Geometrie ebener Figuren und von Körpern
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Pyramidenstumpf
Von jeder Seite der Grundfläche verläuft je eine dreieckige Fläche zur Spitze der Pyramide. Wird die Pyramide unterhalb der Spitze abgeschnitten so bleibt eine Pyramidenstumpf zurück. Aus den dreieckigen Teilen der Mantelfläche werden viereckige Teile. Die Deckfläche liegt der Grundfläche gegenüber und ist parallel zur Grundfläche.
O | Oberfläche |
G | Grundfläche |
D | Deckfläche |
M | Mantel |
Oberfläche vom Pyramidenstumpf
Die Oberfläche vom Pyramidenstumpf setzt sich aus der Grund- und Deckfläche, sowie der Mantelfläche zusammen. Für die Mantelfläche der schiefen Pyramide gibt es keine geschlossene Formel. Die Mantelfläche nimmt aber zu, je schiefer die Pyramide wird.
\(O = G + D + M\)
Volumen vom Pyramidenstumpf
Das Volumen vom Pyramidenstumpf, unter der Voraussetzung dass Grund- und Deckfläche parallel zu einander sind, kann durch folgende Formel berechnet werden, in die nur die Grund-, die Deckfläche und die Höhe eingehen. Die Höhe ist der Abstand der Deck- von der Grundfläche.
\(V = \dfrac{h}{3} \cdot (G + D + \sqrt {G \cdot D} )\)
Illustration vom Pyramidenstumpf
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Kugelkalotte
Eine Kugelkalotte, auch Kugelkuppel oder Kugelschale, entsteht, wenn man durch eine hohle Kugel eine Schnittebene legt. Diese Schnittebene teilt die Kugel in eine untere und eine obere Kugelkalotte. Eine Kugelkalotte ist
- einerseits ein Hohlkörper mit einer kreisförmigen Öffnung an der Basis und einer konkav gewölbten Oberfläche.
- andererseits jener verbleibende Teil einer Kugeloberfläche, der jenseits der Schnittebene liegt.
Die Kugelkalotte ist somit gleichzeitig ein Hohlkörper als auch ein Teil einer Kugeloberfläche.
Kugelsegment
Ein Kugelsegment entsteht, wenn man durch eine volle Kugel eine Schnittebene legt. Diese Schnittebene teilt die Kugel in ein unteres und ein oberes Kugelsegment.
- Ein Kugelsegment ist also ein Vollkörper, dessen Oberfläche sich aus der kreisförmigen Grundfläche und einer Kugelkalotte zusammensetzt.
- Ein Kugelsegment ist der von der Kugelkalotte und dem Grundkreis eingeschlossene Vollkörper.
Läuft die Schnittebene durch den Kugelmittelpunkt, so entstehen zwei Halbkugeln.
Das Kugelsegment wird durch drei Bestimmungsgrößen definiert
r | Radius der Kugel |
a | Radius vom Grundkreis mit \(a \leqslant r\) |
h | Höhe |
Ein Kugelsegment ist der von der Kugelkalotte und dem Grundkreis eingeschlossene Vollkörper.
\(\eqalign{ & a = \sqrt {h \cdot \left( {2 \cdot r - h} \right)} \cr & M = \pi \cdot 2 \cdot r \cdot h \cr & O = \pi \cdot \left( {2 \cdot {a^2} + {h^2}} \right) = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h + {a^2} \cdot \pi = {\text{Kalotte + Grundkreis}} \cr & V = \frac{{\pi \cdot h}}{6} \cdot \left( {3 \cdot {a^2} + {h^2}} \right) \cr} \)
Beispiel:
\(\eqalign{ & r = 5cm \cr & h = 9cm \cr & a = \sqrt {h \cdot \left( {2 \cdot r - h} \right)} = \sqrt {9 \cdot \left( {2 \cdot 5 - 9} \right)} = 3 \to a = 3cm \cr & M = \pi \cdot 2 \cdot r \cdot h = \pi \cdot 2 \cdot 5 \cdot 9 = 282,743 \to M = 282,743c{m^2} \cr & O = \pi \cdot \left( {2 \cdot {a^2} + {h^2}} \right) = \pi \cdot \left( {2 \cdot {3^2} + {9^2}} \right) = 311,018 \to O = 311,018c{m^2} \cr & O = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h + {a^2} \cdot \pi = 2 \cdot 5 \cdot \pi \cdot 9 + {3^2} \cdot \pi = 311,018 \to O = 311,018c{m^2} \cr & V = \dfrac{{\pi \cdot h}}{6} \cdot \left( {3 \cdot {a^2} + {h^2}} \right) = \dfrac{{\pi \cdot 9}}{6} \cdot \left( {3 \cdot {3^2} + {9^2}} \right) = 508,938 \to V = 508,938c{m^3} \cr} \)
Illustration vom Kugelsegment
Hohlkugel
Eine Hohlkugel, auch Kugelschale genannt, ist ein Hohlkörper aus zwei konzentrischen Kugeln mit unterschiedlichen Radien. Die beiden Kugeln haben den gleichen Mittelpunkt. Von der vollen äußeren Kugel wird die hohle innere Kugel abgezogen. Es verbleibt die äußere Kugel mit einer Wandstärke, die bis zur inneren Kugel reicht. Innen ist die Hohlkugel, wie schon der Name sagt, hohl.
