Algebra
Wissenswertes über: Zahlensysteme und Rechengesetze, Komplexe Zahlen, Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, Matrizen, Gleichungen, Ungleichungen
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Lineare Ungleichung mit zwei Variablen
Enthalten die beiden Terme einer Ungleichung die beiden Variablen x und y und kommen diese lediglich zur 1. Potenz vor, so spricht man von einer linearen Ungleichung mit 2 Variablen. Eine lineare Ungleichung mit zwei Variablen besitzt unendlich viele Lösungspaare, die geometrisch interpretiert, die Punkte einer offenen oder geschlossenen Halbebene sind. Die Gerade kx+d<y bezeichnet man als Randgerade der Lösungsmenge und die Lösungsmenge selbst ist die dem Ungleichheitszeichen entsprechende Halbebene in der gaußschen Ebene.
\(kx + d < y\)
Ungleichung als Randgerade einer Halbebene
Soll eine Ungleichung grafisch als Randgerade einer Halbebene dargestellt werden, so muss man die Ungleichung so umformen, dass wir die zugehörige Randgerade in der Form \(y = k \cdot x + d\) erhalten.
Operator „ < “ oder „ > “: Randgerade ist strichliert: \(g \notin L\)
Die Punkte auf der Randgeraden sind nicht Teil der Lösung. Man spricht von einer offenen Halbebene
Operator „ \( \le\) “ oder „ \( \ge\) “ Randgerade ist durchgezogen: \(g \in L\)
Die Punkte auf der Randgeraden sind Teil der Lösung. Man spricht von einer abgeschlossenen Halbebene
Man wählt einen beliebigen Punkt nahe aber nicht auf der Randgerade und prüft ob er die Ungleichung erfüllt und daher in der entsprechenden Halbebene (farbig markiert) liegt.
Achtung: Bei Multiplikation oder Division von Ungleichungen mit einer negativen Zahl muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden!
Beispiel:
\(3y - 2x < 6\)
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Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen
Von einem System linearer Ungleichungen mit 2 Variablen spricht man, wenn man die gemeinsame Lösung von 2 oder mehr Ungleichungen mit 2 Variablen finden soll. Zuerst ermittelt man die Randgeraden und die zugehörige Halbebene der jeweiligen Ungleichungen getrennt voneinander...
\(\eqalign{ & kx + d < y \cr & ex + f > y \cr}\)
... und bildet anschließend die Durchschnittsmenge.
\({L_{Ges}} = {L_1} \cap {L_2}\)
Beispiel:
Ein System mit 3 linearen Ungleichungen:
Quadratische Ungleichung mit einer Variablen
Enthält die Ungleichung die Variable x zur 2. Potenz, so spricht man von einer quadratischen Ungleichung.
\(a{x^2} + bx + c < 0\)
Man löst zunächst die zugehörige quadratische Gleichung
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
mit der abc Formel.
- Wenn die Gleichung keine Lösung hat, dann ist die Ungleichung entweder für kein oder für alle x erfüllt
- Wenn die Gleichung eine oder zwei Lösung hat, dann ist die Lösung der Ungleichung die Vereinigungsmenge der Lösungsintervalle
Anschließen faktorisiert man das Polynom wie folgt
\(a{x^2} + bx + c = (x - {x_1}) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)
somit wird aus \(a{x^2} + bx + c < 0\) nunmehr \((x - {x_1}) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) < 0\)
Die beiden Faktoren (x-x1) bzw. (x-x2) ergeben nur dann gemäß Angabe ein negatives Ergebnis (<0), wenn sie entgegengesetzte Vorzeichen haben. Es muss daher gelten:
\(\eqalign{ & \left( {x - {x_1}} \right) < 0{\text{ und }}\left( {x - {x_2}} \right) > 0 \cr & {\text{oder}} \cr & \left( {x - {x_1}} \right) > 0{\text{ und }}\left( {x - {x_2}} \right) < 0 \cr}\)
Nunmehr kann man die Lösung als offenes Intervall auf dem Zahlenstrahl darstellen.
