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Aufgaben
Aufgabe 3004
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wachstumsprozesse
Im Folgenden werden Wachstumsmodelle betrachtet. Die nachstehende Differenzengleichung beschreibt ein Wachstum.
\({N_{t + 1}} - {N_t} = r \cdot \left( {S - {N_t}} \right)\)
Nt |
Bestand zum Zeitpunkt t |
r |
Wachstumskonstante, r ∈ ℝ+ |
S | (obere) Kapazitätsgrenze |
Teil b
Die Differenzengleichung
\({N_{t + 1}} - {N_t} = r \cdot \left( {S - {N_t}} \right)\)
lässt sich auch in folgender Form darstellen:
\({N_{t + 1}} = a \cdot {N_t} + b{\text{ mit }}a,b \in {\Bbb R}\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Drücken Sie r und S durch a und b aus.
r =
S =
Zur Entwicklung eines neuen Impfstoffs wird das Wachstum einer Bakterienkultur in einer Petrischale untersucht. In der nachstehenden Tabelle ist der Inhalt Nt (in cm2) derjenigen Fläche angeführt, die von der Bakterienkultur zum Zeitpunkt t (in h) bedeckt wird.
t in h | Nt in cm² |
0 | 5,00 |
1 | 9,80 |
2 | 14,41 |
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie a und b mithilfe der in der obigen Tabelle angegebenen Werte.
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Aufgabe 3005
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wachstumsprozesse
Teil c
Ein Pharmaunternehmen bringt einen neuen Impfstoff auf den Markt. In der ersten Woche nach der Markteinführung haben bereits 15 000 Personen den Impfstoff gekauft. Die Anzahl f(t) derjenigen Personen, die den Impfstoff innerhalb von t Wochen nach der Markteinführung gekauft haben, lasst sich modellhaft durch die Funktion f mit
\(f\left( t \right) = 1\,000\,000 \cdot \left( {1 - {e^{ - k \cdot t}}} \right){\text{ mit }}k \in {{\Bbb R}^ + }\)
beschreiben.
1. Teilaufgabe
Berechnen Sie k
2. Teilaufgabe
Ermitteln Sie denjenigen Zeitpunkt t0, zu dem erstmals 500 000 Personen diesen Impfstoff gekauft haben.
Aufgabe 3006
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quiz mit Spielbrett
Bei einem Quiz werden hintereinander mehrere Fragen gestellt, die jeweils mit „ja“ oder „nein“ beantwortet werden. Auf einem Spielbrett steht eine Spielfigur zu Beginn eines jeden Spieldurchgangs auf dem Feld mit der Zahl 0. Bei jeder richtigen Antwort wird diese Spielfigur um ein Feld nach rechts, bei jeder falschen Antwort um ein Feld nach links gezogen. Die Felder des Spielbretts sind mit ganzen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge beschriftet (siehe nachstehende Abbildung). Das Spielbrett kann auf beiden Seiten beliebig verlängert werden.
Spielbrett:
... | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... |
Maria und Tom spielen dieses Quiz. Tom befragt Maria.
Teil a:
Bei einem Spieldurchgang ist das Quiz zu Ende, wenn die Spielfigur auf dem Feld mit der Zahl 2 zu stehen kommt. Mit A wird das Ereignis bezeichnet, dass die Spielfigur nach höchstens 4 Fragen auf dem Feld mit der Zahl 2 steht.
Maria beantwortet jede Frage unabhängig von den anderen Fragen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p richtig.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit P(A) in Abhängigkeit von p an.
P(A) =
Wird p erhöht, so vergrößert sich die Wahrscheinlichkeit P(A).
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie dasjenige p ∈ [0; 1] an, bei dem die Wahrscheinlichkeit P(A) am stärksten wächst (also die lokale Änderungsrate von P(A) am größten ist).
Aufgabe 3007
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quiz mit Spielbrett
Bei einem Quiz werden hintereinander mehrere Fragen gestellt, die jeweils mit „ja“ oder „nein“ beantwortet werden. Auf einem Spielbrett steht eine Spielfigur zu Beginn eines jeden Spieldurchgangs auf dem Feld mit der Zahl 0. Bei jeder richtigen Antwort wird diese Spielfigur um ein Feld nach rechts, bei jeder falschen Antwort um ein Feld nach links gezogen. Die Felder des Spielbretts sind mit ganzen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge beschriftet (siehe nachstehende Abbildung). Das Spielbrett kann auf beiden Seiten beliebig verlängert werden.
Spielbrett:
... | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... |
Maria und Tom spielen dieses Quiz. Tom befragt Maria.
Teil b:
Bei einem anderen Spieldurchgang werden Maria genau 100 Fragen gestellt. Sie beantwortet dabei jede Frage unabhängig von den anderen Fragen mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 richtig. Die Zufallsvariable Y gibt die Zahl desjenigen Feldes an, auf dem die Spielfigur nach der Beantwortung der 100 Fragen steht.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Erwartungswert E(Y).
E(Y) =
Die Zufallsvariable Y wird durch eine normalverteilte Zufallsvariable Z angenähert. Dabei gilt:
E(Y) = E(Z) und die Standardabweichung σ von Z ist 8.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie das um den Erwartungswert E(Z) symmetrische Intervall
Aufgabe 3008
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quiz mit Spielbrett
Bei einem Quiz werden hintereinander mehrere Fragen gestellt, die jeweils mit „ja“ oder „nein“ beantwortet werden. Auf einem Spielbrett steht eine Spielfigur zu Beginn eines jeden Spieldurchgangs auf dem Feld mit der Zahl 0. Bei jeder richtigen Antwort wird diese Spielfigur um ein Feld nach rechts, bei jeder falschen Antwort um ein Feld nach links gezogen. Die Felder des Spielbretts sind mit ganzen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge beschriftet (siehe nachstehende Abbildung). Das Spielbrett kann auf beiden Seiten beliebig verlängert werden.
Spielbrett:
... | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... |
Maria und Tom spielen dieses Quiz. Tom befragt Maria.
Teil c:
Bei einem anderen Spieldurchgang beantwortet Maria alle Fragen durch Raten. Sie beantwortet somit jede Frage unabhängig von den anderen Fragen mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 richtig. Für jede gerade Anzahl n an Fragen mit n ≥ 2 gilt:
\(M\left( n \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ {\dfrac{n}{2}} \end{array}} \right) \cdot {0,5^n}\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Interpretieren Sie M(n) im gegebenen Kontext.
Für jede gerade Anzahl n an Fragen mit n ≥ 10 kann M(n) durch
\(\widetilde M\left( n \right) = \sqrt {\dfrac{2}{{\pi \cdot n}}} \)
näherungsweise berechnet werden. Für jedes gerade n ≥ 10 gibt es ein n*, sodass gilt:
\(\widetilde M\left( {{n^*}} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \widetilde M\left( n \right)\)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Bestimmen Sie n* in Abhängigkeit von n.
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Aufgabe 3009
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ozonmessungen
Das Gas Ozon hat Auswirkungen auf unsere Gesundheit. Aus diesem Grund werden in Messstationen und mithilfe von Wetterballons die jeweiligen Ozonkonzentrationen in unterschiedlichen Atmosphärenschichten gemessen.
Teil a:
Auf der Hohen Warte in Wien befindet sich in 220 m Seehöhe eine Wetterstation. Hier wird für eine Messreihe ein Wetterballon mit einem Ozonmessgerat gestartet. Das Ozonmessgerät beginnt mit seinen Aufzeichnungen, wenn der Wetterballon eine Seehöhe von 2 km erreicht hat.
Nehmen Sie an, dass der Wetterballon (mit der Anfangsgeschwindigkeit 0 m/s) lotrecht in die Höhe steigt und dabei gleichmäßig mit 0,125 m/s2 beschleunigt, bis er zu einem Zeitpunkt t1 eine Geschwindigkeit von 6 m/s erreicht. Die Zeit wird dabei in Sekunden und die Seehöhe in Metern gemessen.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie die Höhe des Wetterballons über der Wetterstation zum Zeitpunkt t1.
