Geometrie ebener Figuren und von Körpern
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Symmetralen
Als Symmetralen bezeichnet man die Menge aller Punkte, die von zwei geometrischen Objekten gleich weit entfernt ist.
Streckensymmetrale
Die Streckensymmetrale halbiert die Strecke und steht normal auf diese Strecke
- Vom Punkt P1 und P2 aus wird jeweils ein hinreichend großer Kreisbogen gezeichnet. Die beiden Kreisbögen schneiden einander in den Punkten S1 und S2
- Die Streckensymmetrale ergibt sich als die Verbindungsgerade von S1 und S2. An Ihrem Schnittpunkt mit der Geraden teilt die Strecke von P1 nach P2 in zwei gleiche lange Hälften.
Winkelsymmetrale
Die Winkelsymmetrale halbiert den Winkel, sodass Punkte die auf ihr liegen den selben Normalabstand von den beiden Schenkeln dieses Winkels haben
- Vom Schenkel S des Winkels aus wird ein Kreisbogen gezeichnet, welcher die Schenkel in den Punkten S1 und S2 schneidet
- Von jedem der beiden so konstruierten Punkte S1 und S2 aus wird erneut jeweils ein Kreisbogen gezeichnet. Diese beiden Kreisbögen schneiden einander im Punkt S3
- Die Winkelsymmetrale ergibt sich als die Verbindungsgerade von S und S3
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Parallelogramm bzw. Rhomboid
Das Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die einander gegenüber liegenden Seiten zu einander parallel sind
- Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel.
- Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß, je 2 benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
- Die beiden Diagonalen halbieren einander im Schnittpunkt M.
- Es gibt keinen Umkreis, Wenn \(a \ne b\) gibt es auch keinen Inkreis
Umfang vom Parallelogramm
Der Umfang vom Parallelogramm entspricht der doppelten Summe der beiden Seitenlängen
\(U = 2(a + b)\)
Winkelsumme im Parallelogramm
Die Summe der Innenwinkel eines Parallelogramm beträgt 360°.
\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \)
\(\alpha = \gamma ;\,\,\,\,\,\beta = \delta ;\,\,\,\,\,\alpha + \beta = \gamma + \delta = 180^\circ \)
Flächeninhalt vom Parallelogramm
Die Fläche vom Parallelogramm errechnet sich aus dem Produkt von Seite und zugehöriger Höhe
\(A = a \cdot {h_a} = b \cdot {h_b} = a \cdot b \cdot \sin \alpha \)
\(\eqalign{ & {h_a} = b \cdot \sin \left( \alpha \right) \cr & {h_b} = a \cdot \sin \left( \beta \right) \cr} \)
Länge der Diagonalen im Parallelogramm
Die Länge der Diagonalen im Parallelogramm errechnet sich mit Hilfe vom Kosinussatz.
\(\eqalign{ & e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} = \cr & = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \alpha \right)} \cr & f = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \cr & = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} \cr} \)
Parallelogrammsidentität
Die Summe der Flächen der Quadrate über jeder der vier Seiten ist gleich groß der Summe der Flächen über den beiden Diagonalen
\(2 \cdot \left( {{a^2} + {b^2}} \right) = {e^2} + {f^2}\)
Illustration vom Parallelogramm
Trapez
Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zumindest zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel sind
- 2 Seiten (die Grundseiten) sind zueinander parallel \(a\parallel c\), die längere Seite (a) bezeichnet man als Basis, die beiden nicht parallelen Seiten (b, d) nennt man Schenkel.
- Parallel zu den beiden Grundseiten verläuft durch die Mittelpunkte der beiden Schenkel die Mittelparallele m
- Die (einzige) Höhe h ist der Abstand der beiden parallelen Seiten.
- Die beiden Diagonalen (e, f) schneiden einander im gleichen Verhältnis.
