Elektrotechnik und Physik
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Formeln
Newtonsche Gesetze
Die drei Newtonschen Gesetze formulieren die Grundlagen der Bewegung zufolge von Krafteinwirkung.
1. Newtonsche Gesetz
Das 1. Newtonsche Gesetz, auch Trägheitsgesetz genannt, besagt, dass in einem Inertialsystem jeder Körper in Ruhe oder im Zustand einer gleichförmigen Bewegung bleibt, solange auf ihn keine Kraft einwirkt.
2. Newtonsches Gesetz
Das 2. Newtonsche Gesetz , auch Aktionsprinzip genannt, ist zugleich die Grundgleichung der Mechanik und besagt, das eine Kraft, die auf einen Körper wirkt, gleich der zeitlichen Änderung des Impulse pro Zeiteinheit ist.
- Durch Umformung der Gleichung kann man auch sagen, dass eine Kraft gleich der Masse eines Körpers mal der auf den Körper einwirkenden Geschwindigkeitsänderung bzw. Beschleunigung ist.
- Die Beschleunigung eines Körpers ist der auf die Masse einwirkenden Kraft direkt proportional und der Masse des Körpers indirekt proportional
\(\overrightarrow F = m \cdot \overrightarrow a\)
\({\text{Kraft}} = {\text{Masse}} \cdot {\text{Beschleunigung}} \)
\({\text{Einheit}}:1N = 1\dfrac{{kg.m}}{{{s^2}}}\)
Eine Kraft von 1 N beschleunigt eine Masse von 1 kg mit 1m pro s2. Kräfte werden durch ihren Betrag (Stärke der Kraft) und ihre Wirkungsrichtung festgelegt und daher als Vektor beschrieben.
In einem Inertialsystem gilt für eine Kraft die auf einen Körper einwirkt:
\(\overrightarrow F = \dfrac{{d\overrightarrow p }}{{dt}} = \dfrac{{dm \cdot \overrightarrow v }}{{dt}} = m \cdot \dfrac{{d\overrightarrow v }}{{dt}} = m \cdot \overrightarrow a \)
3. Newtonsches Gesetz
Das 3. Newtonsche Gesetz, auch als Actio-Reactio Gesetz oder Wechselwirkungsprinzip, gekannt, besagt, dass wenn 2 Teilchen Kräfte aufeinander ausüben, diese gleich groß aber entgegengesetzt gerichtet und entlang der Verbindungsgeraden der Teilchen wirken.
Beispiel:
Fundamentale Kräfte, die im Einklang mit den 3. Newtonschen Gesetz sind:
- die Gravitationskraft: \(\left| {{F_{12}}} \right| = \left| {{F_{21}}} \right| = G \cdot \dfrac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{r^2}}}\)
- die Coulombkraft: \(\left| {{F_{C12}}} \right| = \left| {{F_{C21}}} \right| = \dfrac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}} \cdot \dfrac{{{q_1} \cdot {q_2}}}{{{r^2}}}\)
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Reihen- bzw. Serienschaltung von Widerständen im Wechselstromkreis
Eine Reihenschaltung von Impedanzen liegt dann vor, wenn alle Widerstände ohne Verzweigung hinter einander, also am selben Pfad, geschaltet sind und daher vom gleichen Strom durchflossen werden.
Bei der Reihenschaltung von Impedanzen
- ist die Gesamtimpedanz Z gleich der Summe der Einzelimpedanzen Zi.
\({\underline Z _{Serie}} = {\underline Z _1} + {\underline Z _2} + ... + {\underline Z _n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\underline Z }_i}} \)- Bei von Gleichstrom durchflossenen Widerständen ist der Gesamtwiderstand immer größer als der größte Teilwiderstand ist.
- Bei von Wechselstrom durchflossenen Impedanzen kann die Gesamtimpedanz zufolge von sich kompensierenden Phasendrehungen auch kleiner als die größte Teilimpedanz sein
- fließt durch alle Impedanzen der selbe Strom, dessen Stromzeiger man in die x-Achse mit φ = 0° legt
- Die Spannung am kapazitiven Blindwiderstand hat einen Phasenwinkel von φ = −90°.
- Die Spannung am induktiven Blindwiderstand hat den Phasenwinkel von φ = +90°.
- Die Summenspannung an einer RLC Reihenschaltung ist bei −φ überwiegend kapazitiv, bei +φ überwiegend induktiv. Für einer charakteristischen Frequenz, der Resonanzfrequenz, heben sich die beiden Blindwiderstände auf und es wirkt einzig der ohmsche Anteil. Dann sind Strom und Spannung in Phase.
- ergibt die Summe aller Teilspannungen Ui wieder die angelegte Gesamtspannung Uges
\({\underline U _{ges}} = {\underline U _1} + {\underline U _2} + ... + {\underline U _n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\underline U }_i}} \)
Serienersatzschaltung bei gegebenem Strom, Spannung und Phasenwinkel im Wechselstromkreis
Hat man Strom, Spannung und Phasenwinkel im Wechselstromkreis gegeben, so errechnen sich der Wirk- und der Blindwiderstand einer Serien-Ersatzschaltung wie folgt:
\(\eqalign{ & U,I,{\varphi _Z} \cr & {R_{Serie}} = \dfrac{U}{I} \cdot \cos {\varphi _Z} \cr & {X_{Serie}} = \dfrac{U}{I} \cdot \sin {\varphi _Z} \cr} \)
Spannungsteiler im Wechselstromkreis
Eine Serienschaltung von Widerständen entspricht einem Spannungsteiler. Der Spannungsabfall an der k-ten Impedanz ergibt sich aus der Gesamtspannung mal betrachteter (k-ter) Impedanz dividiert durch die Summe aller Impedanzen
\({\underline U _k} = \underline U \cdot \dfrac{{{{\underline Z }_k}}}{{{{\underline Z }_1} + {{\underline Z }_2} + .. + {{\underline Z }_n}}}\)
Starke Wechselwirkung
Quantenfeld | Starkes Kernfeld |
Austauschteilchen Quant | 8 masselose Gluonen (tragen selbst auch Farbladung) |
Ladung | Farbladung (rot, grün, blau) |
Spin Eigendrehimpuls des Quants | s=1 - Vektorboson |
Reichweite | 10-15 m |
Masse | m=0 |
Relative Stärke (im Vergleich zur starken WW) | 1 |
wirkt auf | Quarks und Gluonen |
Kraft |
Klebt die Quarks in den Hadronen zusammen indem sie die abstoßende elektromagnetische Kraft zwischen den positiv geladenen Protonen überwindet. Wirkt über das eigene Proton hinaus auf die Quarks benachbarter Protonen. |
Theorie | Quantenchromodynamik |
Starke Wechselwirkung
Die starke Wechselwirkung ermöglicht die Bildung von stabilen Atomkernen indem sie für die Anziehungskraft zwischen den Quarks, aus denen die Protonen und die Neutronen bestehen, verantwortlich ist.
- Solange sich die Nukleonen zwischen 0,5 und 3 Atomkerndurchmessern befinden wirkt die starke Wechselwirkung anziehend , was das auseinanderfliegen der Protonen zufolge der abstoßend wirkenden Coulombkraft verhindert.
- Jenseits von 3 Atomkerndurchmessern wirkt die starke Wechselwirkung nicht mehr.
- Unterhalb von 0,5 Atomdurchmessern wirkt die starke Wechselwirkung hingegen abstoßend, was den Kollaps der Atomkerne verhindert.
Die starke Wechselwirkung wirkt zwischen Protonen, zwischen Protonen und Neutronen sowie zwischen Neutronen auf Grund der annähernd vergleichbaren Massen weitgehend identisch und zwar immer anziehend und ist bei Abständen des Atomkerns ca. 35 mal stärker als die elektrische Abstoßung. Bei zu schweren Kernen, die also schon zu viele sich abstoßende Protonen besitzen, kann die starke Wechselwirkung die Coulomb‘sche Abstoßung nicht mehr kompensieren, die Kerne werden instabil und zerfallen in leichtere aber stabile Kerne.
Gluonen
Die starke Wechselwirkung wird durch den Austausch von masselosen Gluonen, die selbst eine der 8 Farbladungen tragen, bewirkt und durch eine SU(3) genannte Eichgruppe beschrieben. Die Emission oder Absorption eines Gluons ändert die Farbe des Quarks.
Radionuklide
Radionuklide sind Atome mit einem instabilen Kern, die sich in einen anderen Kern umwandeln und dabei Energie in Form von Alpha oder Beta oder Gammastrahlung abgeben.
Alphastrahlung
Die positiv geladene Alphastrahlung ist ionisierend und besteht aus Heliumkernen, also aus 2 Protonen p und 2 Neutronen n. Aus dem Mutterkern entsteht ein neues Element. Alphastrahlen können sehr einfach abgeschirmt werden (Blatt Papier) und haben nur ein sehr kleines Durchdringungsvermögen.
\({}_Z^AMutterkern \to {}_{Z - 2}^{A - 2}Tochterkern + {}_2^4He\)
Betastrahlung
Beim Betazerfall vermittelt ein W- Boson die schwache Wechselwirkung. In der Folge zerfällt ein überschüssiges Neutron in ein Proton und ein Elektron, dabei verlassen ein Elektron und ein Antineutrino oder ein Positron und ein Elektron Neutrino den Kern als sogenannte Betastrahlung. Aus dem Mutterkern entsteht ein Tochterkern, wodurch ein neues Element entsteht. Betastrahlen können einfach abgeschirmt werden (5mm Alublech) und haben nur ein geringes Durchdringungsvermögen.
\(\eqalign{ & {}_Z^AMutterkern \to {}_{Z + 1}^ATochterkern + {e^ - } + {\overline \nu _e} \cr & {}_Z^AMutterkern \to {}_{Z - 1}^ATochterkern + {e^ + } + {\nu _e} \cr} \)
Gammastrahlung
Gammastrahlung ist keine Teilchenstrahlung sondern eine elektromagnetische Strahlung aus Photonen die meist nach einem Alpha- oder Betazerfall, aus dem nach dem Zerfall entstandenen angeregten Tochterkern ausgesendet wird, um den Kern in einen niedrigen Grundzustand zu bringen. Gammastrahlen können durch Bleiplatten abgeschirmt werden und haben eine Reichweite von einigen Metern.
Radioaktives Zerfallsgesetz
Das radioaktive Zerfallsgesetz beschreibt mit Hilfe einer Exponentialfunktion, wie sich die Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne einer radioaktiven Substanz im Laufe der Zeit verringert. N0 ist die Anzahl der radioaktiven Isotope am Anfang. N ist die Anzahl der radioaktiven Isotope, die nach der Zeit t noch nicht zerfallen sind. λ ist die Zerfallskonstante.