ra | Radius der äußeren Kugel |
ri | Radius der inneren Kugel |
\(\eqalign{ & V = \dfrac{4}{3} \cdot {r_a}^3 \cdot \pi - \dfrac{4}{3} \cdot {r_i}^3 \cdot \pi \cr & V = \dfrac{{4 \cdot \pi }}{3} \cdot \left( {{r_a}^3 - {r_i}^3} \right) \cr} \)
Unterschied zwischen Hohlkugel, einer hohlen Kugel und einer Kugelkalotte
- Die Hohlkugel hat eine "Wandstärke", die der Differenz zweier konzentrischer Kugeln entspricht.
- Die hohle Kugel hat eine "Außenhaut" ohne definierter Wandstärke.
- Die Kugelkalotte ist ein Teil der Oberfläche einer hohlen Kugel, die mit einer Ebene in zwei Teile geschnitten wurde.
Illustration einer Hohlkugel
Illustration vom Blick in ein Hohlkugelsegment
Strahlensätze
Die drei Strahlensätze machen Aussagen über das Verhältnis von Strahlenabschnitten und Parallelenabschnitten. Zwei bzw. drei durch einen Scheitelpunkt verlaufende Geraden werden von zwei Parallelen geschnitten, wobei keine der beiden Parallelen durch den Scheitelpunkt verläuft. Dann gilt
1. Strahlensatz über das Verhältnis von Strahlenabschnitten
Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf der einen Geraden so zueinander, wie die ihnen entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden
\(\begin{array}{l} \left| {ZA} \right|:\left| {ZB} \right| = \left| {ZA'} \right|:\left| {ZB'} \right|\\ \left| {ZA} \right|:\left| {ZA'} \right| = \left| {ZB} \right|:\left| {ZB'} \right| \end{array}\)
2. Strahlensatz über das Verhältnis von Strahlen- zu Parallelenabschnitten
Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf den Parallelen so zueinander, wie die vom Schenkel aus gemessenen Abschnitte auf derselben Geraden
\(\begin{array}{l} \left| {AB} \right|:\left| {A'B'} \right| = \left| {ZA} \right|:\left| {ZA'} \right|\\ \left| {AB} \right|:\left| {A'B'} \right| = \left| {ZB} \right|:\left| {ZB'} \right| \end{array}\)
3. Strahlensatz über das Verhältnis von Parallelenabschnitten
Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf den Parallelen so zueinander, wie die entsprechenden beiden anderen Abschnitte auf den Parallelen.
\(\begin{array}{l} \left| {BC} \right|:\left| {B'C'} \right| = \left| {CA} \right|:\left| {C'A'} \right|\\ \left| {BC} \right|:\left| {CA} \right| = \left| {B'C'} \right|:\left| {C'A'} \right| \end{array}\)
Beispiel:
Teile eine unbekannt lange Strecke in gleiche Teile
Wir wenden den 1. Strahlensatz an, um eine Strecke mit unbekannter Länge in 4 gleiche Abschnitte zu unterteilen.
- Wir tragen die Stecke auf (rot)
- Wir tragen einen Strahl auf, der nicht mit der Strecke zusammen fällt (schwarz)
- Wir tragen von Schenkelpunkt aus einen 1. Kreis mit beliebigen Radius aus. Von dort wo der Kreis den Strahl schneidet tragen wir den nächste Kreis aus. Wir erzeugen so 4 gleich lange Abschnitte am Strahl (blau)
- Wir zeichnen die Verbindungsgerade vom 4. Punkt am Strahl mit dem Endpunkt der Strecke ein, sowie die 3 Parallelen dazu, jeweils durch die Schnittpunkte der Kreise mit dem Strahl (grün)
- Als Resultat erhalten wir die 4 Abschnitte auf der Strecke. Auf Grund der 4 gleich langen Abschnitte am Strahl, teilen die Parallelen auch die Strecke in 4 gleich lange Abschnitte.
