BMBWF - AN 4.1 .. AN 4.3: Summation und Integral

AHS - 1_166 & Lehrstoff: AN 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Erklärung des bestimmten Integrals
Der Begriff des bestimmten Integrals soll erklärt werden.

Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Textbausteine so, dass eine korrekte Aussage entsteht!

Ein bestimmtes Integral kann als _____1_____ einer/eines _______2_______ gedeutet werden.

AHS - 1_167 & Lehrstoff: AN 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Integral berechnen

Aufgabenstellung:
Berechnen Sie \(\int {\left( {a \cdot {h^3} + {a^2}} \right)} \,\,dh\)

AHS - 1_172 & Lehrstoff: AN 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Untersumme
Der Graph der in der nachstehenden Abbildung dargestellten Funktion f schließt mit der x-Achse im 1. Quadranten ein Flächenstück ein. Der Inhalt A dieses Flächenstücks kann mit dem Ausdruck \(f\left( {{x_1}} \right) \cdot \vartriangle x + f\left( {{x_2}} \right) \cdot \vartriangle x + f\left( {{x_3}} \right) \cdot \vartriangle x + f\left( {{x_4}} \right) \cdot \vartriangle x\) näherungsweise berechnet werden.

Aufgabenstellung:
Geben Sie die geometrische Bedeutung der Variablen Δx an und beschreiben Sie den Einfluss der Anzahl der Teilintervalle [x_i; x_i+1] von [0; a] auf die Genauigkeit des Näherungswertes für den Flächeninhalt A!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Schnitt zweier Funktionen

Gegeben sind die beiden reellen Funktionen f und g mit den Gleichungen \(f\left( x \right) = {x^2}\) und \(g\left( x \right) = - {x^2} + 8\)

Aufgabenstellung:
Im nachstehenden Koordinatensystem sind die Graphen der beiden Funktionen f und g dargestellt. Schraffieren Sie jene Flache, deren Große A mit \(A = \int\limits_0^1 {g\left( x \right)\,\,dx - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} } \,\,dx\) berechnet werden kann!

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Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Untersumme und Obersumme

In den nachstehenden Abbildungen sind jeweils der Graph einer Funktion f sowie eine Untersumme U (= Summe der Flächeninhalte der dunkel markierten, gleich breiten Rechtecke) und eine Obersumme O (= Summe der Flächeninhalte der dunkel und hell markierten, gleich breiten Rechtecke) im Intervall [–a; a] dargestellt

Aufgabenstellung:
Für zwei Funktionen, deren Graph nachstehend abgebildet ist, gilt bei konstanter Rechteckbreite im Intervall [–a; a] die Beziehung \(\int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)} \,\,dx = \dfrac{{O + U}}{2}\). Kreuzen Sie die beiden Abbildungen an, bei denen die gegebene Beziehung erfüllt ist!

• Abbildung 1: 
  
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• Abbildung 2: 
  
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• Abbildung 3: 
  
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• Abbildung 4: 
  
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• Abbildung 5: 
  
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Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Fläche zwischen Graph und x-Achse

Gegeben ist eine Potenzfunktion \(f:\left[ {0;15} \right] \to {{\Bbb R}^ + }\). Der Inhalt A derjenigen Flache, die vom Graphen von f, von der x-Achse und von den beiden Geraden x = 0 und x = 15 begrenzt wird, kann durch den nachstehenden Ausdruck U näherungsweise berechnet werden.
\(U = 5 \cdot \left( {f\left( 0 \right) + f\left( 5 \right) + f\left( {10} \right)} \right)\)

In der nachstehenden Abbildung sind der Graph von f und – rot markiert – die Flache, deren Inhalt durch den Ausdruck U berechnet wird, dargestellt.

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Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Ausdrücke an, mit denen der Flächeninhalt A besser als mit dem Ausdruck U angenähert werden kann.

• Aussage 1: \(5 \cdot \left( {f\left( 0 \right) + f\left( 5 \right) + f\left( {10} \right) + f\left( {15} \right)} \right)\)
• Aussage 2: \(2,5 \cdot \left( {f\left( 0 \right) + f\left( {2,5} \right) + f\left( 5 \right) + f\left( {7,5} \right) + f\left( {10} \right) + f\left( {12,5} \right)} \right)\)
• Aussage 3: \(\int\limits_0^{15} {f\left( x \right)\,\,dx} \)
• Aussage 4: \(f\left( 0 \right) \cdot 15\)
• Aussage 5: \(f\left( {15} \right) \cdot 5\)

[0 / 1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Benzinverbrauch bei der Fahrt auf einer Landstraße

Maria fährt mit ihrem Auto auf einer Landstraße eine Strecke von 10 km. Die Funktion b gibt den momentanen Benzinverbrauch b(s) (in L/km) in Abhängigkeit von der zurückgelegten

Strecke s (in km) seit Beginn der Fahrt an (siehe nachstehende Abbildung).