\(N = {N_0} \cdot {e^{ - \lambda t}}\)
Radioaktive Halbwertszeit
Die Halbwertszeit gibt an, nach welcher Zeitdauer genau die Hälfte der ursprünglichen radioaktiven Isotope zerfallen ist.
\({T_{50\% }} = \ln \dfrac{2}{\lambda }\)
Einsteinsche Feldgleichung der ART
Die Einsteinschen Feldgleichungen, auch Gravitationsgleichungen der ART stellen einen Zusammenhang zwischen dem Einstein-Tensor G mit den Krümmungseigenschaften der Raumzeit und dem Energie-Impuls-Tensor T her. Mit anderen Worten handelt es sich um die gegenseitige Beeinflussung von der Energie-Impulsverteilung im Universum mit der Geometrie der Raumzeit.
Einsteinsche Feldgleichung ohne kosmologischer Konstante:
\({G_{\mu \nu }} = \dfrac{{8\pi G}}{{{c^4}}} \cdot {T_{\mu \nu }} = {R_{\mu \nu }} - \dfrac{1}{2} \cdot R \cdot {g_{\mu \nu }}\)
\({G_{\mu \nu }}\) | Einstein-Tensor |
\({T_{\mu \nu }}\) | Energie Impuls Tensor |
\({R_{\mu \nu }}\) | Ricci-Krümmungstensor |
R | Ricci-Krümmungsskalar |
\({g_{\mu \nu }}\) | Metrik, bzw. Metrischer Tensor |
G |
Newtonsche Gravitationskonstante \({\text{G = 6}}{\text{,67}} \cdot {\text{1}}{{\text{0}}^{ - 11}}\dfrac{{{m^3}}}{{kg \cdot {s^2}}}\) |
Einsteinsche Feldgleichung mit kosmologischer Konstante:
\({G_{\mu \nu }} = \dfrac{{8\pi G}}{{{c^4}}} \cdot {T_{\mu \nu }} + \Lambda {g_{\mu \nu }} = {R_{\mu \nu }} - \dfrac{1}{2} \cdot R \cdot {g_{\mu \nu }}\)
\(\Lambda \) |
kosmologische Konstante, sollte ursprünglich ein statisches Universum erzwingen, \(\Lambda \approx 1 \cdot {10^{ - 52}} \cdot \dfrac{1}{{{m^2}}}\) man kann sie sich am besten als einen Druck vorstellen, der Masse auseinandertreibt. |
T enthält die lokale Massendichte bzw. über E=mc2 die Energiedichte und charakterisiert damit die gravitationsrelevanten Eigenschaften der Materie. Zur Aufrechterhaltung von Energie- und Impulserhaltungsatz muss \(\nabla {T_{\mu \nu }} = 0\) die Divergenz vom Energie-Impulstensor bei festen RaumZeit-Koordianten null sein.
Die linke Seite der Gleichung beschreibt die Raumzeit, die rechte Seite der Gleichung beschreibt die Masse, die die Krümmung der Raumzeit bedingt. Eine triviale Schlussfolgerung: Wo es weder Masse noch Energie (gemäß E=mc2) gibt, dort gibt es auch keinen Raum und keine Zeit! D.h. für den Urknall, dass sich nicht die Materie in ein leeres Universum hinein ausbreitet, sondern dass sich das Universum selbst, und zwar nur dort wo es Materie gibt, ausdehnt.
Die einfache Form obiger Gleichung täuscht! Komplett ausformuliert, besteht sie aus mehreren nichtlinearen, gekoppelten, partiellen Differentialgleichungen, für die es keinen vollständigen Satz an Lösungen gibt. Immer wieder werden daher neue Lösungen für Spezialfälle gefunden.
Lösungen der Einsteinschen Feldgleichung
Alle vier hier beschriebenen Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen beschreiben „Schwarze Löcher“ und sie vereinfachen die ursprüngliche Tensorgleichung:
- Die „Schwarzschild Lösung“ (1916) geht von einem ungeladenen, nicht rotierenden, punktförmigen schwarzen Loch aus; Ein Schwarzschild-Loch hat nur eine einzige Eigenschaft: Masse
- Die „Reissner-Nordstrom-Lösung“ (1918) geht von einem elektrisch geladenen, nicht rotierenden, punktförmigen schwarzen Loch aus; Ein Reissner-Nordstrom-Loch hat 2 Eigenschaften: Masse und Ladung
- Die „Kerr-Lösung“ (1963) lässt bereits eine Rotation des nicht geladenen, ringförmigen schwarzen Lochs zu; Ein Kerr-Loch hat 2 Eigenschaften: Masse und Drehimpuls
- Die „Kerr-Newmann-Lösung“ (1965) ist die allgemeinste Lösung, lässt sie doch elektrische Ladung und Rotation zu; Ein Kerr-Newmann-Loch hat 3 Eigenschaften: Masse, Ladung und Drehimpuls
In der Praxis der Astrophysik spielt die Ladung aber keine Rolle, da Ausgleichsströme im Plasma diese Ladungen neutralisieren würden. Es bleiben also die Schwarzschild- und Kerr-Löcher über, und die besitzen maximal 2 Eigenschaften: Masse und Drehimpuls.
Linearisiert man die Feldgleichungen, so erhält man die einfacheren Wellengleichungen.
Kosmologische Konstante \(\Lambda \)
Einstein hatte die Vorstellung eines statischen Universums, welches sich nicht ausdehnt. Um das in seiner Feldgleichung mathematisch zu erzwingen, führte er den „Lambda-Term“ also die kosmologische Konstante ein. Die kosmologische Konstante steht dabei für eine Art von Vakuumenergie. Die kosmologische Konstante hat heute die Bedeutung einer Energiedichte vom Vakuum.
\(\eqalign{ & {G_{\mu \nu }} = \dfrac{{8\pi G}}{{{c^4}}} \cdot {T_{\mu \nu }} + \Lambda {g_{\mu \nu }} \cr & {R_{\mu \nu }} - \dfrac{1}{2} \cdot R \cdot {g_{\mu \nu }} = \dfrac{{8\pi G}}{{{c^4}}} \cdot {T_{\mu \nu }} + \Lambda {g_{\mu \nu }} \cr} \)
- Eine negative kosmologische Konstante / Lambda verstärkt die Gravitation, darauf deutet derzeit nichts hin, im Gegenteil:
- ein positives Lambda wirkt in Form einer „Anti-Gravitation“ also so, wie die dunkle Energie. Mit einem kleinen positiven Wert erhält man ein exponentiell expandierendes Universum. Man spricht vom Einsten-de Sitter Model.
Die Hubble Konstante H0
Nach der Entdeckung des Hubble-Effekts (1929), demzufolge sich das Universum gemäß der Hubble Konstante um 67..75 km pro Sekunde pro Megaparsec (67..75 km/s pro 3,3 Millionen Lichtjahre Entfernung) ausdehnt, verwarf Einstein die kosmologische Konstante und bezeichnete sie als seine „größte Eselei“.
1985 haben Messungen der kosmischen Expansion mittels Ia-Supanovae („Standardkerzen“) zudem gezeigt, dass sich die Hubblesche Ausdehnung des Universums nicht wie erwartet unter der Wirkung der Gravitation verlangsamt, sonder im Gegenteil, beschleunigt. Dafür macht man die sogenannte dunkle Energie verantwortlich, die entgegengesetzt zur Schwerkraft wirkt und die Massen im Universum immer stärker auseinandertreibt.
Eine exakte Bestimmung der Hubble Konstanten wäre von entscheidender Bedeutung für das Ausmaß der Beschleunigung der kosmischen Expansion.
Friedmann Gleichungen
Die beiden Friedmann Gleichungen resultieren aus eine Vereinfachung der Tensorgleichung aus der Allgemeinen Relativitätstheorie unter der Annahme eines homogenen (gleichmäßig aufgebauten) und isotropen (richtungsunabhängigen) Universums. Ein isotropes Universum hat in alle Richtungen die gleichen Eigenschaften. Die Materie, die in den Planeten, Sternen und Galaxien punktuell enthalten ist und deren Zwischenräume die von Vakuum erfüllt sind, denkt man sich als gleichmäßig über das Universum verschmiert. Die Friedmann Gleichungen beschreiben die Entwicklung des Universums mit fortschreitender Zeit.
1. Friedmann Gleichung mit kosmologischer Konstante:
Die erste Friedmann-Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen der Expansionsrate des Universums, der Energiedichte im Universum, der Krümmung des Raums und eines Skalenfaktors. Hinzu kommt der Druck zufolge der kosmologischen Konstante.
\(\eqalign{ & {H^2}\left( t \right) = {\left( {\dfrac{{\mathop a\limits^ \cdot }}{a}} \right)^2} = \dfrac{{8\pi G}}{3} \cdot \rho - \dfrac{{k{c^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{\Lambda {c^2}}}{3} \cr & mit\,\,...\,\,\Omega - 1 = \dfrac{k}{{{H^2} \cdot {a^2}}} \cr} \)
\(\Omega = \dfrac{{8\pi G\rho }}{{3{H^2}}}\)
\(\Omega\) | Dichteparameter, bezeichnet die Dichte von Materie und Energie im Universum. Er enstpicht dem Verhältniss von tatsächlich vorhandener Energiedichte zu genau jener Energiedichte die für ein statisches Universum erforderlich wäre. |
k | Krümmungsparameter (-1, 0, +1), ist mit der Gesamtenergiedichte des Universums verknüpft. |
\(\Lambda\) | kosmologische Konstante "Lambda" (negativ, 0, positiv), übt "Druck" auf Materie aus und trägt zur Ausdehnung des Universums bei. |
H(t) | Hubbleparameter; Beschreibt als Hubblekonstante die jeweilige Expansionsrate des Universums, liegt derzeit zwischen 67 und 75 km pro Sekunde pro Megaparsec. |
c | Lichtgeschwindigkeit c=299 792 458 m/s |
2. Friedmann Gleichung mit kosmologischer Konstante:
Die zweite Friedmann-Gleichung beschreibt, wie die Beschleunigung der Expansion des Universums von der Energiedichte und dem Druck im Inneren des Universums abhängt. Hinzu kommt der Druck zufolge der dunklen Energie repräsentiert durch die kosmologischen Konstante.