Gleichseitiges Dreieck
Beim gleichseitigen Dreieck handelt es sich um ein Dreieck mit drei gleichlangen Seiten
Seitenlänge beim gleichseitigen Dreieck
Beim gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang
\(a = b = c = \dfrac{{2 \cdot h}}{{\sqrt 3 }}\)
Innenwinkel beim gleichseitigen Dreieck
Beim gleichseitigen Dreieck betragen alle drei Innenwinkel 60°
\(\alpha = \beta = \gamma\)
Höhe beim gleichseitigen Dreieck
Beim gleichseitigen Dreieck sind alle drei Höhen gleich lang
\(h = \dfrac{a}{2} \cdot \sqrt 3 \)
Umfang vom gleichseitigen Dreieck
Beim gleichseitigen Dreieck errechnet sich der Umfang als Summe der drei gleichlangen Seiten
\(U = a + a + a = 3a\)
Fläche vom gleichseitigen Dreieck
Beim gleichseitigen Dreieck errechnet sich die Fläche als Produkt der Seitenlänge mal halber Höhe
\(A = {a^2} \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = a \cdot \dfrac{h}{2}\)
Illustration vom gleichseitigen Dreieck
Rechteck
Ein Rechteck ist ein Viereck bei dem alle Innenwinkel rechte Winkel sind. Es ist ein Viereck mit gleich langen Diagonalen, die einander halbieren
- Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel
- Sind sogar alle vier Seiten gleich lang, dann handelt es sich um ein Quadrat
- Alle 4 Innenwinkel sind rechte Winkel
- Die beiden Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander
- Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen M, ist der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt
Umfang vom Rechteck
Der Umfang vom Rechteck entspricht der doppelten Summe der beiden Seitenlängen
\(U = a + b + a + b = 2 \cdot \left( {a + b} \right)\)
Winkelsumme im Rechteck
Jeder einzelne Winkel hat 90°. Die Summe der Innenwinkel eines Quadrats beträgt 360°.
\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 4 \cdot 90^\circ = 360^\circ \)
Flächeninhalt vom Rechteck
Die Fläche vom Rechteck entspricht dem Produkt der beiden Seitenlängen
\(A = a \cdot b\)
Länge der Diagonalen im Rechteck
Die Länge jeder der beiden Diagonalen im Rechteck entsrpicht der Wuzel aus der Summe der beiden quadrierten Seitenlängen
\(d = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Umkreis vom Rechteck
Der Radius vom Umkreis eines Rechtecks entspricht der halben Diagonale. Der Mittelpunkt vom Umkreis liegt am Schnittpunkt der beiden Diagonalen und ist gleichzeitig der Schwerpunkt des Dreiecks.
\({r_U} = \dfrac{d}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Illustration vom Rechteck
Das "perfekte" Rechteck
Das perfekte Rechteck ist ein Rechteck, dessen Fläche man lückenlos und überdeckungslos mit Quadraten füllen kann. Das kleinste derartige Rechteck hat eine Seitenlänge von 32 bzw. 33 Einheiten. Die 9 eingeschriebenen Quadrate haben die Seitenlängen 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 und 18.
Das "goldene" Rechteck
Das goldene Rechteck ist ein Rechteck mit den beiden Seitenlängen a und a+b, die zueinander im Verhältnis vom goldenen Schnitt \(1:\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \approx 1:1,6180\) stehen. Gemäß dieser Bedingung ergibt sich wie folgt, wenn man a=1 setzt.
\(\eqalign{ & \Phi = \dfrac{a}{b} = \dfrac{{a + b}}{a} = \dfrac{{\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}}{1} \approx \frac{{1,6180}}{1} \approx 1,6180 \cr & a = 1 \cr & a + b = 1,6180 \cr & b = 0,618 \cr} \)
Der goldene Schnitt entspricht einem Aufteilungsverhältnis einer Strecke von 61,8 zu 38,2 also von ca. 2/3 zu 1/3. Dieses Aufteilungsverhältnis kommt oft in der Natur vor und gilt in der Kunst als besonders harmonisch. Bildwichtige Elemente werden also nicht in der geometrischen Mitte eines Gemäldes, Gebäudes oder Fotos sondern entlang der Linie des goldenen Schnitts plaziert.