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Der Ausdruck V hat die Einheit L/km und wird mithilfe der nachstehenden Formel berechnet.
\(V = \dfrac{1}{{10}} \cdot \int\limits_0^{10} {b\left( s \right)} \,\,ds\)

Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie V im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]

AHS - 1_038 & Lehrstoff: AN 4.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Unbestimmtes Integral

Gegeben sind Aussagen über die Lösung eines unbestimmten Integrals. Nur eine Rechnung ist richtig. Die Integrationskonstante wird in allen Fällen mit c = 0 angenommen.

• Aussage 1: \(\int {3 \cdot \left( {2x + 5} \right)\,\,dx = {{\left( {6x + 5} \right)}^2}} \)
• Aussage 2: \(\int {3 \cdot \left( {2x + 5} \right)\,\,dx = 3{x^2} + 5x}\)
• Aussage 3: \(\int {3 \cdot \left( {2x + 5} \right)\,\,dx = {{\left( {6x + 15} \right)}^2}} \)
• Aussage 4: \(\int {3 \cdot \left( {2x + 5} \right)\,\,dx = 3 \cdot \left( {{x^2} + 5x} \right)} \)
• Aussage 5: \(\int {3 \cdot \left( {2x + 5} \right)\,\,dx = 3{x^2} + 15} \)
• Aussage 6: \(\int {3 \cdot \left( {2x + 5} \right)\,\,dx = 6{x^2} + 15x}\)

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die korrekte Rechnung an!

AHS - 1_227 & Lehrstoff: AN 4.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Integrationsregeln
Es sei f eine reelle Funktion und a eine reelle Zahl.

• Aussage 1: \(\int {a \cdot f\left( x \right)} \,\,dx = a \cdot \int {f\left( {x\,\,dx} \right)} \)
• Aussage 2: \(\int {f\left( {a \cdot x} \right)} \,\,dx = \int {f\left( a \right)} \,\,dx \cdot \int {f\left( x \right)} \,\,dx\)
• Aussage 3: \(\int {\left( {a + f\left( x \right)} \right)} \,\,dx = \int {a\,\,dx + \int {f\left( x \right)} } \,\,dx\)
• Aussage 4: \(\int {f\left( {a + x} \right)} \,\,dx = \int {f\left( a \right)} \,\,dx + \int {f\left( {x\,\,dx} \right)} \)
• Aussage 5: \({\int {f\left( x \right)} ^2}\,\,dx = \frac{{f{{\left( x \right)}^3}}}{3} + C\)

Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Funktionsgleichungen

Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = 3 \cdot {x^2} + 2\)

Aufgabenstellung:
Geben Sie die Funktionsgleichungen von zwei verschiedenen Funktionen F₁ und F₂ an, deren Ableitungsfunktion die Funktion f ist!
F₁(x) =
F₂(x) =

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Integrationsregeln

Zwei der nachstehend angeführten Gleichungen sind für alle Polynomfunktionen f und bei beliebiger Wahl der Integrationsgrenzen a und b (mit a < b) richtig.

• Aussage 1: \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) + x} \right)} \,\,dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx + \int\limits_a^b {x\,\,dx} \)
• Aussage 2: \(\int\limits_a^b {f\left( {2 \cdot x} \right)} \,\,dx = \frac{1}{2} \cdot \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\)
• Aussage 3: \(\int\limits_a^b {\left( {1 - f\left( x \right)} \right)} \,\,dx = x - \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\)
• Aussage 4: \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) + 2} \right)} \,\,dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} + 2\)
• Aussage 5: \(\int\limits_a^b {\left( {3 \cdot \left( x \right)} \right)} \,\,dx = 3 \cdot \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\)

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Stammfunktion

Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = {e^{2 \cdot x}}\)

• Aussage 1: \(F\left( x \right) = {e^{2 \cdot x}} + \dfrac{1}{2}\)
• Aussage 2: \(F\left( x \right) = 2 \cdot {e^{2 \cdot x}} - 1\)
• Aussage 3: \(F\left( x \right) = 2 \cdot {e^{2 \cdot x}}\)
• Aussage 4: \(F\left( x \right) = \dfrac{{{e^{2 \cdot x}}}}{2} + \dfrac{1}{2}\)
• Aussage 5: \(F\left( x \right) = {e^{2 \cdot x}}\)
• Aussage 6: \(F\left( x \right) = \dfrac{{{e^{2 \cdot x}}}}{2}\)

Aufgabenstellung:
Welche von den oben durch ihre Funktionsgleichungen angegebenen Funktionen F ist Stammfunktion von f und verlauft durch den Punkt P = (0|1)? Kreuzen Sie die zutreffende Antwort an!