Aufgabe 4205

1. Teilaufgabe:

Wenn wir die Einheit der y-Achse mit der Einheit der x-Achse multiplizieren, dann erhalten wir die Einheit für die Fläche (unter der Kurve): \(\dfrac{m}{s} \cdot s = m\) → Die Fläche unter der Kurve entspricht dem im Zeitintervall [0; 45] zurückgelegten gesuchten Weg.

Würden wir die Funktionsgleichung für die Abhängigkeit der Geschwindigkeit vom zurückgelegten Weg kennen, könnten wir das bestimmte Integral zwischen 0 und 45 Sekunden bestimmen und hätten damit sowohl die Fläche unter der Kurve als auch den zurückgelegten Weg errechnet.

Da wir die Funktionsgleichung aber nicht kennen, bleibt uns nur "schätzen":

1. Methode:
Wir nützen den Raster in der Illustration und nähern die Fläche unter der Kurve durch 11 Kästchen von je 5x5=25 m Weg an. Somit erhalten wir den Weg zu 275 m

2. Methode:
Wir schätzen den Mittelwert zu 6 m/s und multiplizieren mit 45 s Intervallbreite. Somit erhalten wir den Weg zu 270 m

3. Methode:
Wir unterteilen die Fläche in 9 Rechtecke, von denen jedes die Breite von 5 Sekunden hat.
Die zugehörige Höhe schätzen wir (linke Höhe plus rechte Höhe) Halbe wie folgt:

• 1. Rechteck: h=(0+7)/2=3,5 m/s
• 2. Rechteck: h=(7+10)/2=8,5 m/s
• 3. Rechteck: h=(10+11)/2=10,5 m/s
• 4. Rechteck: h=(11+10)/2=10,5 m/s
• 5. Rechteck: h=(10+8)/2=9 m/s
• 6. Rechteck: h=(8+5)/2=6,5 m/s
• 7. Rechteck: h=(5+3)/2=4 m/s
• 8. Rechteck: h=(3+1)/2=2 m/s
• 9. Rechteck: h=(1+0)/2=0,5 m/s

Multipliziert man jede dieser 9 mittleren Geschwindigkeiten mit der jeweiligen Zeit von 5 Sekunden, für die diese Geschwindigkeiten gelten, so erhält man den zurückgelegten Weg wir folgt:
\(s = 5 \cdot \left( {3,5 + 8,5 + 10,5 + 10,5 + 9 + 6,5 + 4 + 2 + 0,5} \right) = 5 \cdot 55 = 275\)

→ Die Länge des zurückgelegten Weges beträgt näherungsweise 275 m.

2. Teilaufgabe
Aus der Illustration lesen wir die Höchstgeschwindigkeit zu 11 m/s ab.

• Um von den Sekunden auf Stunden umzurechnen multiplizieren wir mit 3600
• Um von m auf km umzurechnen dividieren wir durch 1000:

\({v_{\max }} = 11\dfrac{m}{s} = 11 \cdot \dfrac{{3600}}{{1000}}\dfrac{{km}}{h} = 11 \cdot 3,6\dfrac{{km}}{h} = 39,6\dfrac{{km}}{h}\)

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