AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AG 1.1

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Grundbegriffe der Algebra

AG 1.1: Wissen über die Zahlenmengen, -bereiche ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ verständig einsetzen können

Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021

In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Standard-Zahlenmengen“ kennen.

Die einzelnen Mengen bauen aufeinander auf, wobei jede Zahlenmenge in der nächstgrößeren Zahlenmenge vollkommen enthalten ist. Alle Zahlen gehören einer oder mehreren der nachfolgenden Standard-Zahlenmengen an.

Bild

\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)

Natürliche Zahlen

\(\mathbb{N} = \left\{ {0,1,2,3,...} \right\}\) 
Null, sowie alle positiven ganzen Zahlen (Äpfel im Korb). Beachte: \(0,\mathop 9\limits^ \bullet = 1 \in N\)

Ganze Zahlen

\(\mathbb{Z} = \left\{ {..., - 2, - 1,0,1,2,...} \right\}\)
Alle positiven und negativen ganzen Zahlen (Temperatur)

Rationale Zahlen

\(\mathbb{Q} = \left\{ {\dfrac{p}{q}\,\,\left| {p \in \mathbb{Z},\,q \in {\mathbb{N}^{{\text{ ohne }}0}}} \right.} \right\}\)

Alle positiven oder negativen Zahlen, die sich als Quotient (als Bruch) darstellen lassen, wobei sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen stehen. Umgekehrt können diese Brüche wiederum durch Division des Zählers durch den Nenner, als endliche oder als periodische Dezimalzahlen dargestellt werden.

Irrationale Zahlen

\(\mathbb{I} = \dfrac{\mathbb{R}}{\mathbb{Q}}\)

Alle positiven und negativen Kommazahlen, die grundsätzlich nicht als Bruch mit ganzen Zahlen im Zähler und im Nenner dargestellt werden können, wie \(\sqrt 2 ,\,\pi \).
(Anmerkung: Als allgemeinen Bruch kann man sie schon darstellen: \(\pi = \dfrac{\pi }{1}\)

Reelle Zahlen

\(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\)

Die Summe aus den rationalen und irrationalen Zahlen. Bilden den Realteil der komplexen Zahlen. (Technik)

Imaginäre Zahlen

\(ib\)

Eine komplexe Zahl, deren Realteil null ist, zugleich eine komplexe Zahl, deren Quadrat eine nicht positive reelle Zahl ist. Die imaginären Zahlen bilden den Imaginärteil einer komplexen Zahl.

Komplexe Zahlen

\(\mathbb{C} = \left\{ {z = a + ib\,\,\left| {a,b \in \mathbb{R},\,{i^2} = - 1} \right.} \right\}\)

Zahlenpaare, die sich aus einem Real- und einem Imaginärteil zusammensetzen und die nicht mehr nur am gaußschen Zahlenstrahl, sondern in der gaußschen Ebene liegen.

Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst