Aufgabe 3077
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erderwärmung
Unter globaler Mitteltemperatur versteht man die über die gesamte Erdoberfläche gemittelte Temperatur in einem bestimmten Zeitraum unter bestimmten Bedingungen. Die Entwicklung der globalen Mitteltemperatur kann mithilfe von Klimamodellen prognostiziert werden.
Nachstehend sind für einzelne Jahre die globalen Mitteltemperaturen angeführt.
Jahr | 1900 | 1950 | 1955 | 1960 | 1965 | 1970 | 1975 | 1980 |
globale Mitteltemperatur (in °C) | 13,80 | 13,87 | 13,89 | 14,01 | 13,90 | 14,02 | 13,94 | 14,16 |
Jahr | 1985 | 1990 | 1995 | 2000 | 2005 | 2010 | 2015 | |
globale Mitteltemperatur (in °C) | 14,03 | 14,37 | 14,37 | 14,31 | 14,51 | 14,55 | 14,72 |
Die Funktion T beschreibt modellhaft die globale Mitteltemperatur in Abhängigkeit von der Zeit t (t in Jahren ab dem Jahr 1900, T(t) in °C). Es gilt:
\(T\left( t \right) = a \cdot {e^{0,008 \cdot t}} - 0,03 \cdot t + 11,1{\text{ mit }}a \in \mathbb{R}\)
Teil a
Bei einem bestimmten Klimamodell wird a = 2,7 angenommen. Die Funktion T hat an der Stelle t = t0 eine lokale Extremstelle.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie t0.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Begründen Sie mathematisch, warum gemäß diesem Modell die globale Mitteltemperatur ab der Stelle t0 immer schneller ansteigt.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die lokale Extremstelle erhalten wir, indem wir die gegebene Funktion einmal ableiten und null setzen. Zum Glück ist das Ableiten einer e-Funktion besonders einfach...
\(\eqalign{ & T\left( t \right) = a \cdot {e^{0,008 \cdot t}} - 0,03 \cdot t + 11,1 \cr & T'\left( t \right) = 0,008 \cdot a \cdot {e^{0,008 \cdot t}} - 0,03 \cr & \cr & a = 2,7 \cr & T'\left( {{t_0}} \right) = 0 \cr & \cr & 0,008 \cdot 2,7 \cdot {e^{0,008 \cdot {t_0}}} - 0,03 = 0 \cr & 0,0216 \cdot {e^{0,008 \cdot {t_0}}} = 0,03 \cr & {e^{0,008 \cdot {t_0}}} = \frac{{0,03}}{{0,0216}}\,\,\,\,\,\left| {} \right.\ln \cr & 0,008 \cdot {t_0} \approx \ln \left( {1,38889} \right) \cr & {t_0} \approx \dfrac{{\ln (1,3888)}}{{0,008}} \approx 41,055 \cr} \)
Die lokale Extremstelle findet sich an der Stelle \({t_0} \approx 41,06\), also im Jahr 1941.
2. Teilaufgabe:
Gemäß der 1. Teilaufgabe liegt an der Stelle t0 eine Extremstelle vor. Mit Hilfe der 2. Ableitung können wir klären, ob es sich dabei um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt:
\(\eqalign{ & T\left( t \right) = 2,7 \cdot {e^{0,008 \cdot t}} - 0,03 \cdot t + 11,1 \cr & T'\left( t \right) = 0,0216 \cdot {e^{0,008 \cdot t}} - 0,03 \cr & T''\left( t \right) = 0,008.0,0216 \cdot {e^{0,008 \cdot t}} \cr & T''\left( {{t_0} = 41,055} \right) = 0,0001728 \cdot {e^{0,2844}} > 0 \to {\text{Tiefpunkt}} \cr} \)
→ Der Extremwert ist also ein Tiefpunkt, daher muss der Graph neben dem Tiefpunkt ansteigen.
oder
→ Die globale Mitteltemperatur steigt ab t0 immer schneller an, weil für alle t > t0 der Graph von T linksgekrümmt ist.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\({t_0} \approx 41,06\)
2. Teilaufgabe
Die globale Mitteltemperatur steigt ab t0 immer schneller an, weil für alle t > t0 der Graph von T linksgekrümmt ist.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung, wobei ein Nachweis, dass t0 eine lokale Minimumstelle ist, nicht erbracht werden muss.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für eine richtige Begründung.