Aufgabe 1183
AHS - 1_183 & Lehrstoff: AN 4.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flächenberechnung
Die Summe A der Inhalte der beiden von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossenen Flächen soll berechnet werden.
- Aussage 1: \(A = \int\limits_1^8 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx\)
- Aussage 2: \(A = \int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx + \int\limits_3^8 {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]} } \,\,dx\)
- Aussage 3: \(A = \left| {\int\limits_1^8 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx} } \right|\)
- Aussage 4: \(A = \int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx - \int\limits_3^8 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx\)
- Aussage 5: \(A = \left| {\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx} \right| + \left| {\int\limits_3^8 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx} \right|\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Formel(n) an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Will man die Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen berechnen, die einander schneiden, so muss man grundsätzlich eine Fläche links und eine zweite Fläche rechts vom Schnittpunkt berechnen.
- Am einfachsten ist es, man bildet in beiden Fällen die Fläche indem man "obere minus untere" Funktion rechnet und summiert die beiden Teilfächen anschließend auf.
- Das bedeutet für die rechte Fläche, dass die Reihenfolge der Funktionen umgekehrt zur linken Fläche ist. In unserem Fall: linke Fläche (f(x) - g(x)) während für die rechte Fläche (g(x) - f(x)).
- Diese Vorgehensregel gilt auch dann, wenn Teile der Fläche unterhalb der x-Achse liegen und ist somit eigentlich sehr einfach zu merken
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil zwischen links und rechts von dem Schnittpunkt zu unterscheiden ist.
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil man die Summe darum direkt bilden kann, weil in beiden Integralen "obere minus untere" Funktion gerechnet wurden.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil zwischen links und rechts von dem Schnittpunkt zu unterscheiden ist.
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil man durch das "Minus" die rechte negative Fläche wieder mit dem richtigen - positiven - Vorzeichen summiert. Die Fläche ist darum negativ, weil man nicht "obere minus untere" Funktion gerechnet hat.
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil man durch den "Betrag" die rechte negative Fläche wieder mit dem richtigen - positiven - Vorzeichen summiert. Die Fläche ist darum negativ, weil man nicht "obere minus untere" Funktion gerechnet hat.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau drei Aussagen angekreuzt sind und alle Kreuze richtig gesetzt sind.