Umfang vom Trapez
Der Umfang vom Trapez entspricht der Summe der vier Seitenlängen
\(U = a + b + c + d\)
\(a\parallel c;\,\,\,\,\,a > c;\,\,\,\,\,b\nparallel d\)
Mittenparallele
\(m = \dfrac{{a + c}}{2}\)
Winkelsumme im Trapez
Die Summe der Innenwinkel im Trapez beträgt 360°.
\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \)
\(\alpha + \delta = \beta + \gamma = 180^\circ\)
Flächeninhalt vom Trapez
Die Fläche vom Trapez berechnet sich aus der halben Summe der Längen beiden Grundseiten mal deren Parallelabstand (also der Höhe)
\(A = \dfrac{{a + c}}{2} \cdot h = m \cdot h\)
Länge der Diagonalen im Trapez
Die Länge der Diagonalen im Trapez errechnet sich mit Hilfe vom Kosinussatz.
\(\begin{array}{l} e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} = \\ = \sqrt {{c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)} \\ f = \sqrt {{a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \\ = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \left( \gamma \right)} \end{array}\)
Illustration vom Trapez
Koordinatensysteme
Koordinatensysteme, auch Bezugssysteme genannt, dienen dazu, die gegenseitige Beziehung von Punkten zueinander und zum Ursprung des Koordinatensystems in zweckmäßig vielen Dimensionen anzugeben. Jeder Dimension entspricht eine Koordinatenachse. Rechnerisch einfach sind orthogonale Koordinatensysteme, bei denen die Koordinatenachsen im rechten Winkel zu einander stehen und sich im Ursprung des Koordinatensystems schneiden.
Koordinaten
Koordinaten sind Zahlenwerte in Bezug auf die Koordinatenachsen, die entweder einem Abstand vom Ursprung oder einem Winkel zwischen Richtungsvektor und einer Koordinatenachse entsprechen.
Transformation
Unter einer Transformation versteht man die Umrechnung von einem Bezugssystem in ein anderes Bezugssystem.
- Beispiele aus der Physik: Galilei-Transformation, Lorenz-Transformation
- Beispiele aus der Mathematik: Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten, z-Transformation der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zweidimensionale Koordinatensysteme
Zweidimensionale Koordinatensysteme repräsentieren zwei Dimensionen, die durch 2 Abstände oder 1 Abstand und 1 Winkel quantifiziert werden
- Kartesische Koordinaten: 2 Abstände
- Polarkoordinaten: 1 Abstand + 1 Winkel
Dreidimensionale Koordinatensysteme
Dreidimensionale Koordinatensysteme repräsentieren drei Dimensionen, die durch 3 Abstände oder 2 Abstände und 1 Winkel oder 1 Abstand und 2 Winkel quantifiziert werden
- Kartesische Koordinaten: 3 Abstände
- Zylinderkoordinaten: 2 Abstände + 1 Winkel
- Kugelkoordinaten: 1 Abstand + 2 Winkel
Mehrdimensionale Koordinatensysteme
In der Physik ist es zweckmäßig Hyperräume wie die Raum-Zeit (4 Dimensionen) einzuführen. In der allgemeinen Relativitätstheorie kommen auch 10-dimensionale Koordinatensysteme zum Einsatz und in der fraktalen Geometrie gibt es auch nicht-ganzzahlige Dimensionen.
Ganzzahlige Dimension
Der Begriff Dimension geht auf die euklidische Geometrie zurück und bedeutet soviel wie „Anzahl der Ausdehnungen“. Eine Dimension ist die Ausdehnung in eine eigene "Richtung / Qualität", die nicht bereits durch eine andere Dimension dargestellt werden kann. Regelmäßige Gebilde, mit „glatten“ Randlinien, wie Quadrate, Kreise, Quader oder Kugeln haben ganzzahlige Dimensionen.