Das so entstandene kleinere Rechteck ist ein zweites goldenes Rechteck mit den beiden Seitenlängen b und a, da diese Seiten zueinander ebenfalls im im Verhältnis vom goldenen Schnitt stehen. Man kann dieses kleinere Rechteck b, a erneut in ein Quadrat und ein noch kleineres Rechteck teilen, und das immer fort.
Die Fibonacci Folge
Die Zahl Phi \(\Phi = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \approx 1,618\) vom goldenen Schnitt kann durch die Fibonacci Folge beliebig genau angenähert werden. Die Fibonacci Folge beginnt mit 0 und 1. Die folgenden Glieder ergeben sich immer als die Summe der beiden vorangehenden Glieder. So entsteht die unendliche Folge. Der Quotient zweier auf einander folgenden Zahlen nähert sich beliebig genau der Zahl Phi vom goldenen Schnitt an.
0 | |
1 | |
1=0+1 | \(\dfrac{1}{1} = 1\) |
2=1+1 | \(\dfrac{2}{1} = 2\) |
3=1+2 | \(\dfrac{3}{2} = 1,5\) |
5=2+3 | \(\dfrac{5}{3} = 1,\mathop 6\limits^ \bullet \) |
8=3+5 | \(\dfrac{8}{5} = 1,6\) |
13=5+8 | \(\dfrac{{13}}{8} = 1,625\) |
21=8+13 | \(\dfrac{{21}}{{13}} \approx 1,615\) |
34=13+21 | \(\dfrac{{34}}{{21}} \approx 1,619\) |
55=13+34 | \(\dfrac{{55}}{{34}} \approx 1,618 \approx \Phi \) |
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Arten von Winkel
Ein Winkel besteht aus einem Scheitel und aus zwei Schenkel. Zwei einander schneidende Geraden schließen zwei Winkel ein, einen innen und einen außenliegenden Winkel. Für Berechnungen wird zumeist der kleinere Winkel gewählt. Winkel werden bevorzugt mit griechischen Buchstaben bezeichnet und in Grad gemessen. Ein Grad ist der dreihundertsechzigste Teil eines Kreises. Konstruiert werden Winkel mit dem Geodreieck, dessen Nullpunkt auf dem Scheitel des Winkels und dessen Kante auf einem der beiden Schenkel des Winkels angelegt wird. Danach kann man den Winkel einzeichnen und den zweiten Schenkel zeichnen, oder wenn bereits beide Schenkel gegeben sind, die Weite des Winkels bestimmen.
- \(\alpha \) Alpha
- \(\beta \) Beta
- \(\gamma \) Gamma
- \(\delta \) Delta
Scheitel eines Winkels
Der Scheitel eines Winkels ist der Schnittpunkt zweier einander schneidender Geraden.
Schenkel eines Winkels
Die Schenkel eines Winkels sind zwei in einer Ebene liegende und einander schneidende Strahlen.
Drehsinn eines Winkels
Man unterscheidet Winkel nach dem Drehsinn
- Gegen den Uhrzeigersinn = mathematisch positiver Drehsinn
- Im Uhrzeigersinn = mathematisch negativer Drehsinn
Weite des Winkels
Man unterscheidet die Winkel nach dem Ausmaß ihrer Öffnung, also dem Öffnungswinkel bzw. der Winkelweite
- Nullwinkel: \(\alpha = 0^\circ\)
- Spitzer Winkel: \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \)
- Rechter Winkel: \(\alpha = 90^\circ\): → nur für diesen Winkel gilt der Satz des Pythagoras
- Stumpfer Winkel: \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)
- Gestreckter Winkel: \(\alpha = 180^\circ\)
- Überstumpfer / Erhabener Winkel: \(180^\circ < \alpha < 360^\circ\)
- Voller Winkel: \(\alpha = 360^\circ\)
Nullwinkel
Der Öffnungswinkel eines Nullwinkels beträgt 0°.
Spitzer Winkel
Der Öffnungswinkel eines spitzen Winkels liegt zwischen 0° und 90°.
Rechter Winkel
Der Öffnungswinkel eines rechten Winkels beträgt 90°.
Stumpfer Winkel
Der Öffnungswinkel eines stumpfen Winkels liegt zwischen 90° und 180°.
Gestreckter Winkel
Der Öffnungswinkel eines gestreckten Winkels beträgt 180°.
Überstumpfer / Erhabener Winkel
Der Öffnungswinkel eines erhabenen Winkels liegt zwischen 180° und 360°.
Voller Winkel
Der Öffnungswinkel eines vollen Winkels beträgt 360°
Winkelmaße
Die Weite, des von zwei einander schneidenden Geraden eingeschlossenen Winkels, kann auf unterschiedliche Arten gemessen werden.
Gradmaß
Im Gradmaß wird der Vollwinkel in 360 gleich große Teile, den sogenannten Grad, unterteilt
\(\alpha\) … Winkel in Grad, als 360-ster Teil des Vollwinkels
1‘ … 1 Winkel-Minute als 60-stel Teil von 1 Grad
1‘‘ … 1 Winkel-Sekunde als 60-stel Teil von 1 Winkel-Minute
Bogenmaß
Im Bogenmaß wird dem Vollwinkel (360°) die Maßzahl 2π zugewiesen. Ein Radiant ist der \(\dfrac{1}{{2\pi }}\) -te Teil des Vollwinkels
- 1 Radiant ist jener Winkel, bei dem der Bogen des vom Winkel aufgespannten Kreissektors mit dem Radius vom Kreissektor ident ist. \(1rad = \dfrac{{180^\circ }}{\pi } \approx 57,2958^\circ \)
- Unter dem Bogenmaß (ausgedrückt in Vielfachen oder Teilen von \(\pi\)) versteht man das Verhältnis von Bogenlänge b zum Radius r eines Kreissektors.
- arc a ist eine dimensionslose Zahl des Winkels a, die das Verhältnis von der Länge des Kreisbogens b zum Radius r des Kreises angibt. Um die dimensionslose Zahl arc a von Grad unterscheiden zu können, schreibt man als Einheit „rad“ für Radiant dazu. Wählt man den Einheitskreis (r=1) so ist das Bogenmaß gleich der Länge des Kreisbogens
Created with GeoGeogebra v5:
Created with GeoGebra v6:
Umrechnung vom Bogenmaß ins Gradmaß
Merke: 2π im Bogenmaß entsprechen 360° im Gradmaß
\({\mathop{\rm arc}\nolimits} \alpha = \dfrac{{\alpha .\pi }}{{180^\circ }}\)
\(\dfrac{\pi }{2} \buildrel \wedge \over = 90^\circ ;\,\,\,\,\,\pi \buildrel \wedge \over = 180^\circ ;\,\,\,\,\,\dfrac{{3\pi }}{2} \buildrel \wedge \over = 270^\circ ;\,\,\,\,\,2\pi \buildrel \wedge \over = 360^\circ \)
Umrechnung vom Gradmaß ins Bogenmaß
Merke: 360° im Gradmaß entsprechen 2π im Bogenmaß
\(\alpha = \dfrac{{180^\circ \cdot arc\alpha }}{\pi }\)
\(90^\circ \buildrel \wedge \over = \dfrac{\pi }{2};\,\,\,\,\,180^\circ \buildrel \wedge \over = \pi ;\,\,\,\,\,270^\circ \buildrel \wedge \over = \dfrac{{3\pi }}{2};\,\,\,\,\,360^\circ \buildrel \wedge \over = 2\pi \)
Rechtwinkeliges Dreieck
Das rechtwinkelige Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Dem rechten Winkel gegenüber liegt die längste Seite, die Hypotenuse. Die beiden an den rechten Winkel angrenzenden Seiten sind kürzer und heißen Katheten.
Bezeichnungen im rechtwinkeligen Dreieck
- Die Hypotenuse wird durch die Höhenlinie in 2 Hypotenusenabschnitte p und q geteilt.
- Die Satzgruppe des Pythagoras, bestehend aus dem Satz des Pythagoras, dem Katheten- und dem Höhensatz des Euklid beschreiben die jeweiligen Zusammenhänge.
- Für jeden der beiden spitzen Winkel gilt, dass an ihm eine Kathete anliegt - die Ankathete und dass ihm die andere Kathete gegenüber liegt - die Gegenkathete
- Wichtig ist, dass obige Sätze nur in Dreiecken MIT rechtem Winkel gelten. Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall vom Kosinus-Satz. Letzterer gilt auch in Dreiecken OHNE rechtem Winkel.
a | Gegenkathete, liegt gegenüber von \(\alpha\) |
b | Ankathete, liegt \(\alpha\) an |
c | Hypotenuse, die längste Seite, liegt gegenüber vom rechten Winkel |
\(\alpha\) | Winkel, der von Ankathete und Hypotenuse eingeschlossen wird |
p, q | Hypotenusenabschnitte |
Hypotenuse
Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkeligen Dreieck. Sie liegt gegenüber vom rechten Winkel.
