Menge der reellen Zahlen

Standard Zahlenmengen

Eine Standard Zahlenmenge umfasst alle Zahlen, die bei bestimmten Arten von Rechnungen gebräuchlich sind. Die einzelnen Mengen bauen auf einander auf, wobei jede Zahlenmenge in der darauf aufbauenden Zahlenmenge vollkommen enthalten ist. Alle Zahlen gehören einer oder mehreren der nachfolgenden Standard Zahlenmengen an.

\({\Bbb N} \subset {\Bbb Z} \subset {\Bbb Q} \subset {\Bbb R} \subset {\Bbb C}\)

• Natürliche Zahlen: Null, sowie alle positiven ganzen Zahlen
• Ganze Zahlen: Alle positiven und negativen ganzen Zahlen
• Rationale Zahlen: Alle positiven und negativen Kommazahlen, die grundsätzlich als Bruch mit ganzen Zahlen im Zähler und im Nenner dargestellt werden können
• Irrationale Zahlen: Alle positiven und negativen Kommazahlen, die grundsätzlich nicht als Bruch mit ganzen Zahlen im Zähler und im Nenner dargestellt werden können
• Reelle Zahlen: Die Summe aus den rationalen und irrationalen Zahlen. Bilden den Realteil der komplexen Zahlen.
• Imaginäre Zahlen: Eine komplexe Zahl, deren Realteil null ist, zugleich eine komplexe Zahl, deren Quadrat eine nicht positive reelle Zahl ist. Bilden den Imaginärteil einer komplexen Zahl.
• Komplexe Zahlen: Zahlenpaare, die sich aus einem Real- und einem Imaginärteil zusammensetzen und die nicht mehr nur am Gaußschen Zahlenstrahl sondern in der Gaußschen Ebene liegen.

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Menge der natürlichen Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen, ist die Menge der nicht negativen ganzen Zahlen, bzw. die Menge aller positiven ganzen Zahlen, zu denen auch Null zählt.

Null ist die kleinste natürliche Zahl. Man kann keine größte natürliche Zahl benennen, weil es - am positiven Zahlenstrahl - unendlich viele natürliche Zahlen mit 1 als Abstand gibt.

\({\Bbb N} = \left\{ {0,1,2,3,4...\infty } \right\} \)

Beispiele:

\(\eqalign{ & 0,\mathop 9\limits^ \bullet = 1 \in {\Bbb N} \cr & \dfrac{9}{3} = 3 \in {\Bbb N} \cr} \)

Menge der natürlichen Zahlen ohne Null

Die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null, ist die Menge aller positiven ganzzahligen Zahlen. Man schreibt ein kleines hochgestelltes "+" hinter dem "N".

\({{\Bbb N}^+} = \left\{ {1,2,3,4...\infty } \right\}\)

Menge der geraden natürlichen Zahlen

Die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist die Menge der geraden nicht negativen ganzen Zahlen, zu denen auch Null zählt, weil die geraden Zahlen durch 2 stets ohne Rest teilbar sind.

\({{\Bbb N}_g} = \left\{ {0,2,4,6..\infty } \right\}\)

Menge der ungeraden natürlichen Zahlen

Die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen ist die Menge der ungeraden nicht negativen ganzen Zahlen.

\({{\Bbb N}_u} = \left\{ {1,3,5,7..\infty } \right\}\)

Menge der Primzahlen

Primzahlen sind jene Zahlen, die größer als 1 sind, die aber ausschließlich durch sich selbst und durch 1 ganzzahlig teilbar sind. Primzahlen lassen sich daher durch exakt zwei Faktoren darstellen. Sie sind somit eine Teilmenge der natürlichen Zahlen.

\(P = \left\{ {2,3,5,7,11,13...} \right\}\)

• "1" ist keine Primzahl, weil eine Primzahl genau zwei Teiler haben muss, nämlich 1 und sich selbst. "1" hat aber nur einen Teiler, nämlich 1 und ist daher keine Primzahl.
• "2" ist die kleinste Primzahl

Der Satz von Euklid zu Primzahlen

Der „Satz von Euklid“ besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Fundamentalsatz der Arithmetik

Der Fundamentalsatz der Arithmetik besagt, dass sich jede natürliche Zahl, die größer als 1 ist und die selbst keine Primzahl ist, als Produkt von zwei oder mehreren Primzahlen darstellen lässt. Darauf basiert die Primfaktorenzerlegung. Es wurde noch keine Regelmäßigkeit gefunden, nach der Primzahlen auftreten.