Ab dem Zeitpunkt t1 steigt der Wetterballon mit der konstanten Geschwindigkeit von 6 m/s lotrecht weiter.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie, wie viele Sekunden nach dem Start das Messgerät mit seinen Aufzeichnungen beginnt.
Aufgabe 3010
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ozonmessungen
Das Gas Ozon hat Auswirkungen auf unsere Gesundheit. Aus diesem Grund werden in Messstationen und mithilfe von Wetterballons die jeweiligen Ozonkonzentrationen in unterschiedlichen Atmosphärenschichten gemessen.
Teil b:
Ein Wetterballon hat bei einem Luftdruck von 1 013,25 hPa ein Volumen von 6,3 m3. Durch die Abnahme des Luftdrucks während des Aufstiegs dehnt sich der Wetterballon immer weiter aus und wird näherungsweise kugelförmig. Bei einem Durchmesser von d Metern zerplatzt er.
Der Luftdruck kann in Abhängigkeit von der Seehöhe h durch eine Funktion p modelliert werden. Dabei ordnet die Funktion p der Seehöhe h den Luftdruck p(h) zu. Es gilt:
\(p\left( h \right) = 1013,25 \cdot {\left( {1 - \dfrac{{0,0065 \cdot h}}{{288,15}}} \right)^{5,255}}\)
mit h in m, p(h) in hPa
Gehen Sie davon aus, dass der Luftdruck p(h) und das Volumen V(h) des Wetterballons indirekt proportional zueinander sind. Dabei ist V(h) das Volumen des Wetterballons in der Seehöhe h.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Drücken Sie das Volumen V(h) durch die Seehöhe h aus.
V(h) = mit h in m, V(h) in m3
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Der Wetterballon zerplatzt in einer Seehöhe von h = 27 873,6 m.
Berechnen Sie den Durchmesser d des Wetterballons in Metern, bei dem dieser zerplatzt.
Aufgabe 3011
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ozonmessungen
Das Gas Ozon hat Auswirkungen auf unsere Gesundheit. Aus diesem Grund werden in Messstationen und mithilfe von Wetterballons die jeweiligen Ozonkonzentrationen in unterschiedlichen Atmosphärenschichten gemessen.
Teil c:
Das sogenannte Gesamtozon ist ein Maß für die Dicke der Ozonschicht und wird in sogenannten Dobson-Einheiten (DU) angegeben. Die von einem Wetterballon aufgezeichneten Messdaten können modellhaft durch eine quadratische Funktion f beschrieben werden. Dabei ordnet f der Höhe h die Gesamtozondichte f(h) zu (h in km, f(h) in DU/km). Der höchste Wert von 36 DU/km wird in einer Seehöhe von 22 km gemessen. In einer Seehöhe von 37 km betragt der gemessene Wert 1 DU/km.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie f(h).
f(h) =
In der Erdatmosphäre entspricht 1 DU einer 0,01 mm dicken Schicht reinen Ozons an der Erdoberfläche. Die Dicke derjenigen Schicht reinen Ozons an der Erdoberfläche, die dem Gesamtozon zwischen 7 km und 37 km Seehöhe entspricht, ist
\(\int\limits_7^{37} {f\left( h \right)} \,\,dh\)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Dicke dieser Schicht.
Dicke dieser Schicht: mm
Aufgabe 3012
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Solarthermie-Anlagen
Bei Solarthermie-Anlagen wird die Sonnenstrahlung von sogenannten Solarmodulen in Wärme umgewandelt. Diese Wärme kann beispielsweise zur Warmwassererzeugung oder zur Heizung von Gebäuden verwendet werden.
