Elektrotechnik und Physik
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
7. Schritt der Bildverarbeitung:
Sättigung (Saturation) anpassen
Sättigung
Neben dem Farbton (Hue) und der Helligkeit (Luminanz) ist die Sättigung (Saturation) das dritte von Menschen bei Farben empfundene Unterscheidungsmerkmal. Alle 3 Größen spannen einen HSL Farbraum auf. Unter der Sättigung versteht man die Intensität oder die Leuchtkraft einer Farbe. Sättigung 0% bedeutet „Weiß“, „Grau“ oder „Schwarz“. Mit zunehmender Sättigung werden aus grauen Tönen matte Töne und dann satte, kräftige Töne. Die Sättigung drückt den Unterschied der jeweiligen Farbe zu Grau aus.
In Adobe Lightroom gibt es für die Sättigungskorrektur im Bereich Präsenz zwei Regler:
- Sättigung
Der „Sättigungs“ Regler wirkt auf alle Farben gleichermaßen. Schiebt man diesen Regler bis zum linken Anschlag so erhält man ein entsättigtes Schwarz-Weiß-Foto. - Dynamik
Der „Dynamk“ Regler wirkt nicht auf bereits gesättigte Farben und schont Hauttöne.
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Wellengleichung - Gleichung eines Wellenfelds
Jedem Ort des Raumes (x, y, z) kann zu jedem Zeitpunkt t eine Feldstärke zugeordnet werden. Nachfolgende Gleichungen gelten für die lineare Schallausbreitung (Longitudialwelle) und ebenso für die lineare Ausbreitung von elektromagnetischen Tansversalwellen
1-Dimensionale Wellengleichung
\(\dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {x^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {t^2}}}\)
3-Dimensionale Wellengleichung
\(\dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {z^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {t^2}}}\)
3-Dimensionale Wellengleichung mit Laplace-Operator \(\Delta\)
\(\eqalign{ & \left( {{{{\partial ^2}} \over {\partial {x^2}}} + {{{\partial ^2}} \over {\partial {y^2}}} + {{{\partial ^2}} \over {\partial {z^2}}}} \right)\psi = {1 \over {{c^2}}} \cdot {{{\partial ^2}\psi } \over {\partial {t^2}}} \cr & \Delta \psi = {1 \over {{c^2}}} \cdot {{{\partial ^2}\psi } \over {\partial {t^2}}} \cr}\)
mit \({\nabla ^2} = \Delta {\text{ }}...{\text{ Laplace Operator}}\)
3-Dimensionale Wellengleichung mit d’Alembert Operator
\(\eqalign{ & \Delta \psi - \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {t^2}}} = \square \cr & \square ...{\text{ d'Alembert Operator}} \cr & \square \psi {\text{ = 0}} \cr}\)
8. Schritt:
Selektive Farbkorrektur gemäß dem HSL Farbmodell
Ein Farbsignal, etwa bei der Wiedergabe des Vorschaubildes am Monitor, setzt sich zusammen aus einem
- Chrominanz-Anteil für Farbton (Hue) und Sättigung (Saturation)
- Luminanz-Anteil für die Helligkeit, so wie sie von einem Monitor ausgegeben wird
Für das gesamte Vorschaubild haben wir bisher die Chrominanz- und die Luminanz-Werte angepasst.
- Farbton: Im 5. Schritt haben wir die den Farbton (Hue) angepasst bzw. einen Weißabgleich durchgeführt.
- Sättigung: Im 7. Schritt haben wir die Sättigung (Saturation) angepasst.
- Helligkeit: Im 4. Schritt haben wir die Helligkeit (Luminanz) angepasst.
Unterschied Luminanz und Lightness
Beides wird mit Helligkeit übersetzt.
- Luminanz bezeichnet die messtechnische Helligkeit, bei der Aufnahme mittels Kamerasensor und anschließender Digitalisierung im A/D-Konverter sowie bei der Ausgabe auf einem Display. Sie wird eher von Elektronikern verwendet.