Katheten
Die Katheten sind die beiden kürzeren Seiten im rechtwinkeligen Dreieck. Sie liegen links und rechts vom rechten Winkel
Innenwinkel im rechtwinkeligen Dreieck
Die Summe aller 3 Innenwinkel im rechtwinkeligen Dreieck beträgt 180°
\(\alpha + \beta = 90^\circ = \gamma \)
Umfang vom rechtwinkeligen Dreieck
Der Umfang eines jeden Dreiecks ergibt sich aus der Summe der drei Seitenlängen
\(U = a + b + c\)
Flächeninhalt vom rechtwinkeligen Dreieck
Der Flächeninhalt eines jeden Dreiecks errechnet sich aus "Seite mal zugehöriger Höhe halbe"
\(A = \dfrac{{a \cdot b}}{2} = a \cdot \dfrac{{{h_a}}}{2} = b \cdot \dfrac{{{h_b}}}{2} = c \cdot \dfrac{{{h_c}}}{2}\)
Illustration vom rechtwinkeligen Dreieck
Satz des Pythagoras
Der Satz vom Pythagoras besagt, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den beiden Katheten a,b, gleich ist dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse c. Nochmals laut und deutlich: Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkeligen Dreieck, nicht im allgemeinen Dreieck! Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall vom Kosinussatz, der auch für allgemeine Dreiecke gilt.
\({a^2} + {b^2} = {c^2}\)
Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines rechtwinkeligen Dreieck her, die es ganz einfach erlaubt aus je zwei Seiten die dritte Seite zu errechnen.
\(\eqalign{ & a = \sqrt {{c^2} - {b^2}} \cr & b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} \cr & c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr} \)
Illustration vom Satz des Pythagoras
Beispiel
Gegeben sei von einem rechtwinkeligen Dreieck die Hypotenuse c=5 und eine Kathete mit b=4 Längeneinheiten.
Gesucht ist die Länge der fehlenden Kathete a
\(a = \sqrt {{c^2} - {b^2}} = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = \sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 = 3\)
Kathetensatz des Euklid
Der Kathetensatz des Euklid besagt, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck der Flächeninhalt des Quadrats über jeder der beiden Katheten a bzw. b gleich ist dem Flächeninhalt des Rechtecks aus der Hypotenuse c und dem der jeweiligen Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt p bzw. q.
\(\eqalign{ & {a^2} = c \cdot q \cr & {b^2} = c \cdot p \cr} \)
Illustration vom Kathetensatz des Euklid
Höhensatz des Euklid
Der Höhensatz des Euklid besagt, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck der Flächeninhalt des Quadrats über der Höhe hc gleich ist dem Flächeninhalt des Rechtecks, aus den beiden Hypotenusenabschnitten p und q.
Hypotenusenabschnitt
Zeichnet man im rechtwinkeligen Dreieck die Höhe auf die Hypotenuse ein, so teilt der Fußpunkt der Höhe die Hypotenuse in die beiden Hypotenusenabschnitte, die üblicher Weise mit p und q bezeichnet werden
\({h_c}^2 = p \cdot q;\)
Illustration vom Höhensatz des Euklid
Beispiel:
Bevor ein Transporter durch einen Tunnel mit Gegenverkehr fährt prüft der Fahrer ob sich die Durchfahrt mit der Höhe überhaupt ausgeht. Er schätzt den Gehsteig links und rechts auf je 1m Breite und die Fahrbahn auf 6m Breite. Aus den Wagenpapieren entnimmt er die Höhe seines Transporters zu 2,477m. Er beabsichtigt so weit wie möglich rechts, also direkt neben dem Gehsteig zu fahren.
Lösungsweg:
Für seine Berechnung zieht der Fahrer den Höhensatz des Euklid heran:
\(\eqalign{ & {h_c}^2 = p \cdot q \cr & {h_c} = \sqrt {p \cdot q} = \sqrt {7 \cdot 1} = 2,65m > 2,477m \cr} \)
Die Durchfahrt sollte auch bei Gegenverkehr möglich sein
Raute bzw. Rhombus
Die Raute ist ein Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Das Quadrat ist daher ein Sonderfall einer Raute. Jede Raute ist zugleich ein spezielles Trapez, Parallelogramm bzw. Deltoid.