\(\eqalign{ & \mathop H\limits^ \cdot + {H^2} = \dfrac{{\mathop a\limits^{ \cdot \cdot } }}{a} = - \dfrac{{4\pi G}}{{3{c^2}}}\left( {\rho {c^2} + 3p} \right) + \dfrac{{\Lambda {c^2}}}{3} \cr & H\left( t \right) = \dfrac{{\mathop a\limits^ \cdot }}{a} \cr}\)
a(t) |
Kosmischer Skalenfaktor. Wenn der Skalenfaktor a(t) wächst, bedeutet dies, dass das Universum älter wird. Der Skalenfaktor beeinflusst die räumliche Geometrie des Universums |
\({\mathop a\limits^{ \cdot \cdot } }\) | Die 2. Ableitung des Skalenfaktors nach der Zeit beschreibt die Beschleunigung (oder Verzögerung) der Expansion des Universums |
\(\rho\) | Energiedichte des Universums, setz sich aus Materie, Strahlung und dunkler Energie zusammen |
p | Druck des Universums |
Die Friedmann Gleichungen sind Differentialgleichungen - da sie den Skalenfaktor a sowie dessen 1. und 2. zeitliche Ableitung enthalten - bei denen man folgende 3 Fälle an Hand des Krümmungsparamters k unterscheiden kann:
- k = -1: offenes Universum: Das Universum expandiert ohne Schranke, da die Gravitation nicht in der Lage ist die Expansion zu bremsen. Die Sterne erkalten und die Galaxien, ja sogar die Schwarzen Löcher, verdampfen. Das Universum erreicht den absoluten Nullpunkt der Temperaturskala und stirbt den Kältetod.
- k = 0: flaches Universum: Das Universum dehnt sich asymptotisch bis zu einer endlichen Größe aus, D.h. es existiert im Universum genau so viel Masse, dass deren Gravitation die Expansion bei einer bestimmten Ausdehnung abstoppt. Das Universum stirbt den Kältetod.
- k = +1: geschlossenes Universum: Das Universum enthält so viel Masse, dass unter der Wirkung der Gravitation die Ausdehnung zum Stillstand kommt und danach kollabiert das Universum im „Big Crunch“
Zusammenhang Krümmungsparameter k und kosmologische Konstante \(\Lambda\)
Der Krümmungsparameter k und die kosmologische Konstante Lambda machen einerseits Aussagen über die Krümmung des Universums und andererseits über die Dynamik der Ausbreitung des Universums. Sie sind abhängig von der Dichte an Materie und von der Dichte der dunklen Energie im Universum. Sie bestimmen ob sich das Universum in Richtung Expansion, Stagnation oder Kontraktion entwickelt.
Zusammenhang zwischen dunkler Energie bzw. zugehöriger kosmologischer Konstante und Vakuumenergiedichte
Die dunkle Energie ist ein Begriff der Gravitationstheorie, während die Vakuumenergiedichte ein Ausdruck der Quantenfeldtheorie ist, wodurch die beiden Theorien in einen Zusammenhang gesetzt werden können. Die dunkle Energie kann dann nämlich als eine Art der Vakuumenergiedichte interpretiert werden.
- Die dunkle Energie wird postuliert um die messbare beschleunigte Expansion des Universums zufolge ihrer negativen Gravitationswirkung zu erklären. Sie wird dort durch die kosmologische Konstante \(\Lambda\) repräsentiert und findet sich sowohl in der einsteinschen Feldgleichung der ART als auch in den beiden Friedmann-Gleichungen wieder.
- Die Vakuumenergiedichte ist jene - von Null ungleiche - Energiemenge, die dem leere Raum zugeschrieben wird. Sie ist die niedrigste Energiedichte eines quantenmechanischen Feldes. Sie spielt bei der Theorie des inflationären Universums zusammen mit der Energie des Higgsfeldes eine Rolle. Sie dominiert den Zeitraum von 10-36 s bis 10-34 s nach dem Urknall, während der sich das Universum exponentiell um das ca. 1026 -fache ausgedehnt haben könnte. Nach diesem Zeitraum dehnt sich das nunmehr strahlungsdominierte Universum zufolge der Friedmann-Gleichungen aus.
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Magnetostatik
Die Magnetostatik ist der einfachste Fall der Elektrodynamik. Sie beschreibt die Felder, die einen von einem zeitunabhängigen Strom (=Gleichstrom) durchflossenen Leiter umgeben, sowie die Kräfte, die zwischen Magnetpolen wirken.
Elementarmagnetismus
Elementarmagnetismus → Magnetostatik; Elektrische Elementarladung → Elektrostatik;
In der Natur gibt zwar die elektrische Elementarladung e aber es gibt keine „magnetische Ladung“. Daher gibt es auch keine magnetischen Monopole, das wären isoliert existierende Nord- oder Südpole. Magnetisch Felder besitzen somit im Unterschied zu elektrischen Feldern keine Quellen (Anfang einer Feldlinie) bzw. Senken (Ende einer Feldlinie), sondern sie sind Wirbelfelder, mit geschlossenen oder sich ins Unedliche windenden Feldlinien. Daher lautet in der Elektrodynamik die 2. Maxwellgleichung, also das Gaußsche Gesetz für magnetische Felder \(div\overrightarrow B = 0\)
Um die magnetischen Eigenschaften von Materie zu erklären verwendet man das Modell der „Elementarmagnete“. Elementarmagnete sind die kleinste magnetische Einheit in einem ferromagnetischen Material. Jedes Atom kann als kleinster isolierbarer Elementarmagnet betrachtet werden, da es ein magnetisches Moment besitzt, welches durch die in der Elektronenhülle umlaufenden und sich dabei drehenden (Spin) Elektronen verursacht werden. Umlaufende Elektronen entsprechen einem Stromfluss, jeder fließende Strom erzeugt ein Magnetfeld.
- Elementare Stabmagnete (als einfache Erklärung): Vereinfacht kann man sich einen Magneten als Ansammlung von elementaren Stabmagneten vorstellen. Jeder Elementarmagnet besitzt einen N-Pol und einen S-Pol und ist frei drehbar. Die Anordnung hängt vom Kristallgitter ab. Bei ferromagnetischen Stoffen führt die gegenseitige Wechselwirkung zu einer Ausrichtung aller Elementarmagnete innerhalb eines sogenannten Weiss’schen Bezirks in die gleiche Richtung.
Ob das magnetische Moment der einzelnen Atome (Elementarmagnete) sich lokal aufhebt oder makroskopisch wirksam wird, hängt von der jeweiligen Anordnung der Atome in der betrachteten Kristallstruktur ab. - Quantenmechanische Erklärung: Wenn - gedanklich - die negativ geladenen Elektronen um den Atomkern umlaufen, so entspricht dies einem Stromfluss um den Kern, der die Ursache für ein Magnetfeld ist. Auch durch die - gedankliche - Eigendrehung des Elektrons (Spin) entsteht ein Beitrag zum magnetischen Dipolmoment.
Ob ein Atom auf Grund der Bahnbewegung und durch den Spin der Elektronen ein magnetisches Moment besitzt, hängt von der Anzahl der Elektronen im Atom und somit vom jeweiligen chemischen Element ab.
Magnetismus als Verhalten von Materie in einem äußeren Magnetfeld
Paramagnetismus
Man spricht vom „Paramagnetismus“ wenn sich die Elementarmagnete unter der Wirkung eines äußeren Magnetfelds so ausrichten, dass sie dieses verstärken. Die Magnetisierung ist dabei proportional zum angelegten Magnetfeld. Paramagnetische Stoffe werden durch ein äußeres Magnetfeld schwach angezogen.
Ferromagnetismus
Von „Ferromagnetismus“ spricht man, wenn sich in kleinen Bereichen des Körpers - in den „Weiß’schen Bezirken“ - die Spins auch ohne äußeres Magnetfeld parallel ausrichten. Da die Spinns benachbarter Bezirke verschieden orientiert sind, hat der Ferromagnet keine makroskopische Magnetisierung. Ferromagnetische Stoffe (bei Raumtemperatur: Eisen, Nickel und Kobalt) werden vom äußeren Magnetfeld stark angezogen. Bei hohen Temperaturen werden ferromagnetische Stoffe paramagnetisch.
Ferromagnetische Stoffe können Magnete bilden, etwa kostengünstige Ferrit Magnete aus Eisenoxid. Sie sind aber nur in Form von Legierungen (z.B.: NdFeB – Neodym, AlNiCo – Aluminium + Nickel + Kobalt, SmCo – Samarium-Kobalt) als Dauermagnete geeignet.
Diamagnetismus
Von „Diamagnetismus“ spricht man, wenn ein äußeres magnetischen Feld \( \overrightarrow H\) auf Materie wirkt, und in jedem Atom ein Kreisstrom induziert wird, dessen magnetisches Moment gemäß der Lenz’schen Regel, dem von außen angelegten Feld entgegengesetzt ist. Diamagnetische Stoffe werden vom äußeren Magnetfeld schwach abgestoßen.
Polstärke
Polstärke → Magnetostatik; Elektrische Ladung → Elektrostatik;
So wie es in der Elektrostatik positive +e und negative Ladungen -e gibt, wo einander gleichnamige Ladungen abstoßen, während sich ungleichnamige Ladungen anziehen, gibt es in der Magnetostatik zwei verschiedene Pole, den Nordpol und den Südpol, wo einander gleichnamige Magnetpole abstoßen, während sich ungleichnamige Magnetpole anziehen. Während man positive und negative elektrische Ladungen trennen kann, kann man Nord- und Südpol eines Magneten nicht trennen. Jeder noch so kleine Magnet hat grundsätzlich immer sowohl N- als auch S-Pol. Man könnte daher formulieren, dass die Polstärke die „scheinbare“ magnetische Ladung eines Magnetpols angibt. Tatsächlich wird sie durch den magnetischen Fluss \(\Phi \)gemessen, der von einem Magnetpol ausgeht und durch eine Fläche fließt.
Die Polstärke \(\overrightarrow p \) gibt die Stärke und die Orientierung der beiden Pole eines Magneten an.
Weber
Weber → Magnetostatik; Coulomb → Elektrostatik;
Das Weber Wb ist die Einheit der magnetischen Polstärke bzw. vom magnetischen Fluss. Da es keine räumlich isolierten magnetischen Monopole gibt, wird die Polstärke durch den magnetischen Fluss \(\Phi \) gemessen, der von einem Magnetpol ausgeht und durch eine Fläche fließt.
1 Weber Wb ist der magnetische Fluss, der in einer Leiterschleife von 1 m², bei konstanter zeitlicher Änderung des Flusses innerhalb von 1 Sekunde eine Spannung von 1 Volt induziert.