- D=0: Punkt
- D=1: Länge, Begrenzungslinie einer Fläche
- D=2: Flächeninhalt
- D=3: Rauminhalt, Volumen
- D=4: Hyperräume, etwa die Raum-Zeit
- D=10: allgemeine Relativitätstheorie
- D=4+6: Stringtheorie mit vierdimensionaler Raumzeit und 6 eng aufgerollten Extradimensionen
Nicht ganzzahlige Dimension
Da die euklidische Geometrie unregelmäßige Formen wie Küstenlinien nicht abbilden kann, begann Mandelbrot über den Begriff der Dimension nachzuforschen. Er führte neben den ganzzahligen Dimensionen auch gebrochenzahlige, sogenannte fraktale Dimensionen ein. Die Küste ist nämlich ein Mittelding zwischen Linie und Fläche und hat eine nicht ganzzahlige Dimension. Die fraktale Dimension D lässt sich in Abhängigkeit von der Teileanzahl a und einem Skalierungsfaktor s berechnen.
\(D = - \dfrac{{\ln \left( {a\left( s \right)} \right)}}{{\ln \left( s \right)}}\)
Die Länge der Küstenlinie einer Insel hängt von der Größe des Maßstabs der Karte ab: Obwohl die Fläche einer Insel endlich groß ist, nähert sich die Länge der Küstenlinie bei beliebiger Verkleinerung des Maßstabs der Karte dem Wert Unendlich. An keinem Punkt der Küste ist Differenzierbarkeit gewährleistet.
Kartesische Koordinaten
In einem kartesischen Koordinatensystem stehen die drei Koordinatenachsen jeweils im rechten Winkel, also orthogonal, auf einander. Die Position eines Punktes P(x|y|z) wird mit Hilfe von je einer x, y und z Koordinate beschrieben.
P(x|y|z)
Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems
Im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems nimmt jede Koordinatenachse den Wert Null an.
Quadranten im kartesischen Koordinatensystem
In der Ebene stehen die beiden x- und y-Koordinatenachsen orthogonal (in 90°) aufeinander, sie teilen die gaußsche Ebene in 4 Quadranten, die vom rechten oberen Quadranten „1“ ausgehend gegen den Uhrzeigersinn, von 1..4 gezählt werden. Den Schnittpunkt der beiden Achsen nennt man den Ursprung 0 (0|0). Auf jeder Koordinatenachse ist ein Einheitsvektor ex, ey definiert.
Illustration der 4 Quadranten eines zweidimensionalen Koordinatensystems
Achsen im kartesischen Koordinatensystem
Die Achsen eines kartesischen Koordinatensystems stehen orthogonal auf einander und werden nach den drei Richtungen in denen sie den dreidimensionalen Raum aufspannen benannt.
Abszisse
Die Abszisse ist die horizontale x-Achse (Definitionsbereich).
Ordinate
Die Ordinate ist die vertikale y-Achse (Wertebereich).
Applikate
Im 3 dimensionalen Raum kommt noch die räumliche z-Achse (Applikate, Kote) dazu.
Rechte Hand Regel im kartesischen Koordinatensystem
Bei der rechten Hand Regel veranschaulichen 3 jeweils um 90° gespreizte Finger der rechten Hand die 3 Achsen eines kartesischen Koordinatensystems
- Daumen = x;
- Zeigefinger = y;
- Mittelfinger = z
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Polarkoordinaten
Die Polarkoordinaten bestimmen die Position eines Punktes P(r, φ) in der Ebene mit Hilfe von zwei Koordinaten, dem Abstand r vom Ursprung und dem Winkel φ.
P(r, \(\varphi\))
Umrechnung von Polar- auf kartesische Koordinaten
Bei der Umrechnung von Polar- auf kartesische Koordinate errechnet sich die x-Koordinate aus dem Produkt vom Abstand r und dem Kosinus vom Winkel Phi und die y-Koordinate aus dem Produkt vom Abstand r und dem Sinus vom Winkel Phi
\(\begin{array}{l} x = r \cdot \cos \varphi \\ y = r \cdot \sin \varphi \end{array}\)
Umrechnung von kartesischen auf Polarkoordinaten
Bei der Umrechnung von kartesischen auf Polarkoordinaten errechnet sich der Abstand r mit Hilfe vom Satz des Pythagoras aus der x- bzw. y-Koordinate, und der Winkel Phi aus dem Arkustangens vom Quotienten aus y- und x-Koordinate
\(\eqalign{ & r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \cr & \varphi = \arctan \left( {\frac{y}{x}} \right) \cr} \)
Beispiel:
Rechne die kartesischen Koordinaten in die Polarkoordinatenform um!
