Winkelfunktionen umrechnen
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Zusammenhang der Funktionswerte einer Winkelfunktion zu den anderen 5 Winkelfunktionen bei gleichem Winkel
Mit Hilfe dieser Beziehungen lässt sich eine Winkelfunktion in eine der fünf anderen Winkelfunktionen umrechnen
Sinus - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen
\(\eqalign{ & \sin \left( x \right) = \cr & = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( x \right)} = \dfrac{{\tan \left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {{\tan }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {{{\cot }^2}\left( x \right) + 1} }} = \cr & = \dfrac{{\sqrt {{{\sec }^2}\left( x \right) - 1} }}{{\sec \left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\csc \left( x \right)}} \cr}\)
Kosinus - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen
\(\eqalign{ & \cos \left( x \right) = \cr & = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( x \right)} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{{\cot \left( x \right)}}{{\sqrt {{{\cot }^2}\left( x \right) + 1} }} = \cr & = \dfrac{1}{{\sec \left( x \right)}} = \dfrac{{\sqrt {{{\csc }^2}\left( x \right) - 1} }}{{\csc \left( x \right)}} \cr}\)
Tangens - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen
\(\eqalign{
& \tan \left( x \right) = \cr
& = \dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( x \right)} }}{{\cos \left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\cot \left( x \right)}} = \cr
& = \sqrt {{{\sec }^2}\left( x \right) - 1} = \dfrac{1}{{\sqrt {{{\csc }^2}\left( {x - 1} \right)} }} \cr} \)
Kotangens - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen
\(\eqalign{ & \cot \left( x \right) = \cr & = \dfrac{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( x \right)} }}{{\sin \left( x \right)}} = \dfrac{{\cos \left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{1}{{\tan \left( x \right)}} = \cr & = \dfrac{1}{{\sqrt {{{\sec }^2}\left( x \right) - 1} }} = \sqrt {{{\csc }^2}\left( x \right) - 1} \cr}\)
Sekans - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen
\(\eqalign{
& \sec \left( x \right) = \cr
& = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{1}{{\cos \left( x \right)}} = \sqrt {1 + {{\tan }^2}\left( x \right)} = \cr
& = \dfrac{{\sqrt {{{\cot }^2}\left( x \right) + 1} }}{{\cot \left( x \right)}} = \dfrac{{\csc \left( x \right)}}{{\sqrt {{{\csc }^2}\left( x \right) - 1} }} \cr} \)
Kosekans - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen
\(\eqalign{
& \csc \left( x \right) = \cr
& = \dfrac{1}{{\sin \left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\left( x \right)} }}{{\tan \left( x \right)}} = \cr
& = \sqrt {{{\cot }^2}\left( x \right) + 1} = \dfrac{{\sec \left( x \right)}}{{\sqrt {{{\sec }^2}\left( x \right) - 1} }} \cr} \)
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Aufgaben
Aufgabe 1859
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Winkel und Seiten von rechtwinkeligen Dreiecken
Für bestimmte rechtwinkelige Dreiecke gilt:
- Die Winkel α, β und γ liegen den Seiten a, b und c in dieser Reihenfolge gegenüber.
- Die Winkel werden in Grad und die Seitenlängen in Zentimetern gemessen.
- Weiters gilt: \(\cos \left( \alpha \right) = \dfrac{3}{5}{\text{ und }}\cos \left( \gamma \right) = 0\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf jedes dieser Dreiecke zutreffen.
[2 aus 5]
[0 / 1 P.]
- Aussage 1: c=5 cm
- Aussage 2: β < 90°
- Aussage 3: \(\sin \left( \beta \right) = \dfrac{3}{5}\)
- Aussage 4: a < b < c
- Aussage 5: tan(α) = 0,75
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