- Lightness bezeichnet die subjektive Helligkeit im HSL Farbmodell und wird eher von Grafikern verwendet. Sie wird von Mensch zu Mensch anders wahrgenommen und unterliegt dem Weber-Fechner-Gesetz.
Beim HSL-Farbmodell werden die einzelnen Farbtöne über deren Lage in Grad am 360° umfassenden Farbkreis als reine Grundfarbe (Hue), als Sättigungswert (Saturation) in Prozent, sowie als Helligkeitswert (Lightness) in Prozent beschrieben. Es ist daher ein dreidimensionales Koordinatensystem zur Beschreibung erforderlich.
- H: Grundfarbe Hue
- Grundfarbe in Nanometer oder Hz gemessen
- Farbton, auch Buntton, als Grad Position auf dem Farbkreis
- S: Sättigung Saturation
- Sättigung als Leuchtkraft einer Farbe in %;
- Je geringer die Sättigung, umso matter erscheint die Farbe
- 0% = Grau, 100% voll gesättigte Farbe
- L: Helligkeit Lightness
- Helligkeit als subjektives Reflexionsvermögen einer Oberfläche, die nicht selbst leuchtet
- durch das Weber-Fechner-Gesetz beschrieben, demzufolge beim menschlichen Sehen kein linearer, sondern ein logarithmischer Zusammenhang zwischen der wahrgenommenen und der gemessenen Lichtintensität besteht
- Lässt man H und S konstant und verändert nur L, so variiert die Helligkeit der Farbe zwischen Weiß und Schwarz.
- Läst man H und L konstant, und verändert nur H, so variiert der Farbton zwischen Grau und voller Sättigung.
- Läßt man S und L konstant, und verändert nur H, so variiert man die Farbe von Rot ausgehend, entlang dem Farbkreis, bis man wieder bei Rot anlangt.
Nun kann es Sinn machen, die HSL-Werte selektiv für bestimmte Bildteile anzupassen. Z.B. um die Augen und die Lippen in einem Portrait oder das Wasser und den Himmel in einer Landschaftsaufnahme selektiv zu beeinflussen.
Für eine selektive Anpassung gemäß dem HSL-Farbmodells gibt es folgende 2 Möglichkeiten in Adobe Lightroom
1. Möglichkeit der selektiven Farbkorrektur
Im Bereich HSL gibt es
- drei Regler für die additiven RGB Grundfarben (Rot, Grün, Blau)
- drei Regler für die subtraktiven CYMK Grundfarben (Gelb, Aquamarin, Magenta)
- einen Regler für Orange, als Farbe zwischen Rot und Gelb
- Rot, Orange und Gelb beeinflussen speziell die Hautfarbe von Menschen.
- einen Regler für Lila bzw. Violett, als Farbe zwischen Blau und Magenta
- Blau, Lila und Magenta beeinflussen speziell die Farbe von Wasser und vom Himmel
Die additiven und subtraktiven Grundfarben liegen am Farbkreis mit einem Abstand von jeweils 60°. Zweimal werden die 60° Abstände halbiert, bei Orange und Lila.
- 1. Regler: 0°,100%,50% - Rot
- 2. Regler: 30°,100%,50% - Orange
- 3. Regler: 60°,100,50 - Gelb
- 4. Regler: 120°, 100%, 50% - Grün
- 5. Regler: 180°,100%,50% - Cyan / Türkis / Aquamarin / Blaugrün
- 6. Regler: 240°,100%,50% - Blau
- 7. Regler: 270°,100%,50% - Violett / Lila
- 8. Regler: 300°,100%,50% - Magenta
2. Möglichkeit der selektiven Farbkorrektur
Im Bereich Color-Grading kann man für die Helligkeitswerte "Tiefen", "Mitteltöne" und "Lichter" jeweils den Farbton, die Sättigung und die Lightness separat einstellen.