\(\eqalign{
& P(4\left| 3 \right.) \cr
& \cr
& r = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5 \cr
& \varphi = \arctan \left( {\frac{3}{4}} \right) = 36,87^\circ \cr
& \cr
& P = \left( {5\left| {36,87^\circ } \right.} \right) \cr} \)
Polygon
Ein Polygon, auch n-Eck oder Vieleck genannt, ist eine ebene geometrische Figur, die durch einen in sich geschlossenen Streckenzug aus n Seiten bzw. Kanten und n Ecken gebildet wird. Das Polygon heißt eben, wenn alle Seiten und Ecken in derselben Ebene liegen, andernfalls heißt es windschief. Das einfachste Polygon, das Dreieck, wird aus drei Strecken und drei Ecken gebildet. Weitere Polygone sind das Viereck, Fünfeck, Sechseck und so weiter. Polygone werden also nach der Anzahl n der Ecken benannt.
Unregelmäßiges Polygon
Für alle Polygone gilt,
- Verbindungsstecken benachbarter Eckpunkte werden als Seiten oder Kanten bezeichnet. Die Summe deren Längen ergibt den Umfang.
- Verbindungsstrecken nicht benachbarter Eckpunkte werden als Diagonale bezeichnet
- dass die Anzahl der Ecken gleich der Anzahl der Seiten ist.
- die Anzahl der Diagonalen ergibt sich zu: \({d_n} = \dfrac{1}{2} \cdot n \cdot \left( {n - 3} \right)\)
- die Fläche kann durch Zerlegung in Teildreicke berechnet werden.
Man unterscheidet
- konvexes n-Eck: Jede Verbindungsstrecke zweier Eckpunkte (Diagonalen) liegt im Inneren vom Polygon, oder fällt mit einer Seite zusammen. Jeder Innenwinkel ist kleiner gleich 180°.
- Für die Summe der Innenwinkel gilt: \({S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot 180^\circ \)
- Für die Summe der Außenwinkel beträgt 360°.
- konkaves n-Eck: liegt mindestens eine Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Eckpunkte, also eine Diagonale, außerhalb vom Polygon, dann gibt es mindestens einen Innenwinkel größer als 180°.
- überschlagenes n-Eck: Es schneiden einander zwei oder mehr Seiten an einer Stelle, die kein Eckpunkt ist.
Gleichseitiges Polygon
Ein gleichseitiges Polygon hat lauter gleich lange Seiten, aber unterschiedlich große Winkel
Illustration von einem gleichseitigen Polygon
Gleichwinkeliges Polygon
Ein gleichwinkeliges Polygon hat lauter gleich große Winkel, aber unterschiedlich lange Seiten
Illustration von einem gleichwinkeligen Polygon
Regelmäßiges Polygon
Ein Vieleck (n Eck) heißt regelmäßig, wenn dessen \(n \geqslant 3\) Seiten gleich lang sind und alle Innenwinkel und alle Außenwinkel gleich groß sind. Ein regelmäßiges Vieleck ist daher gleichseitig und gleichwinkelig.
\(\eqalign{ & a = b = c = ... \cr & \alpha = \beta = \gamma = .. \cr} \)
- Jedes regelmäßige Vieleck hat einen Um- und einen Inkreis, die jeweils den gleichen Mittelpunkt M haben.
