Folgen, Reihen und Grenzwerte

Zahlenfolgen

Eine Zahlenfolge ist eine (endliche oder unendliche) Aufzählung von (durch Beistrich getrennten) Zahlenwerten.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3},...,{a_n},{a_{n + 1}},...} \right\rangle ;\)

Für je zwei aufeinander folgende Zahlenwerte existiert eine Bildungsvorschrift.
\({a_n} = f(n),\,\,n \in {\Bbb N}\)

Wenn nicht explizit beschränkt, sind Folgen unendlich.

Beispiel:
Gegen sei eine allgemeine Bildungsvorschrift wie folgt:

\(\eqalign{ & {a_n} = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} \cr & {\text{Folge:}}\,\,\,\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3},{a_4},...,{a_{n - 1}},{a_n},{a_{n + 1}},...} \right\rangle = 1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},...,\dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}},... \cr}\)

Arithmetische Zahlenfolge

Eine Zahlenfolge a_i ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten, die zugehörige Zahlenreihe s_n entsteht durch Summation der Zahlenwerte. Bei der arithmetischen Zahlenfolge ist die Differenz d zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},\,\,{a_1} + d,\,\,{a_1} + 2d,\,\,{a_1} + 3d,\,\,\,\,\,...,\,\,\,\,\,\,{a_1} + (n - 1) \cdot d} \right\rangle \)

Das Bildungsgesetz ist ein linearer Term in n, wobei:
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} + 1d;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} + 2d;\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d\)

\(d = {a_{n + 1}} - {a_n}\)

• d < 0: fallende Folge
• d = 0: konstante Folge
• d > 0: steigende Folge

Rekursive Formel

Ein Bildungsgesetz nennt man „rekursiv“ weil man zur Berechnung des (n+1) Folgeglieds a_n+1 das n-te Vorgängerglied a_n kennen muss. 
\({a_{n + 1}} = {a_n} + d\)

Explizite Formel

Ein Bildungsgesetz nennt man explizit, wenn man das jeweilige Glied der Folge berechnen kann, ohne andere Glieder der Folge zu kennen.
\({a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d\)

Jedes Glied ist daher das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarglieder

\({a_n} = \dfrac{{{a_{n - 1}} + {a_{n + 1}}}}{2};\,\,\,n \geqslant 2\)

Beispiel einer arithmetischen Zahlenfolge:

Das Bildungsgesetz für die ungeraden Zahlen lautet: 

\(\eqalign{ & {a_n} = 1 + 2 \cdot \left( {n - 1} \right) \cr & \cr & {a_1} = 1 + 2 \cdot 0 = 1 \cr & {a_2} = 1 + 2 \cdot 1 = 3 \cr & {a_3} = 1 + 2 \cdot 2 = 5 \cr & \cr & \left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {1,3,,5,7,...} \right\rangle \cr} \)

Geometrische Zahlenfolge

Eine Zahlenfolge a_i ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten. Bei der geometrischen Zahlenfolge ist der Quotient q zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_1} \cdot q,{a_1} \cdot {q^2},{a_1} \cdot {q^3},...,{a_1} \cdot {q^{n - 1}},...} \right\rangle\)

Das Bildungsgesetz ist ein exponentieller Term in n, wobei:
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)

\(​q = \dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\)

• q<0 : alternierende Folge
• 0<q<1 : fallende Folge
• q=1 : konstante Folge
• q>1 : steigende Folge

Rekursive Formel

Ein Bildungsgesetz nennt man „rekursiv“ weil man zur Berechnung des (n+1) Folgeglieds a_n+1 das n-te Vorgängerglied a_n kennen muss.
\({a_{n + 1}} = {a_n} \cdot q\)

Explizite Formel

Ein Bildungsgesetz nennt man explizit, wenn man das jeweilige Glied der Folge berechnen kann, ohne andere Glieder der Folge zu kennen.

