Aufgabe 3075
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Tee
Tee ist weltweit eines der meistkonsumierten Getränke.
Teil b
Der weltweit größte Teeproduzent ist China. Die nachstehende Tabelle gibt die Menge des in China produzierten Tees in Millionen Tonnen für einige Jahre im Zeitraum von 2011 bis 2017 an.
Jahr | 2011 | 2013 | 2015 | 2017 |
Menge des in China produzierten Tees in Millionen Tonnen | 1,55 | 1,85 | 2,23 | 2,55 |
Quelle: https://de.statista.com/statistik/daten/studie/29847/umfrage/produktion… [28.08.2018].
Die Menge des in China produzierten Tees soll in Abhängigkeit von der Zeit t ab dem Jahr 2011 näherungsweise durch eine lineare Funktion g beschrieben werden (t in Jahren ab dem Jahr 2011, g(t) in Millionen Tonnen).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie unter Verwendung der Daten aus den Jahren 2011 und 2017 eine Funktionsgleichung für g an.
g(t) =
In den Jahren 2013 und 2015 gibt es jeweils eine Abweichung zwischen den Funktionswerten von g und den Werten aus der obigen Tabelle.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie an, in welchem der Jahre 2013 und 2015 der Betrag der absoluten Abweichung zwischen dem Funktionswert von g und dem zugehörigen Wert aus der obigen Tabelle größer ist. Ermitteln Sie für das angegebene Jahr ebenso den Betrag der absoluten Abweichung.
- Jahr:
- Betrag der absoluten Abweichung: Millionen Tonnen
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Lineare Funktionen sind Gleichungen vom Typ \(g\left( t \right) = k \cdot t + d\)
t=0 ist das Jahr 2011. Wir können die Tabelle daher wie folgt ergänzen:
2011 | 2013 | 2015 | 2017 |
t=0 | t=2 | t=4 | t=6 |
1,55 | 2,55 |
Daher können wir mit Hilfe der beiden Wertepaare aus den Jahren 2011 und 2017 gemäß der Tabelle k und d wie folgt berechnen
\(\eqalign{ & g\left( t \right) = k \cdot t + d \cr & \cr & g\left( 0 \right) = k \cdot 0 + d = 1,55 \to d = 1,55 \cr & g\left( 6 \right) = k \cdot 6 + 1,55 = 2,55 \cr & k = \dfrac{{2,55 - 1,55}}{6} = \dfrac{1}{6} \cr & \cr & g\left( t \right) = \dfrac{1}{6} \cdot t + 1,55 \cr} \)
2. Teilaufgabe:
1. Teilaufgabe:
Lineare Funktionen sind Gleichungen vom Typ \(g\left( t \right) = k \cdot t + d\)
t=0 ist das Jahr 2011. Wir können die Tabelle daher wie folgt ergänzen:
2011 | 2013 | 2015 | 2017 |
t=0 | t=2 | t=4 | t=6 |
1,85 | 2,23 |
Zunächst berechnen wir die genäherten Funktionswerte mit Hilfe der linearen Funktion aus der 1. Teilaufgabe. Dann berechnen wir den Betrag der Differenz zwischen dem Tabellenwert und dem genäherten Funktionswert.
\(\eqalign{ & g\left( t \right) = \frac{1}{6} \cdot t + 1,55 \cr & g\left( {t = 2} \right) = \frac{1}{6} \cdot 2 + 1,55 = 1,88\mathop 3\limits^ \bullet \to \left| {1,85 - 1,88\mathop 3\limits^ \bullet } \right| = 0,0\mathop 3\limits^ \bullet \cr & g\left( {t = 4} \right) = \frac{1}{6} \cdot 4 + 1,55 = 2,21\mathop 6\limits^ \bullet \to \left| {2,23 - 2,21\mathop 6\limits^ \bullet } \right| = 0,01\mathop 3\limits^ \bullet \cr & \cr & 0,0\mathop 3\limits^ \bullet > 0,01\mathop 3\limits^ \bullet \to \Delta \left( {a = 2013} \right) > \Delta \left( {a = 2016} \right) \cr} \)
→ Die Abweichung im Jahr 2013 ist ca. 2,5 mal größer als jene im Jahr 2016.
→ Der Betrag der absoluten Abweichung im Jahr 2013 beträgt 0,03 Millionen Tonnen
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(g\left( t \right) = \dfrac{1}{6} \cdot t + 1,55\)
2. Teilaufgabe
-
Die Abweichung im Jahr 2013 ist größer als jene im Jahr 2016.
-
Der Betrag der absoluten Abweichung im Jahr 2013 beträgt 0,03 Millionen Tonnen
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für eine richtige Funktionsgleichung. Äquivalente Funktionsgleichungen sind als richtig zu werten.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für die Angabe des richtigen Jahres und der richtigen Lösung.