Die Einheit der magnetischen Polstärke, bzw. vom magnetischen Fluss ergibt sich gemäß folgender Einheitengleichung
\(\left[ \Phi \right]{\rm{ = }}\left[ V \right] \cdot \left[ {\rm{t}} \right]{\rm{ = 1V}} \cdot {\rm{1s = 1Vs = 1Wb = 1T}} \cdot {{\rm{m}}^2}\)
Magentische Kraft zwischen zwei Magnetpolen
Magnetisches Kraftgesetz → Magnetostatik; Coulombsches Gesetz → Elektrostatik;
Das Magnetische Kraftgesetz stellt einen Zusammenhang zwischen der magnetischen Größe „Fluss“ bzw. magnetische Flussdichte B“ und der mechanischen Größe „Kraft“ her. Man kann daher analog zum Coulombschen Gesetz das Magnetische Kraftgesetz wie folgt anschreiben
\(F = \dfrac{1}{{4\pi {\mu _0}}} \cdot \dfrac{{{\Phi _1} \cdot {\Phi _2}}}{{{r^2}}} = \dfrac{1}{{4\pi {\mu _0}}} \cdot \dfrac{{{B_1} \cdot {A_1} \cdot {\Phi _2} \cdot {A_2}}}{{{r^2}}} = k \cdot \dfrac{{{p_1} \cdot {p_2}}}{{{r^2}}}\)
Beispiel: Überprüfen wir das Magnetische Kraftgesetz mittels einer Einheitengleichung:
\(\begin{array}{l} F = \dfrac{1}{{4\pi {\mu _0}}} \cdot \dfrac{{{\Phi _1} \cdot {\Phi _2}}}{{{r^2}}} = \dfrac{1}{{4\pi {\mu _0}}} \cdot \dfrac{{{B_1} \cdot {A_1} \cdot {\Phi _2} \cdot {A_2}}}{{{r^2}}}\\ N = \dfrac{1}{{\frac{{Vs}}{{Am}}}} \cdot \dfrac{{W{b^2}}}{{{m^2}}} = \dfrac{{Am \cdot W{b^2}}}{{Vs \cdot {m^2}}} = \dfrac{{A \cdot W{b^2}}}{{Vs \cdot m}} = \\ \\ {\rm{mit Wb}} = Vs = \dfrac{{Nm}}{A} \to V = \dfrac{{Nm}}{{As}}\\ = \dfrac{{A \cdot \dfrac{{{N^2} \cdot {m^2}}}{{{A^2}}}}}{{\dfrac{{Nm}}{{As}} \cdot s \cdot m}} = \dfrac{{A \cdot {N^2} \cdot {m^2} \cdot A \cdot s}}{{{A^2} \cdot N \cdot s \cdot {m^2}}} = N\,\,\,\,{\rm{wzbw}}{\rm{.}} \end{array}\)
Das Magentische Kraftgesetz gibt ein Maß / eine Formel für jene Kraft an, die 2 magnetische Pole auf einander ausüben und zwar zufolge der magnetischen Polstärke. Der Raum zwischen den Polen ist von einem elektromagnetischen Feld erfüllt. Das magnetische Feld ist eine Folge der subatomaren Bewegung von Elektronen auf deren Umlauf um den Atomkern.
Das Quant / das Boson der fundamentalen elektromagnetischen Wechselwirkung ist das Photon, welches daher der Vermittler der anziehenden oder abstoßenden Kräfte zwischen den beiden Magnetpolen ist.
Das magnetische Feld
Magnetisches Feld → Magnetostatik; Elektrisches Feld → Elektrostatik;
Sind in einem Raum bewegte elektrische Ladungen vorhanden, so verursachen diese bewegten Ladungen die Ausbildung eines magnetischen Feldes \(\overrightarrow H\). In Dauermagneten fließen diese das Magnetfeld verursachenden Ströme in Form von bewegten Elektronen auf atomarer Ebene. Das Erdmagnetfeld wird durch die Bewegung von flüssiger leitfähiger Metallschmelze im Erdkern, in einem natürlich vorhandenem Initialfeld, induziert. Zufolge des magnetischen Feldes wirkt auf bewegte geladene Teilchen die sogenannte Lorentzkraft FL.
Magnetische Feldlinien
Magnetische Feldlinien → Magnetostatik; Elektrische Feldlinien → Elektrostatik;
Magnete und bewegte elektrische Ladungen, etwa in Form eines stromdurchflossenen Leiters, sind von einem magnetischen Feld \(\overrightarrow H \) umgeben. Stromfluss verändert nämlich den umgebenden Raum, indem er dort ein magnetisches Feld erzeugt.
Magnetische Feldlinien zeigen den Verlauf des Feldes, wobei magnetische Feldlinien immer geschlossen sind oder sich winden sich unendlich, ohne in sich zurückzulaufen, man spricht daher von einem sogenannten Wirbelfeld. Es gibt keine offenen - also nur geschlossene - magnetischen Feldlinien, weil ein Wirbelfeld keine Quellen und keine Senken hat. Magnetische Feldlinien verlaufen in Richtung vom Nord- zum Südpol.
Die Dichte der Feldlinien (also wie eng oder weit die Feldlinien auseinander liegen) ist ein Maß für die Feldstärke.
Magnetische Feldstärke
Magnetische Feldstärke → Magnetostatik; Elektrische Feldstärke → Elektrostatik;
Die magnetische Feldstärke \(\overrightarrow H\) oder auch magnetische Erregung genannt, ist eine vektorielle Größe, welche die Stärke und die Richtung eines magnetischen Feldes und somit die Fähigkeit des magnetischen Feldes, eine Kraft auf einen darin enthaltenen magnetischen Pol auszuüben, angibt. Ihre Ursache sind elektrische Ströme. Ihre Einheit ist Ampere pro Meter \(\left[ H \right] = \dfrac{A}{m}\). Die magnetische Feldstärke entspricht der magnetischen Spannung Um, bzw. der magnetischen Durchflutung Theta, beide in Ampere A, bezogen auf die Wegeinheit l.
\(\overrightarrow H = \dfrac{{\Delta {U_m}}}{{\Delta l}} = \dfrac{{\Delta \Theta }}{{\Delta l}}\)
Magnetische Flussdichte
Magnetische Flussdichte → Magnetostatik; Elektrische Flussdichte → Elektrostatik;
Die magnetische Flussdichte \({\overrightarrow B }\), auch magnetische Induktion genannt, ist ein vektorielles Maß für die örtliche Intensität des Magnetfeldes, zufolge einer magnetischen Feldstärke \( \overrightarrow H\) . Die beiden Größen sind im Vakuum über die magnetische Feldkonstante \({\mu _0}\) verknüpft. Die magnetische Feldkonstante \(\mu={\mu _r} \cdot {\mu _0}\) ist ein Maß für die Durchlässigkeit eines Materials für magnetische Felder.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow B = {\mu _r} \cdot {\mu _0} \cdot \overrightarrow H \\ \left[ {\overrightarrow B } \right] = \dfrac{{{\rm{Vs}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{m}}}} \cdot \dfrac{{\rm{A}}}{{\rm{m}}}{\rm{ = }}\dfrac{{{\rm{Wb}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ = }}\dfrac{{\rm{N}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{m}}}}{\rm{ = T}} \end{array}\)
mit:
\({\mu _0} = 4\pi \cdot {10^{ - 7}}\dfrac{{Vs}}{{Am}}\)
Die magnetische Flussdichte \({\overrightarrow B }\) ist ein auf den Querschnitt bezogener Fluss \(\vec B = \dfrac{{d{\rm{\Phi }}}}{{dA}}\) und erlaubt im Gegensatz zum querschnittsabhängigen Fluss \(\Phi \) eine Exklusivaussage über die herrschende Feldstärke.
Magnetische Flussdichte B um einen stromdurchflossenen Leiter
Fließt durch einen unendlich langen geraden Leiter ein Strom der Stärke I, so ergibt sich der Betrag der magnetischen Flussdichte B im Abstand r vom Leiter wie folgt:
\(B = {\mu _0} \cdot \dfrac{1}{{2\pi r}} \cdot I\)
Die Feldlinien des Magnetfeldes verlaufen dabei in konzentrischen Kreisen senkrecht zum stromdurchflossenen Leiter.
Magnetische Flussdichte B im Inneren einer stromdurchflossenen Spule
\(\overrightarrow B = \dfrac{{n \cdot {\mu _0} \cdot I}}{{{l_{Spule}}}}\)
bzw. wenn die Spule einen Kern hat:
\(\overrightarrow B = \dfrac{{n \cdot {\mu _r} \cdot {\mu _0} \cdot I}}{{{l_{Spule}}}}\)
Tesla (T)
Das Tesla T ist die Einheit der magnetischen Flussdichte. Einem Tesla entspricht jene magnetische Flussdichte, die auf einen 1m langen Leiter, der von einem Strom von 1 A durchflossen wird, eine Kraft von 1 N ausübt. 1 T ist eine sehr große Einheit.
\(\left[ {1 \cdot T = 1 \cdot \dfrac{{V \cdot s}}{{{m^2}}} = 1 \cdot \dfrac{N}{{A \cdot m}} = 1 \cdot \dfrac{{Wb}}{{{m^2}}} = 1 \cdot \dfrac{{kg}}{{A \cdot {s^2}}}} \right]\)
- Das Erdmagnetfeld beträgt ca \(4 \cdot {10^{ - 5}}T\).
- In der Magnetresonanztomographie, einem bildgebenden Verfahren zur Darstellung der Gewebestruktur, erzeugt ein 34 Tonnen Magnet mit 270 Tonnen Eisen zur Abschirmung bis zu 7 Tesla.
Unterschied zwischen Induktion B und Induktivität L
Die magnetische Flussdichte B wird manchmal auch magnetische Induktion genannt. Da "Induktion" und "Induktivität" auf Grund der gemeinsamen ersten 7 Buchstaben sehr ähnlich klingen, sei hier auf den Unterschied hingewiesen.
- Magnetische Flussdichte B - sie wird auch magnetische Induktion genannt - ist ein Maß dafür, wie stark ein Magnetfeld ist. Ihre Einheit ist das Tesla.
- Induktivität L ist eine Eigenschaft einer Spule und hängt nur von deren geometrischer Bauform ab. Ihre Einheit ist das Henry.