\({a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}}\)

Der Betrag jedes Glieds ist daher das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarglieder
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)
\({a_n} = \sqrt {{a_{n - 1}} \cdot {a_{n + 1}}} ;\,\,\,n \ge 2;\)

Beispiel:

Eulersche Zahl als Grenzwert einer geometrischen Folge

Die eulersche Zahl kann wie folgt als Grenzwert einer geometrischen Folge dargestellt werden

\(e = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}} + ... + \dfrac{1}{{n!}}} \right) = 2,71828...\)

Zahlenreihen

Eine Reihe kann man sich als Summe mit unendlich vielen Summanden vorstellen. Diese Summanden a_i sind dabei die Glieder einer zugehörigen Folge ⟨a_i⟩

\(\sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} = {a_1} + {a_2} + ...{a_n} + {a_{n + 1}} + ...\)

Beispiel:
Bildungsvorschrift:
\(\eqalign{ & {a_n} = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} \cr & {\text{Reihe: }}s = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + ... + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ... = \sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} = \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 2 \cr}\)

Partialsumme

Während bei einer Reihe unendlich viele Glieder aufsummiert werden, summiert man bei einer Partialsumme nur endlich viele Gieder (nämlich vom ersten bis zum n-ten Glied) auf.

\({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_n}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + ...{a_n}\)

Arithmetische Zahlenreihe

Eine Zahlenfolge a_i ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},\,\,{a_1} + d,\,\,{a_1} + 2d,\,\,{a_1} + 3d,\,\,\,\,\,...,\,\,\,\,\,\,{a_1} + (n - 1) \cdot d} \right\rangle \)

Die zugehörige arithmetische Zahlenreihe s_n entsteht durch Summation der Zahlenwerte. Bei der arithmetischen Zahlenreihe ist die Differenz d zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.

\({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} = n \cdot {a_1} + \dfrac{{\left( {n - 1} \right) \cdot n}}{2}d = n\dfrac{{\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

Das Bildungsgesetz ist ein linearer Term in n. Wobei:
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} + 1d;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} + 2d;\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} + (n-1)d\)

Geometrische Zahlenreihe

Eine Zahlenfolge a_i ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten.

\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_1} \cdot q,{a_1} \cdot {q^2},{a_1} \cdot {q^3},...,{a_1} \cdot {q^{n - 1}},...} \right\rangle\)

Die zugehörige geometrische Zahlenreihe s_n entsteht durch Summation der Zahlenwerte. Bei der geometrischen Zahlenreihe ist der Quotient q zweier aufeinander folgender Glieder konstant. Abhängig von der Größe von q bevorzugt man einer der zwei folgenden gleichwertigen Fomeln:

Für \(q < 1\): \({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = {a_1} \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \)

Für \(q > 1\): \({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = {a_1} \cdot \dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}} \)

Für \(\left| q \right| > 1\) konvergiert die geometrische Reihe. Ihr Grenzwert für \(n \to \infty \) ergibt sich zu:

\({s_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n} = \frac{{{a_1}}}{{1 - q}}\)

Das Bildungsgesetz ist ein exponentieller Term in n, wobei

\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)

Beispiel:

Eulersche Zahl als Reihe

Die Euler'sche Zahl kann wie folgt als Summe aller Glieder einer geometrischen Reihe dargestellt werden

\(e = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\dfrac{1}{{n!}}} = \dfrac{1}{{0!}} + \dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}} + ... + ... = 2,71828...\)

Eigenschaften von Zahlenfolgen

Wir haben bereits beschrieben, dass Zahlenfolgen an Hand ihrer Bildungsvorschrift unterschieden werden können. Wir erinnern uns etwa an die arithmetische Folge, bei der die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist, oder an die geometrische Folge, bei der der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist. Nachfolgend lernen wir weitere Eigenschaften von Zahlenfolgen kennen:

Umgebung bzw. Epsilontik

Die Ɛ-Umgebung U(a;Ɛ) einer reellen Zahl a, ist die Menge aller Zahlen x aus \({\Bbb R}\), für die der Betrag der Differenz (a-x) kleiner als Ɛ ist.

\(\eqalign{ & U\left( {a;\varepsilon } \right) = \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {a - \varepsilon } \right. < x < a + \varepsilon } \right\} \cr & \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {\left| {a - x} \right|} \right. < \varepsilon } \right\} \cr}\)

Häufungswert von Folgen

Die Zahl h heißt Häufungswert einer Folge ⟨a_n⟩, wenn in jeder ɛ-Umgebung von h unendlich viele Glieder der Folge liegen. Eine Folge kann auch mehrere Häufungswerte haben.

