Zahlenfolgen
Eine Zahlenfolge ist eine (endliche oder unendliche) Aufzählung von (durch Beistrich getrennten) Zahlenwerten.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3},...,{a_n},{a_{n + 1}},...} \right\rangle ;\)
Für je zwei aufeinander folgende Zahlenwerte existiert eine Bildungsvorschrift.
\({a_n} = f(n),\,\,n \in {\Bbb N}\)
Wenn nicht explizit beschränkt, sind Folgen unendlich.
| i |
Index der Glieder der Folge |
| an |
n-tes Glied der Folge (i=n) |
Beispiel:
Gegen sei eine allgemeine Bildungsvorschrift wie folgt:
\(\eqalign{ & {a_n} = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} \cr & {\text{Folge:}}\,\,\,\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3},{a_4},...,{a_{n - 1}},{a_n},{a_{n + 1}},...} \right\rangle = 1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},...,\dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}},... \cr}\)
Arithmetische Zahlenfolge
Eine Zahlenfolge ai ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten, die zugehörige Zahlenreihe sn entsteht durch Summation der Zahlenwerte. Bei der arithmetischen Zahlenfolge ist die Differenz d zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},\,\,{a_1} + d,\,\,{a_1} + 2d,\,\,{a_1} + 3d,\,\,\,\,\,...,\,\,\,\,\,\,{a_1} + (n - 1) \cdot d} \right\rangle \)
Das Bildungsgesetz ist ein linearer Term in n, wobei:
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} + 1d;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} + 2d;\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d\)
\(d = {a_{n + 1}} - {a_n}\)
| a1 |
Startwert |
| d |
konstante Differenz |
- d < 0: fallende Folge
- d = 0: konstante Folge
- d > 0: steigende Folge
Rekursive Formel
\({a_{n + 1}} = {a_n} + d\)
Explizite Formel
\({a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d\)
Jedes Glied ist daher das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarglieder
\({a_n} = \dfrac{{{a_{n - 1}} + {a_{n + 1}}}}{2};\,\,\,n \geqslant 2\)
Beispiel einer arithmetischen Zahlenfolge:
Das Bildungsgesetz für die ungeraden Zahlen lautet:
\(\eqalign{
& {a_n} = 1 + 2 \cdot \left( {n - 1} \right) \cr
& \cr
& {a_1} = 1 + 2 \cdot 0 = 1 \cr
& {a_2} = 1 + 2 \cdot 1 = 3 \cr
& {a_3} = 1 + 2 \cdot 2 = 5 \cr
& \cr
& \left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {1,3,,5,7,...} \right\rangle \cr} \)
Geometrische Zahlenfolge
Eine Zahlenfolge ai ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten. Bei der geometrischen Zahlenfolge ist der Quotient q zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_1} \cdot q,{a_1} \cdot {q^2},{a_1} \cdot {q^3},...,{a_1} \cdot {q^{n - 1}},...} \right\rangle\)
Das Bildungsgesetz ist ein exponentieller Term in n, wobei:
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)
\(q = \dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\)
| a1 |
Startwert |
| d |
konstanter Quotient |
- q<0 : alternierende Folge
- 0<q<1 : fallende Folge
- q=1 : konstante Folge
- q>1 : steigende Folge
Rekursive Formel
\({a_{n + 1}} = {a_n} \cdot q\)
Explizite Formel
\({a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}}\)
Der Betrag jedes Glieds ist daher das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarglieder
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)
\({a_n} = \sqrt {{a_{n - 1}} \cdot {a_{n + 1}}} ;\,\,\,n \ge 2;\)
Beispiel:
Eulersche Zahl als Grenzwert einer geometrischen Folge
Die eulersche Zahl kann wie folgt als Grenzwert einer geometrischen Folge dargestellt werden
\(e = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}} + ... + \dfrac{1}{{n!}}} \right) = 2,71828...\)