- Alle 4 Seiten sind gleich lang
- Die einander gegenüber liegenden Seiten sind parallel, die einander gegenüber liegenden Winkel sind gleich groß
- Zwei auf der selben Seite liegende Winkel addieren sich auf 180°. Gegenüber liegende Winkel sind gleich groß. Ist einer der Winkel 90°, so sind alle Winkel 90° und man spricht von einem Quadrat
- Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen M, ist der Inkreismittelpunkt und der Schwerpunkt. Die beiden Diagonalen stehen im rechten Winkel auf einander, halbieren einander und sind Winkelsymmetralen
- Alle Höhen in einer Raute sind gleich lang. Ihre Länge entspricht dem Abstand der jeweiligen parallelen Seiten
Umfang der Raute
Der Umfang der Raute entspricht der vierfachen Seitenlänge
\(U = 4 \cdot a = 2 \cdot \sqrt {{e^2} + {f^2}} \)
Höhe der Raute
Die Höhe einer Raute eintspricht dem Abstand von je zwei parallelen Seiten. Alle Höhen der Raute sind gleich lang.
\({h_a} = a \cdot \sin \alpha \)
Winkelsumme in der Raute
Die Summe der Innenwinkel einer Raute beträgt 360°. Gegenüber liegende Winkel sind gleich groß. Benachbarte Winkel ergänzen einander auf 180°, sind also Supplementärwinkel.
\(\alpha = \gamma ,\,\,\,\beta = \delta \)
Flächeninhalt der Raute
Die Fläche einer Raute errechnet sich aus Seite mal zugehöriger Höhe.
\(A = a \cdot {h_a} = \dfrac{{e \cdot f}}{2} = {a^2} \cdot \sin \alpha \)
Länge der Diagonalen in der Raute
Die Länge der Diagonalen errechnet sich aus dem Zweifachen vom Produkt aus Seitenlänge und dem Kosinus bzw. dem Sinus vom Winkel \(\alpha\). Jede der beiden Diagonalen teilt die Raute in zwei kongruente gleichschenkelige Dreiecke.
\(\eqalign{ & e = 2 \cdot a \cdot \cos \frac{\alpha }{2} \cr & f = 2 \cdot a \cdot \sin \frac{\alpha }{2} \cr & {e^2} + {f^2} = 4 \cdot {a^2} \cr} \)
Inkreis einer Raute
Der Radius vom Inkreis einer Raute errechnet sich aus dem halben Produkt aus Seitenlänge und dem Sinus vom Winkel \(\alpha\). Der Inkreisradius ist zugleich der Normalabstand vom Schnittpunkt der Diagonalen zu den vier Seiten der Raute.
\({r_i} = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \sin \alpha = \dfrac{{{h_a}}}{2}\)
Illustration einer Raute
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Besondere Punkte im Dreieck
In jedem Dreieck gibt es vier besondere Punkte
- Drei davon, der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt liegen sogar auf einer gemeinsamen Geraden, der Euler'schen Geraden.
- Der vierte besondere Punkt ist der Inkreismittelpunkt.
Höhenschnittpunkt im Dreieck
Eine Höhenlinie auf eine Seite entspricht dem kürzesten Abstand dieser Seite, dem „Normalabstand“, zum gegenüber liegenden Eckpunkt. Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden einander im sogenannten Höhenschnittpunkt H. Der Höhenschnittpunkt liegt innerhalb der Figur bei einem spitzwinkeligen Dreiecks und ausserhalb bei einem stumpfwinkeligen Dreieck. Im stumpfwinkeligen Dreieck muss man daher die Seite über den Eckpunkt hinaus verlängern, um die Höhe in den gegenüber liegenden Eckpunkt zeichnen zu können.
Umkreismittelpunkt im Dreieck
Eine Streckensymmetrale geht durch den Halbierungspunkt einer Seite des Dreiecks und steht normal auf diese Seite. Die drei Streckensymmetralen schneiden einander im Umkreismittelpunkt, der von allen drei Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt liegt. Bei einem stumpfwinkeligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb vom Dreieck.
Schwerpunkt im Dreieck
Eine Schwerelinie verläuft vom Halbierungspunkt einer Seite in den gegenüber liegenden Eckpunkt des Dreiecks. Die drei Schwerelinien schneiden einander im Schwerpunkt. Man kann ein Dreieck entlang jeder der drei Schwerelinien ausbalancieren. Im Schwerpunkt ist das Dreieck an einem einzigen Punkt ausbalanciert.
