Quiz mit Spielbrett – 2073. Aufgabe 2_073
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Aufgaben
Aufgabe 3006
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quiz mit Spielbrett
Bei einem Quiz werden hintereinander mehrere Fragen gestellt, die jeweils mit „ja“ oder „nein“ beantwortet werden. Auf einem Spielbrett steht eine Spielfigur zu Beginn eines jeden Spieldurchgangs auf dem Feld mit der Zahl 0. Bei jeder richtigen Antwort wird diese Spielfigur um ein Feld nach rechts, bei jeder falschen Antwort um ein Feld nach links gezogen. Die Felder des Spielbretts sind mit ganzen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge beschriftet (siehe nachstehende Abbildung). Das Spielbrett kann auf beiden Seiten beliebig verlängert werden.
Spielbrett:
... | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... |
Maria und Tom spielen dieses Quiz. Tom befragt Maria.
Teil a:
Bei einem Spieldurchgang ist das Quiz zu Ende, wenn die Spielfigur auf dem Feld mit der Zahl 2 zu stehen kommt. Mit A wird das Ereignis bezeichnet, dass die Spielfigur nach höchstens 4 Fragen auf dem Feld mit der Zahl 2 steht.
Maria beantwortet jede Frage unabhängig von den anderen Fragen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p richtig.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit P(A) in Abhängigkeit von p an.
P(A) =
Wird p erhöht, so vergrößert sich die Wahrscheinlichkeit P(A).
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie dasjenige p ∈ [0; 1] an, bei dem die Wahrscheinlichkeit P(A) am stärksten wächst (also die lokale Änderungsrate von P(A) am größten ist).
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Aufgabe 3007
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quiz mit Spielbrett
Bei einem Quiz werden hintereinander mehrere Fragen gestellt, die jeweils mit „ja“ oder „nein“ beantwortet werden. Auf einem Spielbrett steht eine Spielfigur zu Beginn eines jeden Spieldurchgangs auf dem Feld mit der Zahl 0. Bei jeder richtigen Antwort wird diese Spielfigur um ein Feld nach rechts, bei jeder falschen Antwort um ein Feld nach links gezogen. Die Felder des Spielbretts sind mit ganzen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge beschriftet (siehe nachstehende Abbildung). Das Spielbrett kann auf beiden Seiten beliebig verlängert werden.
Spielbrett:
... | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... |
Maria und Tom spielen dieses Quiz. Tom befragt Maria.
Teil b:
Bei einem anderen Spieldurchgang werden Maria genau 100 Fragen gestellt. Sie beantwortet dabei jede Frage unabhängig von den anderen Fragen mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 richtig. Die Zufallsvariable Y gibt die Zahl desjenigen Feldes an, auf dem die Spielfigur nach der Beantwortung der 100 Fragen steht.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Erwartungswert E(Y).
E(Y) =
Die Zufallsvariable Y wird durch eine normalverteilte Zufallsvariable Z angenähert. Dabei gilt:
E(Y) = E(Z) und die Standardabweichung σ von Z ist 8.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie das um den Erwartungswert E(Z) symmetrische Intervall
Aufgabe 3008
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quiz mit Spielbrett
Bei einem Quiz werden hintereinander mehrere Fragen gestellt, die jeweils mit „ja“ oder „nein“ beantwortet werden. Auf einem Spielbrett steht eine Spielfigur zu Beginn eines jeden Spieldurchgangs auf dem Feld mit der Zahl 0. Bei jeder richtigen Antwort wird diese Spielfigur um ein Feld nach rechts, bei jeder falschen Antwort um ein Feld nach links gezogen. Die Felder des Spielbretts sind mit ganzen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge beschriftet (siehe nachstehende Abbildung). Das Spielbrett kann auf beiden Seiten beliebig verlängert werden.
Spielbrett:
... | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... |
Maria und Tom spielen dieses Quiz. Tom befragt Maria.
Teil c:
Bei einem anderen Spieldurchgang beantwortet Maria alle Fragen durch Raten. Sie beantwortet somit jede Frage unabhängig von den anderen Fragen mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 richtig. Für jede gerade Anzahl n an Fragen mit n ≥ 2 gilt:
\(M\left( n \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ {\dfrac{n}{2}} \end{array}} \right) \cdot {0,5^n}\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Interpretieren Sie M(n) im gegebenen Kontext.
Für jede gerade Anzahl n an Fragen mit n ≥ 10 kann M(n) durch
\(\widetilde M\left( n \right) = \sqrt {\dfrac{2}{{\pi \cdot n}}} \)
näherungsweise berechnet werden. Für jedes gerade n ≥ 10 gibt es ein n*, sodass gilt:
\(\widetilde M\left( {{n^*}} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \widetilde M\left( n \right)\)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Bestimmen Sie n* in Abhängigkeit von n.