Magnetischer Fluss Phi
Magnetische Fluss → Magnetostatik; Elektrische Fluss → Elektrostatik;
Allgemein bezeichnet man jedes Flächenintegral über eine Vektorgröße als Fluss. Der magnetische Fluss \(\Phi\) (sprich: “Phi“) mit der Einheit Weber, ist ein Maß dafür, wie viel Feld \(\overrightarrow B\) etwa aus dem N-Pol eines Magneten austritt. Er gibt die Gesamtzahl aller Feldlinien an, die von einer Spule erzeugt werden.
\(\begin{array}{l} \Phi = \int\limits_A {\overrightarrow B \,\,d\overrightarrow A } \\ \left[ \Phi \right] = Wb \end{array}\)
Der magnetische Fluss \(\Phi\) ist ein Skalar. Der magnetische Fluss ist nur für eine Fläche im Raum definiert, daher auch das Flächenintegral, nicht aber für jeden einzelnen Punkt im Raum. In der Praxis wird daher selten mit dem magnetischen Fluss, sondern mit der magnetischen Flussdichte B gearbeitet.
- Im inhomogenen Feld ergibt sich der magnetische Fluss \(\Phi\), wenn man die magnetische Flussdichte \(\overrightarrow B\) über den Querschnitt \(\overrightarrow A\) aufsummiert (aufintegriert).
- Im homogenen Feld ist der magnetische Fluss \(\Phi\) das „in-Produkt“ aus Felddichte \(\overrightarrow B\) und orientiertem Querschnitt \(\overrightarrow A\) gemäß: \(\Phi = \overrightarrow B \cdot \overrightarrow A \cdot \cos \left( {\angle \overrightarrow B ,\overrightarrow A } \right)\). Der magnetische Fluss hat sein Maximum wenn \(\overrightarrow B \parallel \overrightarrow A\)
Der magnetische Fluss \(\Phi\) ist - vergleichbar zur elektrischen Stromstärke I - die Wirkung einer magnetischen Spannung Um und fließt durch einen materialabhängigen magnetischen Widerstand Rm.
Nachfolgende Gleichung liefert den Zusammenhang zwischen magnetischem Fluss Phi und magnetischer Durchflutung Theta:
\(\Phi = \dfrac{{{U_m}}}{{{R_m}}} = \dfrac{\Theta }{{{R_m}}}\)
Magnetische Durchflutung Theta, zugleich magnetische Spannung Um
Die magnetische Durchflutung \(\Theta\) dient zur Berechnung einer, durch einen elektrischen Storm erzeugten, magnetischen Feldstärke.
\(\Theta = \sum\limits_k {{I_k}} = \int\limits_A {\overrightarrow S \,\,d\overrightarrow A } = {U_m}\)
Die magnetische Durchflutung einer Spule ergibt sich aus Strom mal Windungszahl.
\(\Theta = I \cdot n\)
Die Einheit der magnetischen Durchflutung ist das Ampere bzw. die Amperewindungen.
Eine Spule mit 600 Windungen übt bei einem Strom von 2A eine gleich große Kraft auf ein Eisenstück aus, wie eine Spule mit 1200 Windungen und einem Strom von 1A. Die Windungszahl n hat als Einheit 1.
Die magnetische Durchflutung \(\Theta \) bzw die magnetische Spannung, ist die Ursache für das Vorhandensein einer magnetischen Feldstärke H.
Der nachfolgende Zusammenhang wird Durchflutungssatz genannt und in der Mikro-Lerneinheit „Elektrodynamik“ näher besprochen
\(\Theta = {U_m} = \mathop \oint \limits_s \vec H{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} d\vec s = \mathop \smallint \limits_A \vec S{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} d\vec A = \mathop \sum \limits_k {I_k}\)
Zusammenhang elektrische Feldkonstante, magnetische Feldkonstante und Lichtgeschwindigkeit
Die Lichtgeschwindigkeit verknüpft die elektrischer Feldkonstante und magnetischer Feldkonstante wie folgt:
\({c_0} = \dfrac{1}{{\sqrt {{\varepsilon _0} \cdot {\mu _0}} }}\)
Magnetische Feldkonstante Mü
Magnetische Feldkonstante → Magnetostatik; Elektrische Feldkonstante → Elektrostatik;
Unterschiedliche Materialien haben eine unterschiedliche Durchlässigkeit für magnetische Felder. Das Maß dafür ist die magnetische Feldkonstante bzw. Permeabilität \({\mu}\). Die magnetische Durchlässigkeit eines Stoffs \({\mu}\) (sprich: „Mü“), ist das Produkt aus der magnetischen Feldkonstante die im Vakuum gilt \({\mu _0}\) und einem materialspezifischen dimensionslosen Faktor \({\mu _r}\)
Für Luft ist \({\mu _r} \approx 1\). Luft und Vakuum leiten daher sehr schlecht. Ferromagnetische Stoffe hingegen haben eine hohe magnetische Durchlässigkeit \({\mu _{r,\,Fe}} \approx 200\). D.h. die magnetischen Kraftlinien schließen sich bevorzugt über Eisenwege und nur kleine Streuanteile gehen über Luft. Die magnetische Leitfähigkeit von CU: \({\mu _{r,\,Cu}} \approx 1\)
\(\eqalign{ & \mu = {\mu _r} \cdot {\mu _0} \cr & \left[ \mu \right] = \dfrac{{Vs}}{{Am}} \cr & \left[ {{\mu _r}} \right] = 1 \cr & {\mu _0} = \dfrac{1}{{{\varepsilon _0} \cdot {c^2}}} = 4 \cdot \pi \cdot {10^{ - 7}}\dfrac{{Vs}}{{Am}} \cr} \)
Materialien unterscheiden sich erheblich bezüglich ihrer relativen Permeabilität. Diamagnetische Stoffe besitzen eine relative Permeabilität zwischen 0 und 1. Ein Supraleiter 1. Art verdrängt ein von außen vorhandenes Magnetfeld vollständig aus seinem Inneren und hat daher \({\mu _{r,Supraleiter}} = 0\). Für Wasser und Luft gilt: \({\mu _{r,H2O}} = 0,999991;\,\,\,\,\,{\mu _{r,Luft}} = 1,0000004\). Für Eisen gilt der Bereich \({\mu _{r,Eisen}} \approx 300...10000\). Für amorphe oder nanokristalline Metalle liegt die relative Permeabilität bei Werten bis einige Hundertausend.
Um eine bestimmte magnetische Induktion L etwa in Eisen hervorzurufen, bedarf es zufolge \(\overrightarrow B = \mu \cdot \overrightarrow H\) einer weit geringeren magnetischen Feldstärke \( \overrightarrow H\) , als etwa für die gleiche magnetische Induktion L in Luft erforderlich wäre. Wenn allerdings im Eisen alle Elementarmagnete ausgerichtet sind, d.h. im Bereich sehr hoher Sättigung, ist die Zunahme der magnetischen Flussdichte \(\overrightarrow B\) bei weiterer Steigerung der äußeren magnetischen Feldstärke \(\overrightarrow H\) schließlich nicht mehr größer als in Luft.
Rechnenbeispiel zum Zusammenhang: magn. Durchflutung, magn. Feldstärke und magn. Flussdichte
Eine Spule mit n=5000 Windungen wird von einem Strom I=10mA durchflossen.
1. Teilaufgabe
Wie groß ist die magnetische Durchflutung der Spule?
\(\Theta = \sum\limits_k {{I_k}} \)
\(\Theta = I \cdot n = \left( {10 \cdot {{10}^{ - 3}}} \right) \cdot \left( {5 \cdot {{10}^3}} \right) = 50A\)
Die Länge einer mittleren Feldlinie beträgt 20cm.
2. Teilaufgabe
Wie groß ist die magnetische Feldstärke?
\(H = \dfrac{\Theta }{{{l_{Mittel}}}} = \dfrac{{50A}}{{0,2m}} = 250\frac{A}{m}\)
Bei der Spule handle es sich um eine Luftspule mit \({\mu _r} = 1\)
3. Teilaufgabe
Wie groß ist die magnetische Flussdichte?
\(B = {\mu _0} \cdot {\mu _r} \cdot H = 4 \cdot \pi \cdot {10^{ - 7}} \cdot 1 \cdot 250 \approx 0,314mT\)
In die Luftspule wird ein Eisenkern mit \({\mu _r} = 6000\) eingebracht.
4. Teilaufgabe
Wie groß ist die magnetische Flussdichte?
\(B = {\mu _0} \cdot {\mu _r} \cdot H = 4 \cdot \pi \cdot {10^{ - 7}} \cdot 6000 \cdot 250 \approx 1,885T\)
CMOS-Sensoren
Bei Kamerasensoren unterscheidet man nach deren Abmessungen, der Anzahl der Pixel und der Funktionsweise bei der Bilddatenverarbeitung.
Abmessungen des Fotosensors
- Kleinbildfilmformat
Als man noch mit Filmmaterial fotografierte, betrugen die Abmessungen eines Negativs oder Dias 36 x 24 mm, was man als Kleinbildformat bezeichnete. Eine Sensorgröße von 36 x 24 mm wird heute als Vollformat bezeichnet. - Vollformat-Sensoren
Für professionelle Spiegelreflex und spiegellose Kleinbildkameras, ist man bei einer Sensorfläche von 36 x 24 mm bei einem Seitenverhältnis von 3:2 geblieben. - APS-C-Sensoren
Als elektronische Sensoren Anfang der Jahrtausendwende noch schwer herzustellen und teuer waren, hat man kleinere als die Vollformat-Sensoren, die sogenannten APS-C Sensoren, mit 25,1 x 16,7 mm bzw. 22,2 x 14,8 mm hergestellt. Diese Sensortypen haben das klassische Seitenverhältnis von 3:2. - Cropfaktor
Ein Vollformat-Sensor ist somit 63% oder 1,6-mal so groß als ein APS-C Sensor. Der Faktor 1,6 wird als Cropfaktor bezeichnet. Mit diesem Cropfaktor von 1,6 muss man die Brennweite eines Objektivs, welches für Vollformat-Sensoren gebaut wurde, multiplizieren, um auf die effektive Brennweite dieses Objektivs beim Einsatz mit einem APS-C Sensor zu kommen. Diese Brennweitenverlängerung ist bei Wildlife und Action-Fotografie von Vorteil, aber bei Architektur und Innenraum-Fotografie von Nachteil, weil dort der Bildwinkel zu klein wird, um nahe Objekte vollständig fotografieren zu können.