Teil a
Ein Solarmodul einer Solarthermie-Anlage mit der Lange l schließt mit dem waagrechten Erdboden den Winkel φ ein. Dieser Winkel φ wird durch eine Stütze mit variabler Lange s so verändert, dass das Solarmodul mit den Sonnenstrahlen einen rechten Winkel einschließt. Die Sonnenstrahlen treffen unter dem Winkel ε auf den Erdboden auf.
Die Situation ist in der nachstehenden Abbildung modellhaft dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie eine Formel an, mit der s unter Verwendung von l und ε berechnet werden kann.
s =
Das oben abgebildete Solarmodul hat die Lange l = 1 666 mm. Bei diesem Solarmodul nimmt der Winkel ε im Laufe eines bestimmten Tages Werte von 14° bis 65° an.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie den maximalen Wert von s in mm an.
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung in Ruhe entspannen
Aufgabe 3013
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Solarthermie-Anlagen
Bei Solarthermie-Anlagen wird die Sonnenstrahlung von sogenannten Solarmodulen in Wärme umgewandelt. Diese Wärme kann beispielsweise zur Warmwassererzeugung oder zur Heizung von Gebäuden verwendet werden.
Teil b
Die Leistung einer bestimmten Solarthermie-Anlage an einem wolkenfreien Tag wird durch die Funktion P modelliert. Dabei gilt:
\(P\left( t \right) = 0,0136 \cdot {a^3} \cdot {t^4} - 0,272 \cdot {a^2} \cdot {t^3} + 1,36 \cdot a \cdot {t^2}\)
t | Zeit in h, die seit dem Sonnenaufgang (t = 0) vergangen ist |
P(t) | Leistung in kW zur Zeit t |
a | Parameter |
Beim Sonnenaufgang und beim Sonnenuntergang beträgt die Leistung der Solarthermie-Anlage 0 kW. Zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang nimmt die Funktion P positive Werte an.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie für diese Solarthermie-Anlage den Wert des Parameters a für einen bestimmten wolkenfreien Tag, an dem die Sonne um 7:08 Uhr aufgeht und um 18:38 Uhr untergeht.
Die Arbeit, die von der Solarthermie-Anlage zwischen den zwei Zeitpunkten t1 und t2 verrichtet wird, ist
\(\int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {P\left( t \right)} \,dt\)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die an diesem Tag von der Solarthermie-Anlage verrichtete Arbeit (in kWh).
Aufgabe 3014
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Benzinverbrauch – 2075. Aufgabe 2_075
Teil a
Der Benzinverbrauch eines bestimmten Kleinwagens kann in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit modellhaft durch die Funktion B beschrieben werden.
\({B_v} = 0,000483 \cdot {v^2} - 0,0326 \cdot v + 2,1714 + \dfrac{{66}}{v}{\rm{ mit }}20 < v < 150\)
v |
Geschwindigkeit in km/h |
B(v) |
Benzinverbrauch in Litern pro 100 km (L/100 km) bei der Geschwindigkeit v |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Benzinverbrauch bei einer Geschwindigkeit von 90 km/h höher als bei einer Geschwindigkeit von 70 km/h ist.
Der Benzinverbrauch bei einer Geschwindigkeit von 40 km/h ist um 25 % geringer als der Benzinverbrauch bei einer Geschwindigkeit v1 mit 20 < v1 < 40.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie die Geschwindigkeit v1.
Aufgabe 3015
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Benzinverbrauch – 2075. Aufgabe 2_075
Teil b
Für hohe Geschwindigkeiten soll die Funktion B durch eine lineare Funktion f mit
\(f\left( v \right) = k \cdot v + d{\text{ mit }}k,d \in {\Bbb R}\)
angenähert werden, sodass gilt:
- f(100) = B(100)
- f(130) = B(130)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie einen Funktionsterm f(v) der Funktion f.
Diese Näherung kann verwendet werden, wenn die Abweichung zwischen den Funktionswerten von f und B höchstens 0,3 L/100 km beträgt.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie das größtmögliche Intervall für die Geschwindigkeit an, in dem die Funktion f als Näherung verwendet werden kann.