Aufgabe 221
Leistungsberechnung im Wechselstromkreis
Berechne für \(u\left( t \right) = U \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)\) und für \(i\left( t \right) = I \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)\) den Wirk- und den Blindleistungsanteil und interpretiere deren Mittelwerte.
Lösungsweg
Wir ermitteln die Scheinleistung als das Produkt von Spannung und Strom und interpretieren danach deren Realteil (P) und deren Imaginärteil (Q)
\(\begin{array}{l} s\left( t \right) = u\left( t \right) \cdot i\left( t \right) = \\ = U \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right) \cdot I \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right) = \end{array}\)
wir setzen zur Vereinfachung \({\varphi _i} = 0\) und \({\varphi _u} = \varphi\)
Gemäß der Formel für Produkte von Winkelfunktionen gilt:
\(\cos \left( a \right) \cdot \cos \left( b \right) = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)
\(\begin{array}{l} = U \cdot I \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\omega t + \varphi - \omega t} \right) + \cos \left( {\omega t + \varphi + \omega t} \right)} \right] = \\ = U \cdot I \cdot \cos \left( \varphi \right) + U \cdot I \cdot \cos \left( {2\omega t + \varphi } \right) = \end{array}\)
Gemäß dem 1. Summensatz der Winkelfunktionen (Additionstheorem) gilt:
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b\)
\(= U \cdot I \cdot \cos \left( \varphi \right) + U \cdot I \cdot \cos \left( {2\omega t} \right) \cdot \cos \left( \varphi \right) - U \cdot I \cdot \sin \left( {2\omega t} \right) \cdot \sin \left( \varphi \right) =\)
Gemäß der Formel für die Leistung im Wechselstromkreis gilt:
\(P = U \cdot I \cdot \cos \varphi\)
\({\rm{Q = U}} \cdot {\rm{I}} \cdot \sin \varphi\)
\({\rm{S = }}\sqrt {{P^2} + {Q^2}} = U \cdot \)
somit ergibt sich:
\(\begin{array}{l} = P + P \cdot \cos \left( {2\omega t} \right) - Q \cdot \sin \left( {2\omega t} \right) = \\ = P\left[ {1 + \cos \left( {2\omega t} \right)} \right] - Q \cdot \sin \left( {2\omega t} \right) \end{array}\)
Interpretation:
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Beide Terme haben jeweils die halbe Periode bzw. die doppelte Frequenz von u(t) bzw. i(t)
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Der 1. Term \(P\left[ {1 + \cos \left( {2\omega t} \right)} \right]\)schwingt um P und hat die Amplitude 2P. Über die Zeit wird physikalische Energie übertragen.
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Der 2. Term \(Q \cdot \sin \left( {2\omega t} \right)\) schwingt um 0 und hat die Amplitude Q. Der Mittelwert dieser Komponente ist Null. Es handelt sich um eine reine Pendelleistung, die nur die Leitungen belastet, die aber über die Zeit nichts zum Energietransport beiträgt. Energie wird in (Induktivitäten und Kapazitäten) in einer Viertelperiode eingespeichert und in der nächsten Viertelperiode wieder abgegeben.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(s\left( t \right) = P\left[ {1 + \cos \left( {2\omega t} \right)} \right] - Q \cdot \sin \left( {2\omega t} \right)\)
Gemäß dem 1. Term wird Energie übertragen, während der 2. Term nichts zum Energietransport beiträgt.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung in allen drei Summanden mit der korrekten Lösung übereinstimmt.