Sensorgrößen
Benchmark: Für einen 4k Monitor benötigt man 8,3 Megapixel, für einen 8k Monitor benötigt man 33 Megapixel
53,4 x 40 mm → 14.204 x 10.652 → 150 Megapixel | Mittelformat (Phase One, Hasselblad), Dynamikumfang: 15 EV |
36 x 24 mm → 8.192 x 5.464 → 45 Megapixel | Vollformat (Landschaft), Dynamikumfang: 10 EV |
36 x 24 mm → 6.000 x 4.000 → 24 Megapixel | Vollformat (Sport), Dynamikumfang: 13 EV |
22,2 x 14,8 mm | APS-C(Canon) |
17,3 x 13,0 mm | Micro Four Thirds |
12,8 x 9,6 mm | 1'' |
10,67 x 8 mm | 1/1,2'' |
9,85 x 7,4 → 16.384 x 12.288 → 200 Megapixel durch Pixel-Binning 50 Megapixel |
1/1,3 (Samsung Galaxy S23 Ultra, Weitwinkel) |
9,8 x 7,3 mm → 48 Megapixel | 1/1,31 (iPhone 14 Pro) |
8,8 x 6,6 mm | 2/3'' |
6,17 x 4,55 mm → 12 Megapixel | 1/2,3'' (Olympus Tough TG-6) |
4,5 x 3,4 | 1/3,2'' |
Pixelzahl bzw. Bildauflösung
Je mehr Pixel auf dem Sensor verbaut sind, umso größer kann ein Ausdruck werden, wenn man für einen qualitativ hochwertigen Druck 300 PPI zugrunde legt. Eine höhere Pixelzahl erlaubt auch mehr Freiheiten bei der Wahl des Bildausschnitts in der Nachbearbeitung, ohne Qualitätseinbuße.
Heute werden Bilder zunehmend auf TV-Geräten und PC-Monitoren betrachtet. Mit dem Ersatz von heute veralteten TV-Geräten mit Bildröhre im 4:3 Format, durch elektronische Bildschirme in Full-HD-Auflösung mit 1920x1080 Pixel setzte sich das Breitbildformat 16:9 im Wohnzimmer durch. Diesem folgten das UHD und das 8k-Format. Die nachfolgende Tabelle zeigt, dass selbst für einen High-End-8k-Bildschirm 33M Pixel ausreichend für eine 1:1 Pixelabbildung sind. Mit 24 M Pixel schafft man eine 6k-Auflösung und mit 8,3 M-Pixel eine UHD-Auflösung.
720 x 576 Pixel & Seitenverhältnis 4:3 |
SD-TV-Format, veraltet |
1920 x 1080 Pixel & Seitenverhältnis 16:9 |
Full-HD-TV-Format, 2M-Pixel pro Bild |
3840 x 2160 Pixel & Seitenverhältnis 16:9 |
4k-UHD-Format, 8,3M-Pixel pro Bild |
7680 x 4320 Pixel & Seitenverhältnis 16:9 | 8k-Format, 33 M-Pixel pro Bild |
Entscheidend für die Qualität, die ein Sensor liefert, ist aber nicht nur die Anzahl an Megapixel, sondern auch die Fläche, die pro Pixel am Sensor zur Verfügung steht. So haben etwa 33 Megapixel auf einem Vollformat Sensor mit 36 x 24 mm Abmessung 56-mal mehr Platz, als auf einem Handysensor von 4,5 x 3,4 mm Abmessung und können auch 56-mal mehr Licht aufsammeln. Dadurch muss bei schwacher Beleuchtung das Nutzsignal auch wesentlich weniger stark elektronisch verstärkt werden, wodurch es zu weniger Bildrauschen und einer höheren Bildqualität kommt, die dann deutlich sichtbar wird, wenn man das Handybild und das Kamerabild auf einem großen Bildschirm betrachtet.
Bilddatenerfassung mit analogem Film
Analoge Filme zeichnen das Bild mit Hilfe von Silberhalogenid-Kristallen auf. Abhängig von Größe und chemischer Zusammensetzung dieser Kristalle, resultiert eine Filmempfindlichkeit, die als ISO-Wert angegeben wird. Je höher der ISO-Wert, umso weniger Licht ist erforderlich, um den Film korrekt zu belichten.
Der ISO-Wert ist ein Maß dafür wie stark das Bild aufgehellt werden soll. Erhöht sich der ISO-Wert um eine Stufe, so wird doppelt so stark aufgehellt, bzw es muss nur halb so viel Licht auf den Sensor fallen.
- Einer Verdoppelung der ISO-Zahl entspricht eine Verdoppelung der Lichtempfindlichkeit und somit reicht bei gleicher Blende die halbe Belichtungszeit für eine korrekte Belichtung. Die ISO-Reihe im Abstand von einem Lichtwert lautet: 25, 50, 100, 200, 400, 800, 1.600, 3.200, 6.400, 12.800
Filme haben 12, 24 oder 36 Bilder, man muss den Film ausknipsen, um einen weiteren Film mit einer anderen ISO-Empfindlichkeit einlegen zu können.
- ISO 25 ist ein Film mit sehr feinem Korn, etwa für einen Badetag am Strand.
- ISO 100 einer für bewölkte Tage.
- ISO 400 ist ein grobkörniger Film für bewölkte Tage mit wenig Licht und
- ISO 800 ist ein Film mit sichtbarem Korn für Innenaufnahmen ohne Blitz
- ISO > 800: Bestimmte Filme eignen sich für eine Unterbelichtung während der Aufnahme (Pushen) und erfordern dann eine forcierte Entwicklung im Fotolabor, um die Unterbelichtung wieder auszugleichen. Dadurch kann man mit einer kürzeren Belichtungszeit fotografieren, was vor allem dann Sinn macht, wenn man deshalb ohne Stativ verwacklungsfrei fotografieren kann. Dieser Trick wirkt sich aber sichtbar auf die Bildqualität in Form von starken Kontrasten aus.
Der ISO-Wert des Sensors einer Digitalkamera kann, im Unterschied zum analogen Film- oder Dia-Material, für jedes Bild neu gewählt werden. Moderne Kameras decken dabei den Wertebereich von ISO 50 bis ISO 204.800 ab, wodurch sie praktisch zu Nachtsichtgeräten werden.
Bilddatenerfassung mit digitalem Fotosensor
Kamerasensoren
Kamerasensoren zeichnen ein Abbild vom Motiv mit Hilfe von lichtempfindlichen Halbleiterbauelementen auf. Dabei kommen zwei Kategorien von Sensoren zum Einsatz:
- CCD-Sensoren (Charge Coupled Device)
- CMOS-Technik (Complementary Metal-Oxide Semiconductor)
Kamerasensoren arbeiten grundsätzlich analog, da sie die Photonen des einfallenden Lichts in einen Strom aus Elektronen umwandeln. Erst ein nachgeschalteter Analog-Digital-Wandler erzeugt mittels eines Kondensators aus dem Strom eine Spannung und gibt diesen analogen Eingangswert an seinem Ausgang als einen Digitalwert der Helligkeit aus.
In jedem Pixel des Fotosensors werden durch den Inneren Photoelektrischen Effekt im Idealfall ein Photon in eine elektrische Ladung (Elektron) umgewandelt. Der Innere Photoelektrische Effekt besagt, dass Elektronen in einem Metall aus dem Valenzband in das Leitungsband angehoben werden, wenn die Energie des einstrahlenden Photons hf größer ist als die Bindungsenergie EB des Elektrons. Dabei wird durch den Photonenbeschuß aus stationär in der Atomhülle gebundenen Elektronen ein aus frei fließenden Elektronen bestehender elektrischer Gleichstrom.
Quanteneffizienz
Die Quanteneffizienz QE ist eine Kennzahl für das reale Verhältnis zwischen den eintreffenden Photonen und dem durch den Inneren Photoelektrischen Effekt erzeugten Elektronen. Wenn 6 Photonen zusammen 3 Elektronen erzeugen, dann gilt QE=50%. Ist der QE-Wert hoch, verbessert sich des Signal to Noise Ratio von Sensoren und in dunkeln Bildteilen entsteht eine bessere Detailzeichnung.
Belichtung (Exposure)
Die Belichtung, das ist die Lichtdichte welche auf den Sensor fällt, wird kameraseitig ausschließlich durch die gewählte Blende (Lichtintensität) und die gewählte Belichtungszeit (Dauer der Einwirkung der Photonen auf die Photodiode) bestimmt.
Der Sensor erfasst dieses Licht und führt es einer Signalverarbeitung zu. Die Empfindlichkeit des Sensors ist physikalisch bedingt, und kann nicht durch Kameraeinstellungen beeinflusst werden. In der analogen Fotografie musste man auch den Film wechseln, um eine andere Lichtempfindlichkeit zu erhalten.
Photodiode
Um der Photodiode im Sensor maximal viel Licht zuzuführen, befindet sich unter dem Infrarot Sperrfilter und einem Tiefpass-Filtern und über jedem Pixel eine Mikrolinse zur Bündelung des einfallenden Lichts, die heutzutage lückenlos aneinandergereiht sind (gapless microlenses).
- Front-Side-Illuminated-Sensor: Bei FSI befindet sich unter dem Bayer-Filter auf derselben Fläche zum einen die Verdrahtung, die erforderlich ist, um den Elektronenfluss zum A/D-Wandler zu ermöglichen und zum anderen die zugehörige Photodiode. Beim FSI-Sensor verläuft die Verdrahtung zwischen den Photodioden und nimmt diesen Platz weg, da Verdrahtung und Diode in der selben Ebene liegen.
- Back-Illuminated-Sensor: Beim BSI befindet sich unter dem Bayer-Filter zuerst die Schicht mit den Photodioden, welche die ganze Fläche ausfüllen können und erst darunter in einer weiteren Schicht die Verdrahtung, was die Empfindlichkeit des BSI-Sensors gegenüber dem FSI-Sensor verdoppelt, da die Verdrahtung der Photodiode keinen Platz wegnimmt.
- Stacked-Sensor: Um die Auslesegeschwindigkeit je Photodiode massiv zu vergrößern, wird bei Stacked-Sensoren (das ist ein in die Höhe gestapelter Sensor) nach der Verdrahtung in einer weiteren Ebene ein DRAM-Speicher je Pixel vorgesehen. Zudem liegen die A/D-Wander nicht außerhalb der lichtempfindlichen Fläche am Rand des Sensors, sondern in einer weiteren Schicht direkt unterhalb der Photodioden.
