Aufgabe 245
Fourier Analyse einer \(2\pi \) periodischen Rechteckspannung
Gegeben ist folgende Rechteckspannung
\(u\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { + U\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,0 < t < \dfrac{T}{2}}\\ { - U\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,\dfrac{T}{2} < t < T} \end{array}} \right.\)
Aufgabenstellung:
Ermittle für obige Rechteckspannung die zugehörige Fourierreihe
Lösungsweg
Nachfolgend die relevanten Formeln für die fouriersche Reihenentwicklung:
\(f\left( t \right) = u\left( t \right) = \dfrac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( {{a_k} \cdot \cos \left( {k{\omega _1}t} \right) + {b_k} \cdot \sin \left( {k{\omega _1}t} \right)} \right)} \)
\(\begin{array}{l} \dfrac{{{a_0}}}{2} = \frac{1}{T}\int\limits_t^{t + T} {f\left( t \right)} \,\,dt\\ {a_k} = \dfrac{2}{T}\int\limits_t^{t + T} {f\left( t \right) \cdot \cos \left( {k{\omega _1}t} \right)} \,\,dt\\ {b_k} = \dfrac{2}{T}\int\limits_t^{t + T} {f\left( t \right) \cdot \sin \left( {k{\omega _1}t} \right)} \,\,dt \end{array}\)
Nun zur konkreten Berechnung der 3 Fourier Koeffizienten:
\(\eqalign{ & {a_0} = 0{\text{ }}...{\text{ Mittelwert ist Null}} \cr & {{\text{a}}_k} = 0{\text{ }}...{\text{ f}}\left( t \right) = - f\left( { - t} \right) \cr} \)
D.h.: Wir müssen nur mehr bk berechnen
\(\eqalign{ & {b_k} = \frac{2}{T}\int\limits_t^{t + T} {f\left( t \right) \cdot \sin \left( {k{\omega _1}t} \right)} \,\,dt = \cr & \frac{2}{T}\int\limits_0^{T/2} {U \cdot \sin \left( {k{\omega _1}t} \right)} \,\,dt + \frac{2}{T}\int\limits_{T/2}^T {\left( { - U} \right)} \cdot \sin \left( {k{\omega _1}t} \right)\,\,dt = \cr & = \frac{{2U}}{T}\int\limits_0^{T/2} {\sin \left( {k{\omega _1}t} \right)} \,\,dt - \frac{{2U}}{T}\int\limits_{T/2}^T {\sin \left( {k{\omega _1}t} \right)\,\,dt} = \cr & = - \frac{{2U}}{T} \cdot \frac{1}{{k{\omega _1}}} \cdot \cos \left( {k{\omega _1}t} \right)\left| {_0^{T/2}} \right. + \frac{{2U}}{T} \cdot \frac{1}{{k{\omega _1}}} \cdot \cos \left( {k{\omega _1}t} \right)\left| {_{T/2}^T} \right. = \cr & {\text{mit: }}{\omega _1} = \frac{{2\pi }}{T} \cr & = - \frac{{2U}}{T} \cdot \frac{T}{{k \cdot 2\pi }} \cdot \left[ {\cos \left( {k \cdot \frac{{2\pi }}{T} \cdot \frac{T}{2}} \right) - \cos \left( {k \cdot \frac{{2\pi }}{T} \cdot 0} \right)} \right] + \frac{{2U}}{T} \cdot \frac{T}{{k \cdot 2\pi }} \cdot \left[ {\cos \left( {k \cdot \frac{{2\pi }}{T} \cdot T} \right) - \cos \left( {k \cdot \frac{{2\pi }}{T} \cdot \frac{T}{2}} \right)} \right] = \cr & = - \frac{U}{{k\pi }} \cdot \left[ {\cos \left( {k\pi } \right) - \cos \left( 0 \right)} \right] + \frac{U}{{k\pi }} \cdot \left[ {\cos \left( {2k\pi } \right) - \cos \left( {k\pi } \right)} \right] = \cr & - \frac{U}{{k\pi }} \cdot \left[ {{{\left( { - 1} \right)}^k} - 1} \right] + \frac{U}{{k\pi }} \cdot \left[ {\left( 1 \right) - {{\left( { - 1} \right)}^k}} \right] = \cr & = \frac{U}{{k\pi }} \cdot \left[ { - {{\left( { - 1} \right)}^k} + 1 + 1 - {{\left( { - 1} \right)}^k}} \right] = \cr & = \frac{{2U}}{{k\pi }} \cdot \left[ {1 - {{\left( { - 1} \right)}^k}} \right] \cr & k = 1,3,5,7,.. \to \frac{{4U}}{{k\pi }} \cr & k = 2,4,6,8,.. \to 0 \cr} \)
Man kann das Resultat wie folgt veranschaulichen
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\dfrac{{4U}}{{k\pi }}} \cdot \sin \left( {k{\omega _1}t} \right) = \dfrac{{4U}}{\pi }\sum\limits_{k = 1,3,5,..}^\infty {\dfrac{{\sin \left( {k{\omega _1}t} \right)}}{k}} = u\left( t \right) \cr & {\text{k = 1: Grundwelle }} \to {\text{1 Periode auf T}} \cr & {\text{k = 3: 3}}{\text{. Harmonische }} \to {\text{3 Perioden auf T}} \cr & {\text{k = 5: 5}}{\text{. Harmonische}} \to {\text{5 Perioden auf T}} \cr} \)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist zu vergeben, wenn alle 3 Fourier Koeffizienten oder die Fourier Reihe korrekt angeschrieben wurden