Aufgabe 1060
AHS - 1_060 & Lehrstoff: AN 4.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bestimmte Integrale
Gegeben ist die Funktion \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x\)
Die nachstehende Tabelle zeigt Integrale
A | \(2 \cdot \int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)\,\,dx}\) |
B | \(\int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)} \,\,dx\) |
C | \(\int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)\,\,dx + \left| {\int\limits_2^3 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)\,\,dx} } \right|}\) |
D | \(\int\limits_0^1 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)\,\,\operatorname{dx} - \int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)\,\,dx} } \) |
E | \(\left| {\int\limits_2^3 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)\,\,dx} } \right|\) |
F | \(\int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)\,\,dx}\) |
Die nachstehende Tabelle zeigt Graphen der Funktion mit unterschiedlich schraffierten Flächenstücken.
- Graph 1:
- Graph 2:
- Graph 3:
- Graph 4:
Aufgabenstellung:
Beurteilen Sie, ob die obenstehend angeführten Integrale (aus A bis F) den Flächeninhalt einer der markierten Flächen der Graphen (1 bis 4) ergeben, und ordnen Sie entsprechend zu!
Deine Antwort | |
Graph 1 | |
Graph 2 | |
Graph 3 | |
Graph 4 |
Lösungsweg
Wie berechnet man das bestimmte Integral, wenn die Funktion f(x) im Intervall \(\left[ {a;b} \right]\) sowohl positive als auch negative Werte annimmt?
- Das bestimmte Integral ist nur für Funktionen die ausschließlich über der x-Achse liegen, gleich dem Flächeninhalt unter dem Graphen und über der x-Achse. Bedenke: Funktionen die ausschließlich über der x-Achse liegen, haben keine Nullstellen, allenfalls haben sie die x-Achse als Tangente an einen Wendepunkt für den y=0 gilt.
- Bei Funktionen die negativ werden, gehen Flächen oberhalb der x-Achse positiv in die Summe ein. Flächen unterhalb der x-Achse gehen negativ in die Summe ein. Man spricht hier von negativ orientierten Flächen.
Für das unbestimmte Integral gilt somit:
\(\eqalign{
& f(x) = \left( { - {x^2} + 2x} \right) \cr
& \int {f\left( x \right)} \,\,dx = \int\limits_a^b {\left( { - {x^2} + 2x} \right)} \,\,dx \cr} \)
In der oben stehenden Aufgabenanalyse haben wir bereits das unbestimmte Integral angeschrieben, nun gilt es noch jeder der 4 Graphen einem bestimmten Integral \(\int\limits_a^b {\left( { - {x^2} + 2x} \right)} \,\,dx\) samt den jeweils richtigen oberen/unteren Integrationsgrenzen "a", "b" zuzuordnen.
- Graph 1: a=1, b=2, die Fläche liegt ausschließlich oberhalb der x-Achse → Integral F
- Graph 2: a=2, b=3, die Fläche liegt ausschließlich unterhalb der x-Achse und deshalb ist das bestimmte Integral negativ. Um die Fläche zu erhalten muss man also den Betrag bilden → Integral E
- Graph 3: a=1, b=2, c=3 wir benötigen die Summe von 2 Integralen, da je eine Teilfläche oberhalb bzw. unterhalb der x-Achse liegt. Für die Teilfläche die unterhalb der x-Achse liegt mussen wir zudem den Betrag bilden → Integral C
- Graph 4: a=0, b=2, die Fläche liegt ausschließlich oberhalb der x-Achse. Es gibt aber kein bestimmtes Integral mit a=0 und b=2. Wir erkennen aber, dass die Fläche zwischen a=0 und c=1 bzw. zwischen c=1 und b=2 gleich groß ist. 2 mal die Fläche zischen a=1 und b=2 wird aber angeboten → Integral A
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Graph 1: Integral F
- Graph 2: Integral E
- Graph 3: Integral C
- Graph 4: Integral A
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe ist nur dann als richtig zu werten, wenn alle Buchstaben richtig zugeordnet sind.