Satz des Pythagoras

Rechtwinkeliges Dreieck

Das rechtwinkelige Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Dem rechten Winkel gegenüber liegt die längste Seite, die Hypotenuse. Die beiden an den rechten Winkel angrenzenden Seiten sind kürzer und heißen Katheten.

Bezeichnungen im rechtwinkeligen Dreieck

• Die Hypotenuse wird durch die Höhenlinie in 2 Hypotenusenabschnitte p und q geteilt.
• Die Satzgruppe des Pythagoras, bestehend aus dem Satz des Pythagoras, dem Katheten- und dem Höhensatz des Euklid beschreiben die jeweiligen Zusammenhänge.
• Für jeden der beiden spitzen Winkel gilt, dass an ihm eine Kathete anliegt - die Ankathete und dass ihm die andere Kathete gegenüber liegt - die Gegenkathete
• Wichtig ist, dass obige Sätze nur in Dreiecken MIT rechtem Winkel gelten. Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall vom Kosinus-Satz. Letzterer gilt auch in Dreiecken OHNE rechtem Winkel.

Hypotenuse

Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkeligen Dreieck. Sie liegt gegenüber vom rechten Winkel.

Katheten

Die Katheten sind die beiden kürzeren Seiten im rechtwinkeligen Dreieck. Sie liegen links und rechts vom rechten Winkel

Innenwinkel im rechtwinkeligen Dreieck

Die Summe aller 3 Innenwinkel im rechtwinkeligen Dreieck beträgt 180°
\(\alpha + \beta = 90^\circ = \gamma \)

Umfang vom rechtwinkeligen Dreieck

Der Umfang eines jeden Dreiecks ergibt sich aus der Summe der drei Seitenlängen
\(U = a + b + c\)

Flächeninhalt vom rechtwinkeligen Dreieck

Der Flächeninhalt eines jeden Dreiecks errechnet sich aus "Seite mal zugehöriger Höhe halbe"
\(A = \dfrac{{a \cdot b}}{2} = a \cdot \dfrac{{{h_a}}}{2} = b \cdot \dfrac{{{h_b}}}{2} = c \cdot \dfrac{{{h_c}}}{2}\)

Illustration vom rechtwinkeligen Dreieck

Satz des Pythagoras

Der Satz vom Pythagoras besagt, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den beiden Katheten a,b, gleich ist dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse c. Nochmals laut und deutlich: Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkeligen Dreieck, nicht im allgemeinen Dreieck! Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall vom Kosinussatz, der auch für allgemeine Dreiecke gilt.

\({a^2} + {b^2} = {c^2}\)

Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines rechtwinkeligen Dreieck her, die es ganz einfach erlaubt aus je zwei Seiten die dritte Seite zu errechnen.

\(\eqalign{ & a = \sqrt {{c^2} - {b^2}} \cr & b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} \cr & c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr} \)

Illustration vom Satz des Pythagoras

Beispiel
Gegeben sei von einem rechtwinkeligen Dreieck die Hypotenuse c=5 und eine Kathete mit b=4 Längeneinheiten.
Gesucht ist die Länge der fehlenden Kathete a

\(a = \sqrt {{c^2} - {b^2}} = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = \sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 = 3\)

Kathetensatz des Euklid

Der Kathetensatz des Euklid besagt, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck der Flächeninhalt des Quadrats über jeder der beiden Katheten a bzw. b gleich ist dem Flächeninhalt des Rechtecks aus der Hypotenuse c und dem der jeweiligen Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt p bzw. q.

\(\eqalign{ & {a^2} = c \cdot q \cr & {b^2} = c \cdot p \cr} \)

Illustration vom Kathetensatz des Euklid

Höhensatz des Euklid

Der Höhensatz des Euklid besagt, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck der Flächeninhalt des Quadrats über der Höhe h_c gleich ist dem Flächeninhalt des Rechtecks, aus den beiden Hypotenusenabschnitten p und q.

Hypotenusenabschnitt

Zeichnet man im rechtwinkeligen Dreieck die Höhe auf die Hypotenuse ein, so teilt der Fußpunkt der Höhe die Hypotenuse in die beiden Hypotenusenabschnitte, die üblicher Weise mit p und q bezeichnet werden

\({h_c}^2 = p \cdot q;\)

Illustration vom Höhensatz des Euklid

Beispiel:
Bevor ein Transporter durch einen Tunnel mit Gegenverkehr fährt prüft der Fahrer ob sich die Durchfahrt mit der Höhe überhaupt ausgeht. Er schätzt den Gehsteig links und rechts auf je 1m Breite und die Fahrbahn auf 6m Breite. Aus den Wagenpapieren entnimmt er die Höhe seines Transporters zu 2,477m. Er beabsichtigt so weit wie möglich rechts, also direkt neben dem Gehsteig zu fahren.

Lösungsweg:
Für seine Berechnung zieht der Fahrer den Höhensatz des Euklid heran:
\(\eqalign{ & {h_c}^2 = p \cdot q \cr & {h_c} = \sqrt {p \cdot q} = \sqrt {7 \cdot 1} = 2,65m > 2,477m \cr} \)

Die Durchfahrt sollte auch bei Gegenverkehr möglich sein