- Verbindet man den Mittelpunkt M mit den n Ecken, so entstehen n kongruente gleichschenkelige Dreiecke
Umfang vom regelmäßigen Polygon
Der Umfang vom regelmäßigen Vieleck errechnet sich aus Seitenanzahl mal Seitenlänge
\(U = n \cdot a\)
Winkelsumme im regelmäßigen Polygon
An jeder Ecke im regelmäßigen Vieleck ergänzen sich der Innen- und der Außenwinkel auf 180°.
\(\alpha + \alpha ' = 180^\circ \)
Die Winkelsumme im regelmäßigen Vieleck ergibt sich aus der um zwei reduzierten Anzahl an Ecken mal 180°
\(\left( {n - 2} \right) \cdot 180^\circ \)
Der Innenwinkel im regelmäßigen Vieleck ergibt sich aus der Winkelsumme im regelmäßigen Vieleck dividiert durch die Anzahl der Ecken
\(\alpha = \dfrac{{n - 2}}{n} \cdot 180^\circ \)
Die Außenwinkel im regelmäßigen Vieleck ergeben sich aus dem Vollkreis dividiert durch die Anzahl der Ecken
\(\alpha ' = \dfrac{{360^\circ }}{n}\)
Flächeninhalt vom regelmäßigen Polygon
Der Flächeninhalt vom regelmäßigen Vieleck errechnet sich aus der Summe der Fläche des Bestimmungsdreiecks
\(A = \dfrac{{n \cdot a \cdot {r_i}}}{2} = \dfrac{{n \cdot {r_u}^2}}{2} \cdot \sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{n}} \right)\)
Länge der Diagonalen im regelmäßigen Polygon
Von jeder Ecke im regelmäßigen Vieleck gehen n-3 Diagonalen aus. Die Länge der k-ten Diagonale errechnet sich wir folgt:
\({d_k} = a \cdot \sin \left( {\dfrac{{\left( {k + 1} \right) \cdot \pi }}{n}} \right) \cdot \csc \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right)\)
Inkreisradius vom regelmäßigen Polygon
Der Inkreisradius vom regelmäßigen Vieleck ist das Produkt aus der halben Seitenlänge und dem Kotangens von π geteilt durch n
\({r_i} = \dfrac{a}{2} \cdot \cot \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right)\)
Umkreisradius vom regelmäßigen Polygon
Der Umkreisradius vom regelmäßigen Vieleck ist das Produkt aus der halben Seitenlänge und dem Kosekans von π geteilt durch n
\({r_u} = \dfrac{a}{2} \cdot \csc \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right)\)
Illustration vom regelmäßigen Dreieck bis zum regelmäßigen 12-Eck
Kreis
Ein Kreis ist die Menge all jener Punkte der Ebene, die von einem Punkt, dem Kreismittelpunkt, den gleichen Abstand haben. Ein Kreis ist durch seinen Mittelpunkt und seinen Radius definiert. Will man sprachlich die Außenkontur des Kreises hervorheben, so spricht man von der Kreislinie.
\(k\left( {M;r} \right) = \left\{ {P\left| {\overline {MP} = r} \right.} \right\}\)
- Punkt der Ebene liegt innerhalb vom Kreis \(\overline {MP} < r\)
- Punkt der Ebene liegt auf der Kreislinie \(\overline {MP} = r\)
- Punkt der Ebene liegt außerhalb vom Kreis \(\overline {MP} > r\)
Kreismittelpunkt
Der Kreismittelpunkt ist jener Punkt in der Mitte vom Kreis, von dem alle anderen Punkte auf der Kreislinie den gleichen Abstand haben.
Kreisradius
Der Kreisradius entspricht der Strecke bzw. dem Abstand vom Kreismittelpunkt zu jedem beliebigen Punkt auf der Kreislinie.
\(r = \overline {MP} \)
Kreisdurchmesser
Der Kreisdurchmesser entspricht jeder Strecke, die von einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie, durch den Kreismittelpunkt bis zum gegenüber liegenden Punkt am Kreis verläuft. Der Kreisdurchmesser ist doppelt so lang wie der Kreisradius.
