Aufgabe 3076
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Tee
Tee ist weltweit eines der meistkonsumierten Getränke.
Teil c
Heiser Tee kühlt bei niedrigerer Umgebungstemperatur ab. Die Temperatur T(t) des Tees t Minuten nach Beginn des Abkühlungsprozesses kann bei einer Anfangstemperatur T0 und einer konstanten Umgebungstemperatur TU durch die nachstehende Funktionsgleichung näherungsweise beschrieben werden.
\(T\left( t \right) = \left( {{T_0} - {T_U}} \right) \cdot {e^{ - k \cdot t}} + {T_U}{\text{ mit }}k \in \mathbb{R}\)
(t in Minuten, TU in °C, T0 in °C, T(t) in °C)
Eine Tasse mit Tee mit der Anfangstemperatur T0 = 90 °C wird in einen Raum mit einer konstanten Umgebungstemperatur von TU = 20 °C gestellt. Der Tee ist nach 10 Minuten auf eine Temperatur von 65 °C abgekühlt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie k.
Nehmen Sie an, dass der ermittelte Wert von k sowohl für den Abkühlungsprozess eines Tees mit einer Anfangstemperatur von 90 °C als auch für den Abkühlungsprozess eines anderen Tees mit einer Anfangstemperatur von 70 °C gilt.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie an, bei welcher Umgebungstemperatur TU beide Tees in der gleichen Zeit auf die Hälfte des Wertes ihrer jeweiligen Anfangstemperatur (in °C) abkühlen.
TU = °C
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir sollen k ermitteln. Aus der Angabe entnehmen wir:
- T0=90°C
- TU=20°C
- t=10 Minuten
- T(t=10)=65°C
Wir setzen in die Gleichung ein und machen k explizit:
\(\eqalign{ & T\left( t \right) = \left( {{T_0} - {T_U}} \right) \cdot {e^{ - k \cdot t}} + {T_U} \cr & \cr & 65 = (90 - 20) \cdot {e^{ - k \cdot 10}} + 20\,\,\,\,\,\left| { - 20} \right. \cr & 45 = 70 \cdot {e^{ - 10 \cdot k}}\,\,\,\,\,\left| {:70} \right. \cr & {e^{ - 10 \cdot k}} = \dfrac{{45}}{{70}}\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right. \cr & - 10 \cdot k = \ln \left( {\dfrac{{45}}{{10}}} \right) \cr & k = \frac{{\ln \left( {\dfrac{{45}}{{70}}} \right)}}{{ - 10}} \approx 0,04418 \cr & k \approx 0,044{\text{mi}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}} \cr} \)
2. Teilaufgabe:
Wir schreiben die beiden Anfangstemperaturen und die aus der 1. Teilaufgabe bekannte Konstante k an und setzen diese Werte zwei-mal in die gegebene Gleichung für T(t) ein.
\(\eqalign{ & T\left( t \right) = \left( {{T_0} - {T_U}} \right) \cdot {e^{ - k \cdot t}} + {T_U} \cr & \cr & {T_{O1}} = 90^\circ C \cr & {T_{O2}} = 70^\circ C \cr & k \approx 0,044{\min ^{ - 1}} \cr & \cr & {\text{Gl}}{\text{.1: }}\frac{{90}}{2} = 45 = \left( {90 - {T_U}} \right) \cdot {e^{ - 0,044 \cdot t}} + {T_U}\,\,\,\,\,\left| { - {T_U}} \right. \cr & {\text{Gl}}{\text{.2: }}\frac{{70}}{2} = 35 = \left( {70 - {T_U}} \right) \cdot {e^{ - 0,044 \cdot t}} + {T_U}\,\,\,\,\,\left| { - {T_U}} \right. \cr & \cr & 45 - {T_U} = \left( {90 - {T_U}} \right) \cdot {e^{ - 0,044 \cdot t}} \cr & 35 - {T_U} = \left( {70 - {T_U}} \right) \cdot {e^{ - 0,044 \cdot t}} \cr} \)
Wir können die Exponentialfunktionen eliminieren, indem wir die 1. durch die 2. Gleichung dividieren. Danach bleibt nur mehr 1. Variable, nämlich TU über:
\(\eqalign{ & {\text{Gl}}{\text{.1 : Gl}}{\text{.2}} \cr & \frac{{45 - {T_U}}}{{35 - {T_U}}} = \frac{{90 - {T_U}}}{{70 - {T_U}}} \cr & \left( {45 - {T_U}} \right) \cdot \left( {70 - {T_U}} \right) = \left( {90 - {T_U}} \right) \cdot \left( {35 - {T_U}} \right) \cr} \)
Um diese Gleichung mittels Technologieeinsatz zu lösen substituieren wir TU=x:
\(\eqalign{ & {T_U} = x \cr & \left( {45 - x} \right) \cdot \left( {70 - x} \right) = \left( {90 - x} \right) \cdot \left( {35 - x} \right) \cr & x = 0 = {T_U} \cr & \to {T_U} = 0^\circ {\text{C}} \cr} \)
Probe:
\(\eqalign{ & \left( {45 - 0} \right) \cdot \left( {70 - 0} \right) = \left( {90 - 0} \right) \cdot \left( {35 - 0} \right) \cr & 45 \cdot 70 = 3150 = 90 \cdot 35\,\,\,\,\,{\text{wzbw}} \cr} \)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(k \approx 0,044{\text{mi}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}\)
2. Teilaufgabe
\({T_U} = 0^\circ {\text{C}}\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „min–1“ nicht angegeben sein muss.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für die richtige Lösung.