funktionsgleichung. Äquivalente Funktionsgleichungen sind als richtig zu werten.

2. Teilaufgabe
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „km/h“ nicht angegeben sein muss.