\(\left| {{a_n} - \eta } \right| < \varepsilon\)

Satz von Bolzano und Weierstraß

Der Satz von Bolzano und Weierstraß besagt, dass jede beschränkte unendliche Zahlenfolge ⟨a_n⟩ zumindest einen Häufungswert h besitzt. Eine Folge ist dann beschränkt, wenn es ein endliches Intervall gibt, in dem alle der unendlich vielen Folgenglieder liegen.

Grenzwert bzw. Limes

Eine Zahl g heißt Grenzwert einer unendlichen Folge ⟨a_n⟩, wenn in jeder Umgebung von g fast alle Glieder der Folge liegen.

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = g\)

Wenn es einen Grenzwert gibt, so ist dieser auch ein Häufungswert. Die Umkehrung gilt nicht, weil es Folgen gibt, die zwar einen oder mehrere Häufungswerte aber keinen Grenzwert besitzen.

\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{1}{n} = 0 = {\text{Grenzwert}} \cr & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { - 1} \right)^n} = \pm 1 = {\text{2 Häufungswerte}}{\text{, kein Grenzwert}} \cr} \)

Nullfolge

Eine Folge ⟨a_n⟩ ist eine Nullfolge, wenn sie gegen den Grenzwert Null konvergiert. Jede konvergente Folge kann als Summe aus ihrem Grenzwert und einer Nullfolge dargestellt werden

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\,{a_n} = 0\)

Die Folge mit \({a_n} = \dfrac{1}{n}\) ist ein Beispiel für eine Nullfolge

Konvergenz, Divergenz

Eine Folge ⟨a_n⟩ nennt man konvergent mit dem Grenzwert g, wenn in jeder e-Umgebung von g fast alle Glieder der Folge liegen. Folgen die keinen Grenzwert haben, heißen divergent.

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\,{a_n} = g\)

Supremum und Infimum

• Supremum: Wenn die Folge nach oben beschränkt ist, dann heißt die kleinste obere Schranke ihr Supremum.
• Infimum: Wenn die Folge nach unten beschränkt ist, dann heißt die größte untere Schranke ihr Infimum.
• Supremum bzw. Infimum müssen selbst nicht zur Folge gehören;

Maximum und Minimum

• Maximum: Das Maximum ist das größte Element der Folge. Jedes Maximum ist ein Supremum.
• Minimum: Das Minimum ist das kleinste Element der Folge. Jedes Minimum ist ein Infimum.
• Maximum und Minimum müssen zur Folge gehören. Supremum und Infimum müssen nicht zur Folge gehören, daher ist nicht jedes Supremum ein Maximum und es ist nicht jedes Infimum ein Minimum.

Beispiel:

Beschränkte und unbeschränkte Folgen

Beschränkte Folge

Eine Zahlenfolge heißt beschränkt, wenn sie sowohl eine obere als auch eine untere Schranke besitzt. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Eine beschränkte Folge muss nicht unbedingt konvergieren. Eine konvergierende Folge ist beschränkt.

• obere Schranke: Eine Zahlenfolge heißt nach oben beschränkt, wenn eine Zahl O existiert, sodass jedes Glied der Folge kleiner oder gleich O ist. 
• untere Schranke: Eine Zahlenfolge heißt nach unten beschränkt, wenn eine Zahl U existiert, sodass jedes Glied der Folge größer oder gleich U ist. 

Unbeschränkte Folge

Eine Zahlenfolge heißt nach oben und nach unten unbeschränkt, wenn sie \( - \infty \) und \( + \infty \) als Häufungswert hat. Jede unbeschränkte Folge divergiert. Eine divergierende Folge ist unbeschränkt.

• \({\text{Supremum}} = \infty \) : Wenn das Supremum „unendlich“ ist, dann ist die Folge nach oben unbeschränkt
• \({\text{Infimum}} = - \infty \)  Wenn das Supremum „minus unendlich“ ist, dann ist die Folge nach unten unbeschränkt

Monotonie einer Folge

Die Monotonie einer Folge gibt an ob und wie die Werte der Folge steigen, fallen, konstant bleiben oder alternieren (d.h. das Vorzeichen wechseln).

Beispiel:
Alternierende Folge:
\({a_n} = {\left( { - 1} \right)^n} = 1,\,\, - 1,\,\,1,\,\, - 1,..\)