Inkreismittelpunkt im Dreieck
Eine Winkelsymmetrale halbiert einen Winkel. Alle Punkte welche die Winkelsymmetrale bilden, sind von den beiden Schenkeln des Winkels gleich weit entfernt. Die drei Winkelsymmetralen eines Dreiecks schneiden einander im sogenannten Inkreismittelpunkt I. Der Inkreismittelpunkt ist nämlich von allen drei Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt.
Deltoid bzw. Drachenviereck
Ein Deltoid ist ein Viereck, bei dem mindestens eine Diagonale eine Symmetrieachse ist, bzw das zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten besitzt.
Daraus ergibt sich:
- Die beiden Diagonalen e und f stehen im rechten Winkel zueinander und die Diagonale „e“ halbiert die Diagonale „f“.
- Das Deltoid ist achsensymmetrisch zur Diagonale e
- Zwei der 4 einander gegenüber liegendem Winkel sind gleich groß, die Winkelsumme beträgt 360°
- Es muss keinen Umkreis aber einen Inkreis haben
- Der Name "Drachenviereck" leitet sich vom "Drachen" ab, den man im Wind steigen lässt
- Ein Deltoid mit vier gleich langen Seiten nennt man Raute, hier sind die einander gegenüber liegenden Seiten parallel.
Umfang vom Deltoid
Der Umfang vom Deltoid entspricht der doppelten Summe jener zwei Seiten, die auf der selben Seite der Symmetrieachse liegen
\(\eqalign{ & U = 2(a + b) \cr & a = d;\,\,\,\,\,b = c; \cr} \)
Winkelsumme im Deltoid
Die Summe der Innenwinkel eines Deltoids beträgt 360°.
\(\eqalign{ & \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \cr & \beta = \delta \cr} \)
Flächeninhalt vom Deltoid
Die Fläche eines Deltoids errechnet sich aus dem halben Produkt der beiden Diagonalen
\(A = \dfrac{{e \cdot f}}{2} = a \cdot b \cdot \sin \beta \)
Länge der Diagonalen im Deltoid
Die Länge der Diagonalen im Deltoid errechnet sich mit Hilfe vom Kosinussatz. Die Diagonale f teilt das Deltoid in zwei kongruente gleichschenkelige Dreiecke
\(\eqalign{ & e = \frac{{2 \cdot A}}{f} = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \beta } \cr & f = \frac{{2 \cdot A}}{e} = 2 \cdot a \cdot \sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = 2 \cdot b \cdot \sin \left( {\frac{\gamma }{2}} \right) \cr} \)
Inkreisradius vom Deltoid
Der Inkreisradius vom Deltoid errechnet sich aus dem doppelten vom Quotienten aus der Fläche und dem Umfang. Der Inkreismittelpunkt liegt am Schnittpunkt der beiden Winkelsymmetralen.
\({r_i} = \dfrac{{2 \cdot A}}{U} = \dfrac{{e \cdot f}}{{2 \cdot \left( {a + b} \right)}}\)
Illustration vom Deltoid
Ergänzungswinkel
Unter Ergänzungswinkel versteht man Winkel die sich zu einem rechten oder einen gestreckten Winkel ergänzen
Komplementärwinkel
Komplementärwinkel sind 2 Winkel, die einander auf 90° ergänzen.
\(\alpha + \beta = 90^\circ\)
Beispiel:
Gegeben sei der Winkel \(\alpha = 32^\circ \). Gesucht ist der Komplementärwinkel \(\beta \)
\(\begin{array}{l} \alpha = 32^\circ \\ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ \end{array}\)
Supplementärwinkel
Supplementärwinkel sind 2 Winkel, die einander auf 180° ergänzen.
\(\alpha + \beta = 180^\circ\)
Beispiel:
Gegeben sei der Winkel \(\alpha = 32^\circ \). Gesucht ist der Supplementärwinkel \(\beta \)
\(\begin{array}{l} \alpha = 32^\circ \\ \beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ \end{array}\)
Winkelpaare
Bei einander schneidenden Geraden unterscheidet man zwischen Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel
Scheitelwinkel
Scheitelwinkel liegen sich an zwei einander schneidenden Geraden gegenüber und sind gleich groß
\(\alpha = \alpha '\)
Stufenwinkel
Stufenwinkel liegen sich an zwei parallelen Geraden, die von einer dritten Geraden geschnitten werden, gegenüber und sind gleich groß
\(\alpha = \alpha '\)
Wechselwinkel
Wechselwinkel setzen sich aus einem Scheitel- und einem Stufenwinkel zusammen und sind gleich groß
\(\alpha = \alpha '\)