Lineare Ungleichung mit zwei Variablen
Formel
Lineare Ungleichung mit zwei Variablen
Enthalten die beiden Terme einer Ungleichung die beiden Variablen x und y und kommen diese lediglich zur 1. Potenz vor, so spricht man von einer linearen Ungleichung mit 2 Variablen. Eine lineare Ungleichung mit zwei Variablen besitzt unendlich viele Lösungspaare, die geometrisch interpretiert, die Punkte einer offenen oder geschlossenen Halbebene sind. Die Gerade kx+d<y bezeichnet man als Randgerade der Lösungsmenge und die Lösungsmenge selbst ist die dem Ungleichheitszeichen entsprechende Halbebene in der gaußschen Ebene.
\(kx + d < y\)
Ungleichung als Randgerade einer Halbebene
Soll eine Ungleichung grafisch als Randgerade einer Halbebene dargestellt werden, so muss man die Ungleichung so umformen, dass wir die zugehörige Randgerade in der Form \(y = k \cdot x + d\) erhalten.
Operator „ < “ oder „ > “: Randgerade ist strichliert: \(g \notin L\)
Die Punkte auf der Randgeraden sind nicht Teil der Lösung. Man spricht von einer offenen Halbebene
Operator „ \( \le\) “ oder „ \( \ge\) “ Randgerade ist durchgezogen: \(g \in L\)
Die Punkte auf der Randgeraden sind Teil der Lösung. Man spricht von einer abgeschlossenen Halbebene
Man wählt einen beliebigen Punkt nahe aber nicht auf der Randgerade und prüft ob er die Ungleichung erfüllt und daher in der entsprechenden Halbebene (farbig markiert) liegt.
Achtung: Bei Multiplikation oder Division von Ungleichungen mit einer negativen Zahl muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden!
Beispiel:
\(3y - 2x < 6\)
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
| Ungleichung | Verbindet man 2 Terme mit einem der nachfolgend angeführten Ungleichheitszeichen, so erhält man eine Ungleichung |
Aktuelle Lerneinheit
| Lineare Ungleichung mit zwei Variablen | Enthalten die beiden Terme einer Ungleichung die beiden Variablen x und y und kommen diese lediglich zur 1. Potenz vor, so spricht man von einer linearen Ungleichung mit 2 Variablen |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
| Quadratische Ungleichung mit einer Variablen | Enthält die Ungleichung x zur 2. Potenz, so spricht man von einer quadratischen Ungleichung.
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| Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen | Von einem System linearer Ungleichungen mit 2 Variablen spricht man, wenn man die gemeinsame Lösung von 2 oder mehr Ungleichungen mit 2 Variablen finden soll |
| Systeme linearer Ungleichungen mit einer Variablen | Von einem System linearer Ungleichungen spricht man, wenn man die gemeinsame Lösung von 2 oder mehreren linearen Ungleichungen finden soll.
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| Lineare Ungleichung mit einer Variablen | Enthält die Ungleichung die einzige Variable x lediglich zur 1. Potenz, so spricht man von einer linearen Ungleichung in einer Variablen. |
| Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen | Unter einer Äquivalenzumformung einer Ungleichung versteht eine Umformung, die den Wahrheitswert der Ungleichung unverändert lässt. |
| Intervalle | Intervalle dienen dazu Zahlenbereiche noch oben und nach unten abzugrenzen. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1201
AHS - 1_201 & Lehrstoff: AG 2.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Halbebenen
Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen besitzen unendlich viele Losungspaare, die geometrisch interpretiert Punkte einer offenen oder geschlossenen Halbebene sind. In den nachstehenden Grafiken ist jeweils ein Bereich (eine Halbebene) farblich markiert.
| A | \(y > 2\) |
| B | \(2y - 3x < 0\) |
| C | \(3x + 2y \ge 4\) |
| D | \(y \le \frac{2}{3} \cdot x + 2\) |
| E | \(x > 2\) |
| F | \(3y - 2x < 6\) |
- Lineare Ungleichung 1:
- Lineare Ungleichung 2:
- Lineare Ungleichung 3:
- Lineare Ungleichung 4:
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den einzelnen Bereichen die jeweilige lineare Ungleichung (aus A bis F) zu, die die Halbebene im Koordinatensystem richtig beschreibt!
| Deine Antwort | |
| Lineare Ungleichung 1 | |
| Lineare Ungleichung 3 | |
| Lineare Ungleichung 3 | |
| Lineare Ungleichung 4 |
Aufgabe 1202
AHS - 1_202 & Lehrstoff: AG 2.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lösungen von Ungleichungen
Gegeben ist die lineare Ungleichung \(2x - 6y \le - 3\)
Aufgabenstellung
Berechnen Sie, für welche reellen Zahlen \(a \in {\Bbb R}\) das Zahlenpaar (18; a) Lösung der Ungleichung ist!
Aufgabe 1760
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Delegation
Aus einer großen Gruppe von Jugendlichen und Erwachsenen soll eine Delegation gebildet werden. Dabei gelten die folgenden drei Vorschriften:
- Die Delegation soll mindestens 8 Mitglieder umfassen.
- Die Delegation soll höchstens 12 Mitglieder umfassen.
- In der Delegation sollen mindestens doppelt so viele Jugendliche wie Erwachsene sein.
Zwei der drei Vorschriften sind untenstehend jeweils durch eine Ungleichung beschrieben. Dabei wird die Anzahl der Jugendlichen in dieser Delegation mit J und die Anzahl der Erwachsenen in dieser Delegation mit E bezeichnet.
- Aussage 1: \(J + E \leqslant 12\)
- Aussage 2: \(J \geqslant 2 \cdot E\)
- Aussage 3: \(J + E \leqslant 8\)
- Aussage 4: \(J - 2 \cdot E < 0\)
- Aussage 5: \(E \geqslant 2 \cdot J\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Ungleichungen an.
Aufgabe 4356
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Alkoholfreie Cocktails - Aufgabe B_454
Es gibt viele beliebte Cocktails ohne Alkohol.
Teil a
- Für einen Cocktail Yellow Fun benötigt man 2 Centiliter (cl) Mangosaft, 8 cl Maracujasaft, 2 cl Zitronensaft und 8 cl Pfirsichsaft.
- Für einen Cocktail Exotic Punch benötigt man 4 cl Mangosaft, 4 cl Maracujasaft, 4 cl Ananassaft, 4 cl Grapefruitsaft und 4 cl Orangensaft.
Es sollen x Cocktails Yellow Fun und y Cocktails Exotic Punch hergestellt werden. Insgesamt stehen maximal 2 L Mangosaft und maximal 2 L Maracujasaft zur Verfügung.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ordnen Sie den beiden Einschränkungen jeweils die passende Ungleichung aus A bis D zu.
[2 zu 4] [1 Punkt]
- Einschränkung bezüglich Mangosaft
- Einschränkung bezüglich Maracujasaft
- Gleichung A: \(x + 2 \cdot y \leqslant 100\)
- Gleichung B: \(2 \cdot x + y \leqslant 100\)
- Gleichung C: \(y \leqslant - 2 \cdot x + 50\)
- Gleichung D: \(x + 4 \cdot y \leqslant 200\)
Man rechnet damit, dass mindestens doppelt so viele Cocktails Yellow Fun wie Exotic Punch benötigt werden.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie eine Ungleichung, die diese Bedingung für die beiden Cocktails beschreibt.
[1 Punkt]
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