\(d = 2r\)
Kreisumfang
Der Kreisumfang entspricht der Länge der Kreislinie.
\(U = 2r\pi = d\pi \)
Kreiszahl π
Die Kreiszahl Pi ist das Verhältnis vom Kreisumfang zum Kreisdurchmesser. Dieser Quotient ist für jeden Kreis, unabhängig von seinem Radius, immer gleich. D.h. der Umfang eines Kreises ist immer das 3,14-fache vom Durchmesser des Kreises. Die Zahl π ist eine irrationale Zahl, d.h. sie kann nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Die Kreiszahl hat unendlich viele Nachkommastellen und ist nicht periodisch.
\(\pi = \dfrac{U}{d} \approx 3,141592\)
Näherungen von Pi: Der Bruch \(\dfrac{{355}}{{113}}\) nähert die Zahl Pi auf sieben Stellen genau an. Das entspricht einem Fehler beim Kreisumfang von 26 cm bei einem Kreisdurchmesser von 1.000 km (das sind immerhin ca. 30% vom Monddurchmesser)
Kreisfläche
Die Kreisfläche ist die Fläche innerhalb der Kreislinie. Die Kreisfläche ist die Menge all jener Punkte der Ebene, die von einem Punkt, dem Kreismittelpunkt, einen Abstand haben, der kleiner oder gleich dem Radius ist.
\(\eqalign{ & A\left( {M;r} \right) = \left\{ {P\left| {\overline {MP} } \right. \leqslant r} \right\} \cr & A = {r^2}\pi = \dfrac{{{d^2}}}{4} \cdot \pi \cr} \)
Illustration vom Kreis
Kreissektor
Der Kreissektor wird von zwei Kreisradien und einem davon aufgespannten Kreisbogen gebildet. Seine Fläche und sein Umfang berechnen sich wie folgt:
\(\eqalign{ & A = \dfrac{{{r^2} \cdot \pi \cdot \alpha }}{{360}} = \frac{{b \cdot r}}{2} \cr & U = b + 2r \cr} \)
Beispiel:
Berechne die Fläche vom Kreissektor bei gegebenen Radius und Öffnungswinkel
\(\eqalign{
& r = 5cm \cr
& \alpha = 53^\circ \cr
& A = {\left( {5cm} \right)^2} \cdot \dfrac{{\pi \cdot 53^\circ }}{{360}} = 15,563c{m^2} \cr} \)
Länge vom Kreisbogen
Die Bogenlänge eines Kreissektors berechnet sich aus dem Kreisradius und dem vom zugrunde liegenden Kreissektor eingeschlossenen Öffnungswinkel
\(b = r \cdot \dfrac{{\pi \cdot \alpha }}{{180}}\)
Beispiel:
Berechne die Bogenlänge eines Keissektors bei gegebenem Radius und Öffnungswinkel
\(\eqalign{
& r = 5{\text{ cm}} \cr
& \alpha = 53^\circ \cr
& b = 5cm \cdot d\frac{{\pi \cdot 53^\circ }}{{180^\circ }} \approx 4,625{\text{ cm}} \cr} \)
Illustration von Kreissektor und Kreisbogen
Kreisring
Der Kreisring wird von 2 konzentrischen Kreisen, einem äußeren und einem inneren Kreis, gebildet. Die konzentrischen Kreise haben den selben Kreismittelpunkt.
\(\eqalign{ & U = 2\pi \left( {{r_a} + {r_i}} \right); \cr & A = \pi \left( {r_a^2 - r_i^2} \right);{\text{ mit }}{{\text{r}}_a}{\text{ > }}{{\text{r}}_i}{\text{;}} \cr}\)
Illustration vom Kreisring
Kreissegment
Ein Kreissegment wird von einer Sehne und dem davon aufgespannten Kreisbogen gebildet. r ist der Kreisradius und \(\alpha\) ist der Mittelpunktswinkel, er ist im Bogenmaß einzusetzen und allenfalls gemäß \(\operatorname{arc} \alpha = \alpha \cdot \dfrac{\pi }{{180^\circ }}\) umzurechnen.