ISO-Wert (Bildaufhellungs-Wert)
Der gewählte ISO-Wert (Bildaufhellungs-Wert) wirkt sich natürlich nicht auf die Quanteneffizienz QE des einzelnen Pixels aus, sondern er dient der nachträglichen Anpassung der Helligkeit zufolge der gewählten Belichtung, an die vom Auge erwartete Helligkeit im endgültig betrachteten Bild (JPEG, HEIF, TIFF). Der ISO-Wert ist daher der Zusammenhang zwischen der Belichtung des Sensors und der Helligkeit des finalen Bildes. Der ISO-Wert entspricht einer Bildaufhellung, egal ob diese durch analoge Verstärkung vor dem A/D-Wandler oder durch die anschließende digitale Verarbeitung erfolgt.
Dynamik
Während der Belichtung muss eine Mindestanzahl an Photonen auf der lichtempfindlichen Sensorschicht auftreffen, damit die Kamera das Nutzsignal vom Störsignal unterscheiden kann. Je weniger Photonen erforderlich sind, damit das Signal to Noise Ration SNR größer als 1 wird, umso lichtempfindlicher ist der Sensor.
Treffen hingegen zu viele Photonen die lichtempfindliche Sensorschicht, so geht diese in Sättigung und es werden keine zusätzlichen elektrischen Ladungen freigesetzt.
Der Bereich zwischen der mindestens erforderlichen und der maximal zulässigen Photonenanzahl bestimmt die Dynamik des Sensors. Sensoren mit einer hohen Dynamik liefern über die Sensorfläche verteilt, sowohl in dunklen als auch in hellen Bildbereichen detaillierte Bildinformationen.
Analog-Digital-Wandler
Der Analog-Digital-Wandler im Kamerasensor wandelt - die der Anzahl der dedektierten Photonen proportionale Spannung - in einen digitalen Helligkeitswert um. Bei einem analogen Signal, welches während der Digitalisierung konstant bleibt, bestimmt allein die Bittiefe die Qualität des A/D-Wandlers. Ändert sich das analoge Signal mit der Zeit, etwa bei den Einzelbildern eines Videos oder einer Serienaufnahme mit x-Fotos pro Sekunde, so bestimmt auch die Abtastrate, also die Häufigkeit, mit der das analoge Signal abgetastet werden kann, die Qualität des A/D-Wandlers bzw. die Anzahl der Raw-Dateien, die pro Sekunde dem Digitalen Signalprozessor zugeführt und folglich abgespeichert werden können.
Vor der Belichtung werden die elektrischen Kreise des Sensors entladen. Während der Belichtung ändert sich die elektrische Ladung für jedes einzelne Pixel im Sensor proportional zur auftreffenden Lichtmenge, bildlich gesprochen, proportional zur Anzahl der auftreffenden Photonen.
Diese Ladung je Pixel wird in einem Gleichstromkreis mittels eines Kondensators in eine – natürlich analoge, was sonst - Spannung umgewandelt, je nach der gewählten ISO-Einstellung mehr oder weniger analog verstärkt, einem Analog-Digital-Wandler zugeführt.
Der A/D-Wandler soll die Digitalisierung mit möglichst hoher Geschwindigkeit durchführen, um eine hohe Serienbildfrequenz und eine hohe Framezahl bei Videoaufnahmen und für das elektronische Sucherbild zu ermöglichen. Ein Sensor mit 24 Megapixel beinhaltet 6.000 Pixel je Reihe, für die es je einen eigenen, also in Summe 6000, A/D Wandler gibt. D.h. alle 6.000 Spalten werden zeitgleich digitalisiert.
Die 4.000 Reihen werden hingegen zeitlich gestaffelt, also nacheinander digitalisiert. Dabei vergehen bis zu 0,05 Sekunden bzw. 1/20 Sekunde, ehe alle Pixel zwischen der ersten und der letzten Zeile des Sensors ausgelesen sind. Das reicht nicht für ein 6k-Video mit 60 Bildern pro Sekunde. Daher muss man unterhalb von jedem Pixel einen DRAM-Speicher vorsehen, was die Bauform eines Stacked-Sensors erfordert. Der A/D-Wandler speichert die Daten nach einer Vorverarbeitung über einen schnellen Schreibzugriff in den DRAM-Speicher, von wo aus sie mit der für den nachgeschalteten Digitalen Signalprozessor idealen Lesegeschwindigkeit weitergereicht werden. Dadurch kann die Auslesezeit für alle Pixel des Sensors auf 1/120 Sekunde reduziert werden. Der nächste technologische Schritt wäre ein A/D-Wandler pro Pixel.
Digitaler Signalprozessor
Letztlich wird für jedes Pixel der digitale 14-Bit-Wert zusammen mit der Zeilen- und Spaltenkennung des jeweiligen Pixels aus dem AD-Wandler in Form eines Zahlenwerts, welcher für die Anzahl der Photonen und damit für den Helligkeitswert – die Luminanz - des jeweiligen Pixels steht, einem DSP Digitalen Signalprozessor zugeführt. Dabei wird die Anzahl der detektierten Photonen linear in einen Zahlenwert umgerechnet. Der DSP speichert diesen Luminanzwert für jedes Pixel einzeln in Form von Bits und Bytes als Camera-RAW-Datei auf eine Speicherkarte. Bei einer 14-Bit Camera-RAW-Datei kann man also pro Pixel 16.385 Grauwerte unterscheiden. In der Camera-RAW-Datei wird auch der gewählte ISO-Wert hinterlegt. Der Digitale Signalprozessor ist neben der oben beschriebenen Bilddatenverrechnung auch noch für Kamerasteuerungsfunktionen wie Belichtungsmessung, Autofokus, automatischer Weißabgleich usw. zuständig.
Sensor-Rauschen
Die analoge Verstärkung der Spannung vor dem AD-Wandler hat den Nachteil, dass ISO-abhängig, auch das im Signal enthaltene, im Sensor erzeugte Rauschen (Upstream Noise, Shot-Rauschen, Photonen-Rauschen) verstärkt wird.
ISO-invarianter Sensor
Bei einem ISO-invarianten Sensor wird nicht die analoge Spannung, samt dem darin enthaltenen Rauschen verstärkt, sondern die Spannung wird unverstärkt dem Analog-Digital-Wandler zugeführt.
Erst nach der Digitalisierung wird der eingestellte ISO-Wert für die Anzeige der JPEG-Fotovorschau samt dem damit verbundenen Histogramm verwendet. Beim ISO-invarianten Sensor gibt es zwei Möglichkeiten der Belichtungsverstärkung:
- Kameraextern: Der ISO-Wert wird in die RAW-Datei geschrieben, und dient kameraextern als Startwert für die Bildbearbeitung.
- Kameraintern: Der ISO-Wert wird kameraintern im DSP berücksichtigt und die angepassten Helligkeitswerte in die RAW-Datei geschrieben. Das hat den Vorteil, dass der Sensorhersteller (z.B.: Canon) die Eigenheiten seines Sensors besser kennt und berücksichtigen kann als der Hersteller eines RAW-Konverters (z.B.: Adobe), der dutzende Sensoren emulieren muss.
Moderne Kameras decken dabei den Wertebereich von ISO 50 bis ISO 204.800 ab, wodurch sie praktisch zu Nachtsichtgeräten werden.
Druck p
Der Druck p ist definiert als Quotient einer senkrecht auf eine Fläche wirkenden Kraft F und dem Flächeninhalt A der Fläche.
\(\overrightarrow p = \dfrac{{\overrightarrow F }}{A}\)
Pascal
Die Einheit vom Druck ist Newton pro Quadratmeter oder Pascal. 1 Pascal ist der Druck, den eine Kraft von 1 Newton auf eine Fläche von einem Quadratmeter ausübt. 1 Pascal ist ein sehr kleiner Wert, der dem Druck einer Masse von 0,1 kg gleichmäßig auf eine Fläche von einem Quadratmeter verteilt entspricht.
\({\text{Einheit: }}1\dfrac{N}{{{m^2}}} = 1Pa\)
Atmosphärischer Luftdruck
Der Luftdruck ist jener Druck der zufolge der Masse der atmosphärischen Luft unter Einwirkung der Erdanziehungskraft auf eine horizontale Flächeneinheit ausgeübt wird. Heute wird der Luftdruck in hPa (Hektopascal) angegeben, früher verwendete man Bar als Einheit. Der mittlere Luftdruck der Atmosphäre auf Meereshöhe beträgt 1013 hPa oder entsprechend 1,013 bar.
\(\eqalign{ & {\text{1 }}hPa{\text{ = 100 }}Pa{\text{ = 1}}mbar \cr & {\text{1}}Pa{\text{ = 1}} \cdot {\text{1}}{{\text{0}}^{ - 5}}bar = 1\dfrac{{kg}}{{m \cdot {s^2}}} \cr & {\text{1 }}bar{\text{ = 1}} \cdot {\text{1}}{{\text{0}}^5}\dfrac{{kg}}{{m \cdot {s^2}}} \cr}\)
Hydrostatischer Druck
Der hydrostatischer Druck ist der Druck zufolge der Wassersäule über einem Körper.
\(p = \rho gh\)
\({\text{hydrostatischer Druck = Dichte}} \cdot {\text{Erdbeschleunigung}} \cdot {\text{Höhe}}\)
\( {\text{Einheit: }}1\dfrac{N}{{{m^2}}} = 1Pa\)
Umrechnung: \({10^5}Pa = 100.000Pa = 1bar\)
Aber Achtung: Der Druck auf die Lunge eines Tauchers ist die Summe aus dem tiefenabhängigen hydrostatischem Druck (ca. 1 bar pro 10 m Tiefe) plus dem (annähernd) konstantem Luftdruck (1 bar) der seinerseits auf das Wasser drückt. D.h. in 10m Tiefe herrscht ein Druck von 1+1=2 Bar, in 40m Tiefe herrscht ein Druck von 1+4=5 Bar
Spezifischer elektrischer Widerstand bzw. ohmscher Widerstand
Der spezifische elektrische Widerstand \(\rho\) gibt für ein bestimmtes Material an, wie groß dessen Widerstand R bei 1m Leitungslänge l und einem Leiterquerschnitt A von 1 mm² ist. Mit Hilfe des materialabhängigen spezifischen Widerstands kann man den ohmschen elektrischen Widerstand bei bekannter Leitergeometrie (Länge, Querschnitt) berechnen.
Innerhalb begrenzter Temperaturbereiche ändert sich der spezifische elektrische Widerstand linear mit der Temperatur, wobei man zwischen Kalt- und Heißleitern unterscheidet. Reine Metalle sind Kaltleiter, d.h. sie haben einen positiven Temperaturkoeffizienten, der zwischen 0,09% und 0,6% beträgt. D.h. ihr spezifischer und somit ihr ohmscher Widerstand steigen bei zunehmender Temperatur an.