Die Menge der natürlichen Zahlen lässt sich somit unterteilen in

• 0
• 1
• Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...)
• aus 2 oder 3 Primzahlen zusammengesetzte Zahlen (1742 vom Mathematiker Goldbach, in einem Brief an Euler, formulierte und bis heute unbewiesene Vermutung) 
  • starke, oder binäre Goldbachsche Vermutung: Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, kann als Summe von 2 Primzahlen dargestellt werden
    \(\eqalign{ & 4 = 2 + 2 \cr & 6 = 3 + 3 \cr & 8 = 3 + 5 \cr & 10 = 3 + 7 \cr & 12 = 5 + 7 \cr & 14 = 3 + 11 \cr & 16 = 3 + 13 \cr & 18 = 5 + 13 = 7 + 11 \cr & 20 = 7 + 13 \cr} \)
  • schwache, oder ternäre Goldbachsche Vermutung: Jede ungerade Zahl, die größer als 5 ist, kann als Summe von 3 Primzahlen dargestellt werden
    \(\eqalign{ & 7 = 2 + 2 + 3 \cr & 9 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3 \cr & 11 = 2 + 2 + 7 = 3 + 3 + 5 \cr & 13 = 5 + 5 + 3 = 3 + 3 + 7 \cr & 15 = 5 + 5 + 5 = ... \cr & 17 = 5 + 5 + 7 = ... \cr & 19 = 5 + 7 + 7 = ... \cr} \)

Einige Beispiele

\(\eqalign{ & 144 = {2^4} \cdot {3^2} \cr & 145 = 5 \cdot 29 \cr & 146 = 2 \cdot 73 \cr & 147 = 3 \cdot {7^2} \cr} \)

Menge der ganzen Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen sind die um die negativen ganzen Zahlen erweiterten natürlichen Zahlen. Die Menge der ganzen Zahlen ist gegenüber der Addition, der Multiplikation und der Subtraktion abgeschlossen.

\({\Bbb Z} = \left\{ { - \infty ,..., - 1,0,1,2,...\infty } \right\}\)

Beispiel:

\( - \root 2 \of 4 = - 2 \in {\Bbb Z}\)

• Nachfolger: Zu jeder ganzen Zahl kann man 1 dazuzählen, dann erhält man den Nachfolger, der wiederum eine ganze Zahl ist
• Vorgänger: Von jeder ganzen Zahl kann man 1 abziehen, dann erhält man den Vorgänger, der wiederum eine ganze Zahl ist

Menge der rationalen Zahlen

Die Menge der rationalen Zahlen sind die um die Brüche erweiterten Zahlen. Alle positiven oder negativen Zahlen, die sich als Quotient (als Bruch) darstellen lassen, wobei sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen stehen. Umgekehrt können diese Brüche wiederum durch Division des Zählers durch den Nenner, als endliche oder als periodische Dezimalzahlen dargestellt werden. Die Menge der rationalen Zahlen ist gegenüber der Addition und der Multiplikation sowie der Subtraktion und der Division abgeschlossen.

\({\Bbb Q} = \left\{ {\dfrac{p}{q}\left| {p \in {\Bbb Z},q \in {{\Bbb N}^*}} \right.} \right\} \)

Beispiele:

\(\eqalign{ & \frac{\pi }{2} \notin {\Bbb Q};\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \notin {\Bbb Q} \cr & - 2,234 \in {\Bbb Q};\,\,\,\,\,2,\mathop 2\limits^ \bullet \in Q \cr} \)

Menge der irrationalen Zahlen

Die Menge der irrationalen Zahlen umfasst jene Zahlen die sich aus unendlich vielen, nicht periodischen Dezimalstellen zusammensetzen. Man kann irrationale Zahlen nicht als Bruch mit ganzen Zahlen im Zähler und im Nenner darstellen.

\({\Bbb I} = {\Bbb R}\backslash {\Bbb Q}\)

Beispiele:

\(\pi \in {\Bbb I};\,\,\,\,\,e \in {\Bbb I};\,\,\,\,\,\sqrt 2 \in I;\,\,\,\,\,\sqrt 4 \notin {\Bbb I}\left( { \in {\Bbb N}} \right)\)

Menge der reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen sind die um die irrationalen Zahlen erweiterten rationalen Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen setzt sich also aus der Menge der rationalen und der irrationalen Zahlen zusammen. Die Menge der reellen Zahlen ist gegenüber allen 4 Grundrechnungsarten abgeschlossen.

\({\Bbb R} = {\Bbb Q} \cup {\Bbb I}\)

Menge der komplexen Zahlen

Die Menge der komplexen Zahlen sind die um die imaginären Zahlen erweiterten reellen Zahlen. Die Menge der komplexen Zahlen erweitert den Zahlenbereich der reellen Zahlen so, dass die Gleichung x²+1=0 lösbar wird. Dazu führt man die imaginäre Einheit i als neue Zahl ein, wobei gilt i²=-1

\({\Bbb C} = \left\{ {z = a + ib\left| {a,b \in {\Bbb R},{i^2} = - 1} \right.} \right\} \)

Beispiele:

\(\sqrt { - 2} \in {\Bbb C};\,\,\,\,\, - \sqrt 2 \in {\Bbb I} \in {\Bbb C};\)