\(\eqalign{
& s = 2r \cdot \sin \dfrac{\alpha }{2} \cr
& U = b + s \cr
& A = \dfrac{{{r^2}}}{2}\left( {\alpha - \sin \alpha } \right) \cr} \)
Illustration vom Kreissegment
Satz von Thales
Jeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter Winkel.
Peripheriewinkel bzw. Umfangswinkel über einem Kreisdurchmesser betragen immer 90°.
Satz von Thales - Interaktive Illustration auf der Website von Geogebra.org
Illustration auf GeoGebra.org anzeigen
Bewege den Punkt P entlang vom Halbkreis und beobachte wie sich die beiden Winkel immer zu 90° aufsummieren.
Wenn Du obigem Link folgst, verlässt Du unsere Website. Die Website des Fremdanbieters wird sich in einem neuen Fenster öffnen.
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Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Würfel
Ein Würfel, auch Kubus genannt, ist ein Körper (ein Quader) der von 6 Quadraten begrenzt wird. Er besitzt 8 rechtwinkelige Ecken und 12 Kanten, die alle die gleiche Länge besitzen.
Volumen vom Würfel
Das Volumen vom Würfel errechnet sich aus Grundfläche mal Höhe. Die Länge, die Breite und die Höhe betragen jeweils a
\(V = {a^3}\)
Beispiel:
Wie viele Liter Wasser passen in 1m³?
1 Liter Wasser hat ein Volumen von 1dm³
1m hat 10dm
\(1{m^3} = 10dm \cdot 10dm \cdot 10dm = 1.000d{m^3} \buildrel \wedge \over{=} 1.000{\text{ l Wasser}}\)
Oberfläche vom Würfel
Die Oberfläche vom Würfel setzt sich aus 6 Quadraten mit der Kantenlänge a zusammen
\(O = 6{a^2}\)
Netz vom Würfel
Das Netz vom Würfel setzt sich aus der quadratischen Grund- und Deckfläche, sowie aus der Mantelfläche zusammen. Die Mantelfläche wiederum besteht aus vier quadratischen Seitenflächen.
Flächendiagonale vom Würfel
Die Flächendiagonale vom Würfel verbindet jeweils zwei gegenüber liegende Eckpunkte einer Seitenfläche. Sie errechnet sich als Hypotenuse mit Hilfe vom Satz des Pythagoras für ein gleichschenkeliges Dreieck, mit a als der Schenkellänge. Alle Flächendiagonalen sind gleich lang.
\({d_F} = \sqrt {2{a^2}} \)
Raumdiagonale vom Würfel
Die Raumdiagonalen vom Würfel gehen jeweils von einem Eckpunkt in den gegenüber liegenden, am weitesten entfernten Eckpunkt. Die Raumdiagonale vom Würfel errechnet sich mit Hilfe vom Satz des Pythagoras, wobei die Raumdiagonale durch eine Flächendiagonale und eine Kantenlänge aufgespannt wird. Alle Raumdiagonalen sind gleich lang.
\({d_R} = a\sqrt 3 \)
Illustration vom Würfel
Quader
Ein Quader ist ein Körper der von 6 Rechtecken begrenzt wird, wobei die drei einander jeweils gegenüberliegenden Rechtecke gleich groß sind. Der Quader besitzt 8 rechtwinkelige Ecken und 12 Kanten, von denen jeweils 4 die gleiche Länge (a, b, c) besitzen. Haben sogar alle 12 Kanten die gleiche Länge, dann handelt es sich um einen Würfel.
Volumen vom Quader
Das Volumen vom Quader errechnet sich aus Grundfläche mal Höhe. Häufig werden die Kanten auch mit Länge l, Breite b und Höhe h bezeichnet. Länge mal Breite ergibt dann die Grund- bzw. Deckfläche.