Illustration der Lösung einer quadratischen Ungleichung am Zahlenstrahl
Aufgaben
Aufgabe 252
Kaufmännisches Runden
In Deutschland gibt ein Mehrwertsteuersatz von 19%. Berechne den Bruttopreis durch kaufmännisches Runden auf Cent genau, für folgende Nettopreise
23,13 | |
23,14 | |
23,15 |
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Aufgabe 254
Addition gemischter Zahlen
Addiere in einem 1. Schritt den Summand zum Startwert und addiere in einem 2. Schritt zu dieser Summe erneut den Summand hinzu
1. Teilaufgabe:
Summand: \(\dfrac{1}{2}\) Startwert: \(2\dfrac{1}{2}\)
2. Teilaufgabe:
Summand: \(1\dfrac{1}{3}\) Startwert: \(3\dfrac{2}{3}\)
3. Teilaufgabe:
Summand. \(\dfrac{1}{4}\) Startwert: \(- 2\)
Aufgabe 258
Lösung einer Exponentialgleichung mittels Logarithmieren
\({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {10^x}\)
Aufgabe 259
Rechnen mit Logarithmen mit beliebiger Basis
Berechne die Logarithmen ohne Taschenrechner:
1. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( 8 \right)\)
2. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( 1 \right)\)
3. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( {32} \right)\)
4. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( {\dfrac{1}{8}} \right)\)
5. Teilaufgabe: \(x = {\log _3}\left( {81} \right)\)
6. Teilaufgabe: \(x = {\log _3}\left( {\sqrt 3 } \right)\)
7. Teilaufgabe: \(x = {\log _5}\left( {0,2} \right)\)
8. Teilaufgabe: \(x = {\log _5}\left( {125} \right)\)
9. Teilaufgabe: \(x = {\log _{10}}\left( {1.000.000} \right)\)
10. Teilaufgabe: \(x = {\log _{10}}\left( {0,0001} \right)\)
Aufgabe 260
Logarithmus eines Produkts oder Quotienten
Folgende dekadische Logarithmen sind gegeben:
\(\eqalign{ & {\log _{10}}\left( 2 \right) = \lg \left( 2 \right) \approx 0,30103 \cr & {\log _{10}}\left( 3 \right) = \lg \left( 3 \right) \approx 0,47712 \cr} \)
1. Teilaufgabe:
Berechne ohne Taschenrechner
\(\eqalign{ & \lg \left( 4 \right) = \cr & \lg \left( 5 \right) = \cr & \lg \left( 6 \right) = \cr & \lg \left( 8 \right) = \cr & \lg \left( 9 \right) = \cr} \)
2. Teilaufgabe:
Begründe warum man den lg(7) nicht auf diese Weise berechnen kann!
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Aufgabe 261
Schreibe die Quotienten als einzelne Logarithmen an
\(\eqalign{ & \ln \frac{{abc}}{d} = \cr & \ln \frac{d}{{abc}} = \cr & \cr & \ln \left( {a \cdot {b^2} \cdot {c^3}} \right) = \cr & \ln \left( {\frac{{a \cdot {b^2}}}{{{c^3}}}} \right) = \cr & \cr & \ln \left( {\frac{{3 \cdot {a^2}}}{{{b^2} \cdot c}}} \right) = \cr & \cr & \ln \left( {a \cdot \root 4 \of b } \right) = \cr & \ln \left( {\root 4 \of {\frac{{{a^2}}}{b}} } \right) = \cr} \)
Aufgabe 262
Fasse zu einem einzigen Term zusammen
\(\eqalign{ & 2\lg \left( a \right) + 3\lg \left( b \right) = \cr & \lg \left( a \right) - 3\lg \left( b \right) + 2\lg \left( c \right) = \cr & \cr & \lg \left( {1 - a} \right) + \lg \left( {1 + a} \right) - 2 \cdot \lg \left( a \right) = \cr & \lg \left( {a + b} \right) - \lg \left( {a - b} \right) + 2 \cdot \lg \left( {10} \right) = \cr & \cr & 3 \cdot \left[ {\lg \left( a \right) + \lg \left( b \right) - 2 \cdot \lg \left( c \right)} \right] = \cr & \frac{1}{2} \cdot \lg \left( a \right) + 4 \cdot \lg \left( b \right) = \cr} \)
Aufgabe 263
Rechnen mit Logarithmen(tafeln)
\(x = {3,1^{2,8}} \approx 23,7582\)
Berechne x mit Hilfe von Logarithmen, indem du die Berechnung auf Additionen und Multiplikationen zurückführst, statt Potenzen zu verwenden. Nähere dich dem exakten Resultat auf 2 Nachkommastellen an.
Anmerkung: In den 1970-er Jahren mussten Maturanten tatsächlich mit Logarithmentafeln oder Rechenschiebern rechnen, da Taschenrechner noch unerschwinglich teuer waren. Anfang der 1980-er Jahre kostete ein guter technischer Taschenrechner ca. einen Monatslohn.
Folgende Werte stammen aus einer Logarithmentafel:
\(\eqalign{
& \lg (3,1) \approx 0,49136 \cr
& 1,375808 \approx \lg \left( {23.7579} \right) \cr} \)
Aufgabe 264
Rechnen mit Logarithmen(tafeln)
\(x = \sqrt {{7^3} \cdot {5^{2,1}}} \)
Berechne x mit Hilfe von Logarithmen, indem die die Berechnung auf Additionen und Multiplikationen zurückführst, statt Potenzen und Wurzeln zu verwenden.
Anmerkung: In den 1970-er Jahren mussten Maturanten tatsächlich mit Logarithmentafeln oder Rechenschiebern rechnen, da Taschenrechner noch unerschwinglich teuer waren. Anfang der 1980-er Jahre kostete ein guter technischer Taschenrechner ca. einen Monatslohn.
Folgende Werte stammen aus einer Logarithmentafel:
\(\lg \left( 7 \right) \to {\text{Logarithmus aus Tafel}} \to \approx 0,84509\)
\(\lg (5) \to {\text{Logarithmus aus Tafel}} \to \approx 0,69897\)
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