Aufgabe 4205
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-A Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kontrolle der Geschwindigkeit - Aufgabe A_117
Teil c
Der nachstehend dargestellte Graph zeigt annähernd den Geschwindigkeitsverlauf eines im Stadtgebiet fahrenden Autos.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie näherungsweise die Länge des im Zeitintervall [0; 45] zurückgelegten Weges.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lesen Sie die Höchstgeschwindigkeit des Autos ab. Geben Sie das Ergebnis in km/h an.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wenn wir die Einheit der y-Achse mit der Einheit der x-Achse multiplizieren, dann erhalten wir die Einheit für die Fläche (unter der Kurve): \(\dfrac{m}{s} \cdot s = m\) → Die Fläche unter der Kurve entspricht dem im Zeitintervall [0; 45] zurückgelegten gesuchten Weg.
Würden wir die Funktionsgleichung für die Abhängigkeit der Geschwindigkeit vom zurückgelegten Weg kennen, könnten wir das bestimmte Integral zwischen 0 und 45 Sekunden bestimmen und hätten damit sowohl die Fläche unter der Kurve als auch den zurückgelegten Weg errechnet.
Da wir die Funktionsgleichung aber nicht kennen, bleibt uns nur "schätzen":
1. Methode:
Wir nützen den Raster in der Illustration und nähern die Fläche unter der Kurve durch 11 Kästchen von je 5x5=25 m Weg an. Somit erhalten wir den Weg zu 275 m
2. Methode:
Wir schätzen den Mittelwert zu 6 m/s und multiplizieren mit 45 s Intervallbreite. Somit erhalten wir den Weg zu 270 m
3. Methode:
Wir unterteilen die Fläche in 9 Rechtecke, von denen jedes die Breite von 5 Sekunden hat.
Die zugehörige Höhe schätzen wir (linke Höhe plus rechte Höhe) Halbe wie folgt:
- 1. Rechteck: h=(0+7)/2=3,5 m/s
- 2. Rechteck: h=(7+10)/2=8,5 m/s
- 3. Rechteck: h=(10+11)/2=10,5 m/s
- 4. Rechteck: h=(11+10)/2=10,5 m/s
- 5. Rechteck: h=(10+8)/2=9 m/s
- 6. Rechteck: h=(8+5)/2=6,5 m/s
- 7. Rechteck: h=(5+3)/2=4 m/s
- 8. Rechteck: h=(3+1)/2=2 m/s
- 9. Rechteck: h=(1+0)/2=0,5 m/s
Multipliziert man jede dieser 9 mittleren Geschwindigkeiten mit der jeweiligen Zeit von 5 Sekunden, für die diese Geschwindigkeiten gelten, so erhält man den zurückgelegten Weg wir folgt:
\(s = 5 \cdot \left( {3,5 + 8,5 + 10,5 + 10,5 + 9 + 6,5 + 4 + 2 + 0,5} \right) = 5 \cdot 55 = 275\)
→ Die Länge des zurückgelegten Weges beträgt näherungsweise 275 m.
2. Teilaufgabe
Aus der Illustration lesen wir die Höchstgeschwindigkeit zu 11 m/s ab.
- Um von den Sekunden auf Stunden umzurechnen multiplizieren wir mit 3600
- Um von m auf km umzurechnen dividieren wir durch 1000:
\({v_{\max }} = 11\dfrac{m}{s} = 11 \cdot \dfrac{{3600}}{{1000}}\dfrac{{km}}{h} = 11 \cdot 3,6\dfrac{{km}}{h} = 39,6\dfrac{{km}}{h}\)
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Die Länge des zurückgelegten Weges beträgt näherungsweise 275 m.
2. Teilaufgabe
Höchstgeschwindigkeit: 39,6 km/h
Toleranzbereich: [37,8; 41,4]
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × B: für das richtige Ermitteln der Weglänge im Toleranzbereich
Toleranzbereich: [220; 330]
2. Teilaufgabe
1 × C: für das richtige Angeben der Höchstgeschwindigkeit in km/h
Toleranzbereich [37,8; 41,4]