\(V = a \cdot b \cdot c = {A_G} \cdot c\)
Oberfläche vom Quader
Die Oberfläche vom Quader setzt sich aus 6 Rechtecken zusammen. Die einander jeweils gegenüber liegenden Rechtecke sind jeweils gleich groß.
\(\eqalign{ & G = D = a \cdot b \cr & M = 2(ac + bc) \cr & O = 2{A_G} + {A_M} = 2(ab + ac + bc) \cr} \)
Netz vom Quader
Das Netz vom Quader setzt sich aus der rechteckigen Grund- und Deckfläche, sowie aus der Mantelfläche zusammen. Die Mantelfläche wiederum besteht aus vier rechteckigen Seitenflächen.
Flächendiagonale vom Quader
Die drei Flächendiagonale vom Quader errechnen sich mit Hilfe vom Satz des Pythagoras aus der Wurzel der Summe der quadrierten Kantenlängen der jeweiligen Fläche.
\(\eqalign{ & {d_G} = {d_D} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr & {d_{M1}} = {d_{M3}} = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \cr & {d_{M2}} = {d_{M4}} = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \cr} \)
Raumdiagonale vom Quader
Die Raumdiagonalen vom Quader gehen jeweils von einem Eckpunkt in den gegenüber liegenden, am weitesten entfernten Eckpunkt. Die Raumdiagonale vom Quader errechnet sich mit Hilfe vom Satz des Pythagoras, wobei die Raumdiagonale durch eine Flächendiagonale und eine Kantenlänge aufgespannt wird. Alle Raumdiagonalen sind gleich lang.
\({d_R} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
Illustration vom Quader
Prisma
Ein Prisma ist ein Körper, dessen Grund- und Deckfläche kongruente n-Ecke sind, die in parallelen Ebenen liegen. Es gibt daher dreiseitige, vierseitige, fünfseitige,... Prismen.
Gerades Prisma
Beim geraden Prisma steht die Höhe senkrecht auf die Grund- und Deckfläche. Die Mantelfläche besteht aus n Parallelogrammen. Die Höhe vom geraden Prisma entspricht dem Abstand zwischen Grund- und Deckfläche.
Volumen vom geraden Prisma
Das Volumen vom geraden Prisma errechnet sich aus Grundfläche mal Höhe.
\(V = G \cdot h \)
Mantelfläche vom geraden Prisma
Die Mantelfläche vom geraden Prisma ergibt sich aus dem Umfang der Grundfläche mal der Höhe vom Prisma
\(M = {U_G} \cdot h\)
Oberfläche vom geraden Prisma
Die Oberfläche vom geraden Prisma ergibt sich aus der Summe von Grund- und Deckfläche plus Mantelfläche
\(O = 2G + M\)
Illustration vom geraden Prisma
Netz vom geraden Prisma
Das Netz vom geraden Prisma setzt sich aus der n-eckigen Grund- und Deckfläche, sowie aus der Mantelfläche zusammen. Die Mantelfläche wiederum besteht aus n rechteckigen Seitenflächen.
Schiefes Prisma
Beim schiefen Prisma steht die Höhe nicht senkrecht auf der Grund- und Deckfläche.
Mantelfläche vom schiefen Prisma
Die Mantelfläche besteht aus n Rechtecken. Die Höhe vom schiefen Prisma entspricht dem senkrechten Abstand zwischen der Ebene in der die Grund- bzw. Deckfläche liegt.
\(M \ne {U_G} \cdot h\)
Oberfläche vom schiefen Prisma
Die Oberfläche vom geraden Prisma ergibt sich aus der Summe von Grund- und Deckfläche plus Mantelfläche
\(O = 2G + M\)
Illustration vom schiefen Prisma
Prinzip von Cavalieri
Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass das Volumen eines Prismas das Produkt aus Grundfläche und Höhe ist, unabhängig davon ob es sich um ein gerades oder schiefes Prisma handelt.
\(V = G \cdot h\)