\(R = \dfrac{{\rho \cdot l}}{A} = \dfrac{l}{{\kappa \cdot A}}\)
R | ohmscher Widerstand in "Ohm" \(\Omega\) |
G | elektrischer Leitwert mit der Einheit Siemens S |
\(\rho\) | spezifischer elektrischer Widerstand "Rho" in \(\dfrac{{\Omega \cdot m{m^2}}}{m}\) |
l | Länge der Leitung in m |
A | Querschnitt der Leitung in mm2 |
\(\kappa\) | spezifischer Leitwert "Kappa" oder elektrische Leitfähigkeit \(\dfrac{m}{{\Omega \cdot mm^2}}\) |
Elektrischer Leitwert
Der elektrische Leitwert entspricht dem Kehrwert vom elektrischen Widerstand. Ein Leiter welcher elektrischen Strom gut leitet, hat einen hohen Leitwert bzw. einen niederen Widerstand.
\(G = \dfrac{1}{R}\)
Elektrische Leitfähigkeit
Die elektrische Leitfähigkeit ist ein materialspezifisches Maß für die Eignung zum Leiten von elektrischem Strom. Man unterscheidet nach Leitern (Metalle), nach Nichtleitern (Isolatoren) und nach Halbleitern (äußere Einflüsse entscheiden ob das Material leitet oder nicht leitet)
\(\kappa = \dfrac{1}{\rho }\)
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Parallelschaltung von Widerständen im Wechselstromkreis
Eine Parallelschaltung von Impedanzen liegt vor, wenn alle Impedanzen an der gleichen Spannung U hängen.
Bei der Parallelschaltung von Impedanzen
- liegt an allen Impedanzen die gleiche Spannung an, dessen Spannungszeiger man in die x-Achse mit φ = 0° legt
- Der Strom am kapazitiven Blindwiderstand hat einen Phasenwinkel von φ = +90°
- Der Strom am induktiven Blindwiderstand hat den Phasenwinkel von φ = -90°
- Die Summenstrom an einer RLC Parallelschaltung ist bei +φ überwiegend kapazitiv, bei -φ überwiegend induktiv. Für einer charakteristischen Frequenz, der Resonanzfrequenz, heben sich die beiden Blindwiderstände auf und es wirkt einzig der ohmsche Anteil. Dann sind Strom und Spannung in Phase.
- ist der Gesamtadmittanz Y gleich der Summe der Einzeladmittanzen Y
\({\underline Y _{ges}} = {\underline Y _1} + {\underline Y _2} + ... + {\underline Y _n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\underline Y }_i}} \) - errechnet sich die Gesamtimpedanz zu
\({\underline Z _{ges}} = \dfrac{1}{{{{\underline Y }_{ges}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{{\underline Z }_1}}} + \dfrac{1}{{{{\underline Z }_2}}} + ... + \dfrac{1}{{{{\underline Z }_n}}}}}\) - ergibt die Summe aller Teilströme Ii den Summenstrom Iges
\({\underline I _{ges}} = {\underline I _1} + {\underline I _2} + ... + {\underline I _n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\underline I }_i}} \)
Parallelersatzschaltung bei gegebenem Strom, Spannung und Phasenwinkel im Wechselstromkreis
Hat man Strom, Spannung und Phasenwinkel im Wechselstromkreis gegeben, so errechnen sich der Wirk- und der Blindwiderstand einer Parallel-Ersatzschaltung wie folgt:
\(\eqalign{ & U,I,{\varphi _Z} \cr & {R_\parallel } = \dfrac{U}{{I \cdot \cos {\varphi _Z}}} \cr & {X_\parallel } = \dfrac{U}{{I \cdot \sin {\varphi _Z}}} \cr}\)
Stromteiler im Wechselstromkreis
Eine Parallelschaltung von Widerständen entspricht einem Stromteiler.Die Stromstärke im betrachteten k-ten Zweig ergibt sich aus dem Gesamtstrom mal Admittanz des k-ten Zweiges dividiert durch die Summe aller Admittanzen
\({\underline I _k} = {\underline I _{ges}} \cdot \dfrac{{{{\underline Y }_k}}}{{{{\underline Y }_1} + \underline {{Y_2} + ... + {{\underline Y }_n}} }}\)
für n=2
\({\underline I _1} = \underline I \cdot \dfrac{{{{\underline Z }_2}}}{{{{\underline Z }_1} + {{\underline Z }_2}}}\)
Umformung gemäß:
\(\eqalign{ & {I_1} = {I_{ges}} \cdot \dfrac{{{Y_1}}}{{{Y_1} + {y_2}}} = {I_{ges}} \cdot \dfrac{{\dfrac{1}{{{Z_1}}}}}{{\dfrac{1}{{{Z_1}}} + \dfrac{1}{{{Z_2}}}}} \cdot \dfrac{{{Z_1}}}{{{Z_1}}} = {I_{ges}} \cdot \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{{Z_1}}}{{{Z_2}}}}} \cdot \dfrac{{{Z_2}}}{{{Z_2}}} = \cr & = {I_{ges}} \cdot \dfrac{{{Z_2}}}{{{Z_1} + {Z_2}}} \cr} \)
Higgs Mechanismus
(Nur) Teilchen die den schwachen Isospin als Ladung tragen, koppeln neben der schwachen Wechselwirkung noch an ein weiteres Feld - Higgs Feld - genannt an. Sie tun dies durch den Austausch von Higgs Bosonen.
Quantenfeld | Higgs-Feld |
Austauschteilchen Quant | massetragendes Higgs Boson (trägt selbst den schwachen Isospin) |
Ladung | Schwacher Isospin (up, down) |
Spin (Eigendrehimpuls des Quants) | s=0 - skalares Boson |
Reichweite | Im ganzen Universum, dünnt nicht aus, nicht abschirmbar |
Masse | m=125 GeV/c2 |
Relative Stärke (im Vergleich zur starken WW) | |
wirkt auf | Quarks und Leptonen sowie W, Z und Higgs Bosonen |
Kraft | "erzeugt" Ruhemasse - "bremst" Elementarteilchen auf v < c0 |
Theorie | Elektroschwache Theorie |
Mol
Während in der Physik mit Masse gerechnet wird, wird in der Chemie mit der Stoffmenge n gerechnet. Das Mol ist ein Maß für die Stoffmenge. Ein Mol enthält immer \(6,022 \cdot {10^{23}}\) gleichartige Teilchen. Ein Mol ist jene Stoffmenge, die gleichviele elementare Teilchen (Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen,... ) enthält wie in 12 g des Kohlenstoff Isotops C-12 enthalten sind. Jedes C-12 Atom besteht aus 6 Neutronen, 6 Protonen und 6 Elektronen.
\(Mol = 6,022 \cdot {10^{23}}{\text{ Teilchen}}\)
Satz von Avogadro
Der Satz von Abogadro besagt, dass gleiche Volumina idealer Gase bei gleichem Druck und gleicher Temperatur gleich viele Gasteilchen enthalten, unabhängig von deren Art, Größe oder Masse.
Avogadro Konstante NA
Die Avogadro Konstante NA gibt die Anzahl der Teilchen N pro Stoffmenge n an. Die Stoffmenge n
\({N_A} = \dfrac{N}{n} = 6,022 \cdot {10^{23}}\dfrac{1}{{mol}}\)
Molare Masse M
Die molare Masse M ist der Quotient aus der Masse m eines Stoffs und der Stoffmenge n dieses Stoffs. Achtung, bei der molaren Masse handelt es sich nicht um eine "Masse" im physikalischen Sinn, sondern um eine Stoffkonstante mit der Dimension g/mol! Der Zahlenwert der Masse mM von 1 Mol in Gramm, das entspricht \(6,022 \cdot {10^{23}}\) Teilchen eines Stoffs, ist gleich dem Zahlenwert der Atommasse der Atome (Molekülmasse der Moleküle) des selben Stoffs in der atomaren Masseneinheit u
\(\begin{array}{l} M = \dfrac{m}{n} = {N_A} \cdot {m_M}\\ 1 \cdot u \cdot {N_A} = 1 \cdot \dfrac{{kg}}{{mol}} \end{array} \)
Aufgaben
Aufgabe 221
Leistungsberechnung im Wechselstromkreis
Berechne für \(u\left( t \right) = U \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)\) und für \(i\left( t \right) = I \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)\) den Wirk- und den Blindleistungsanteil und interpretiere deren Mittelwerte.
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Aufgabe 245
Fourier Analyse einer \(2\pi \) periodischen Rechteckspannung
Gegeben ist folgende Rechteckspannung
\(u\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { + U\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,0 < t < \dfrac{T}{2}}\\ { - U\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,\dfrac{T}{2} < t < T} \end{array}} \right.\)
Aufgabenstellung:
Ermittle für obige Rechteckspannung die zugehörige Fourierreihe
Aufgabe 255
In einem Einfamilienhaus soll der Bezug von Strom und Gas aus dem öffentlichen Netz durch den Einsatz von Wärmepumpen und Photovoltaikanlagen reduziert werden.
1. Teilaufgabe:
Die spezifische Wärmekapazität von flüssigem Wasser beträgt \(4,190\dfrac{{kJ}}{{kg \cdot K}}\). Es soll ein 270 Liter Brauchwasserboiler eingesetzt werden. Das zufließende Wasser aus der öffentlichen Wasserleitung hat eine Temperatur von 7°C, das Brauchwasser (Abwasch, Dusche, Bad,...) soll 45°C haben.
Berechne, wie viel Energie in kWh pro Jahr erforderlich sind, um das Wasser zu erwärmen.
2. Teilaufgabe:
- Eine kWh Gas kostet inkl. MWST 4,8374 Cent bzw. 0,0484 €.
- Eine kWh Nachtstrom kostet inkl. MWST 14,21 Cent bzw. 0,1421 €
- Eine kWh Tagstrom kostet inkl. MWST 17,20 Cent bzw. 0,1720 €
Berechne die jährlichen Energiekosten des Brauchwasserboilers für jede der 3 Heizformen.
3. Teilaufgabe:
An dem Brauchwasserboilder soll eine Luft-Luft Wärmepumpe angebracht werden, die dem Raum Wärme entzieht und damit das Brauchwasser erwärmt. Die Brauchwasser-Wärmepumpe hat einen Effizienzfaktor COP = 3. D.h. sie nimmt 500 W elektrische Leistung aus dem Stromnetz auf und erzeugt 1.500 Heizleistung.
Berechne die jährlichen Stromkosten für den Betriev der Brauchwasser-Wärmepumpe.