Aufgabe 1493

Achtung: Gegeben ist eine Untermenge der rationalen Zahlen, nämlich alle rationalen Zahlen, die größer als 2 und kleiner als 5 sind.

Die Menge der rationalen Zahlen: Das sind die um die Brüche erweiterten Zahlen. Das ist die Menge aller positiven oder negativen Zahlen, die sich als Quotient (als Bruch) darstellen lassen, wobei sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen stehen. Rationale Zahlen können endlich viele Dezimalzahlen oder unendlich viele periodische Dezimalzahlen haben.

• Aussage 1: Falsch, weil es noch größere Zahlen gibt als 4,99 die kleiner als 5 sind, etwas 4,999 oder 4,9999,…
• Aussage 2: Richtig, weil es unendlich viele Zahlen gibt, die größer als 2 und kleiner als 2,1 sind, etwa 2,01oder 2,0101,… Nur zur Ergänzung: Es ist aber nicht jede Zahl wischen 2 und 2,1 eine rationale Zahl, sondern nur diejenigen, die endlich viele Dezimalzahlen oder unendlich viele periodische Dezimalzahlen haben
• Aussage 3: Falsch, weil die reellen Zahlen die rationale und die irrationalen Zahlen sind, also eine Obermenge der rationalen Zahlen \(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\). Die irrationalen Zahlen sind unendlichen, nicht periodischen Dezimalzahlen. Die Wurzel aus 5 ist so eine irrationale Zahl, die zwar zwischen 2 und 5 liegt, aber eben keine rationale Zahl ist.
• Aussage 4: Richtig, weil es sich dabei ja genau um die Definition der rationalen Zahlen handelt, die wie folgt lautet \(\mathbb{Q} = \left\{ {\dfrac{p}{q}\,\,\left| {p \in \mathbb{Z},\,q \in {\mathbb{N}^{{\text{ ohne }}0}}} \right.} \right\}\)
• Aussage 5: Falsch, weil die Menge M durchaus unendlich viele komplexe Zahlen enthält, z.B.: 3+0i, denn diese komplexe Zahl hat nur einen Realteil, der eben in M liegt, aber ihr Imaginärteil ist Null.