Wellenfunktion \(\psi\) eines freien Teilchens entlang der x-Richtung
Deterministische Ortsbestimmung
Eine Hauptaufgabe der klassischen Mechanik besteht darin, die Position eines Körpers im Raum zu einer beliebigen Zeit in Form einer Funktionsgleichung zu bestimmen. Wenn man die Position eines Körpers (Anfangsbedingung) zu einem konkreten Zeitpunkt x(t0) und die Funktionsgleichung x=x(t) kennt, kann man die Frage beantworten, woher der Körper kam (Vergangenheit) und wohin er sich bewegen wird (Zukunft). Man spricht von einem determinierten System.
Es gelten
- das Zeit-Geschwindigkeitsgesetz: \(v\left( t \right) = {v_0} + a \cdot t\)
- das Zeit-Ortsgesetz: \(x\left( t \right) = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2} + {v_0} \cdot t + {x_0}\)
mit
v(t) | Geschwindigkeit |
v0 | Anfangsgeschwindigkeit |
x0 | Ort vom Start |
a | Beschleunigung |
t | Zeit |
Nichtdeterministische Ortsbestimmung
In der Quantenmechanik wird einem Teilchen zur Positionsbestimmung die komplexe Wellenfunktion Ψ(x, t) zugeordnet
\(\Psi \left( {x,{\rm{ }}t} \right) = A \cdot {e^{ - j\omega \left( {t - \dfrac{x}{v}} \right)}} = A \cdot {e^{ - \dfrac{j}{\hbar }\left( {Et - px} \right)}}\)
die eine Lösung der Schrödingergleichung
\(i\hbar \cdot \dfrac{{\partial \Psi }}{{\partial t}} = - \dfrac{\hbar }{{2m}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}\Psi }}{{\partial {x^2}}} + V\Psi \)
ist, mit:
\(\begin{array}{l} E = h \cdot v = \hbar \cdot \omega \\ p = \dfrac{h}{\lambda } = \hbar \cdot k\\ k = \dfrac{{2\pi }}{\lambda }\\ \hbar = \dfrac{h}{{2\pi }} \end{array}\)
Das Integral der Wellenfunktion über den Ort x gemäß \(\int\limits_{x = a}^b {{{\left| {\Psi \left( {x,{\rm{ }}t} \right)} \right|}^2}} \,\,dx\) gibt die Wahrscheinlichkeit an, ein quantenmechanisches Teilchen bei einer Positionsbestimmung zum Zeitpunkt t zwischen a und b anzutreffen. In der Quantenmechanik gibt es also nur eine statistische Wahrscheinlichkeit für die Position eines Teilchens zu einem konkreten Zeitpunkt, aber keine deterministische Beschreibung. Man kann daher nicht sagen, woher das Teilchen kam, und wohin es sich bewegen wird. Vor der Messung war das Teilchen an keinem konkreten Ort, die Messung zwingt das Teilchen dazu, zu einem bestimmten Zeitpunkt einen bestimmten Ort einzunehmen und nach der Messung hat das Teilchen wieder keinen konkreten Ort, sondern nur eine neue Aufenthaltswahrscheinlichkeit, die eine andere ist, als die vor der Messung.
9. Schritt:
Schärfen und Rauschunterdrückung
Damit ein Bild überhaupt scharf wiedergegeben werden kann, ist es natürlich erforderlich, dass die Aufnahme ohne Verwackelung (also mit einer geeignet kurzen Belichtungszeit) und mit korrekter Entfernungseinstellung am Objektiv erfolgte. Wenn das der Fall ist, dann ist die Schärfe von Auflösung und Kontrast des schwächsten Glieds der Kette bestehend aus Objektiv und Kamerasensor abhängig.
Schärfe durch Auflösung
Ein objektives Kriterium für Schärfe ist, wenn ein Punkt im Motiv wieder als Punkt im Bild erscheint, und nicht als Streu- oder Unschärfekreis. Je mehr Details wiedergegeben werden, umso schärfer wirkt ein Bild. Umgekehrt, fehlen erwartbare Bilddetails, so wirkt das Bild unscharf. Die Schärfe wird also durch hochwertige Objektive und einen hochauflösenden Bildsensor gesteigert.
Nyquist-Grenze der maximalen Auflösung eines Kamerasensors:
Ein 6k bzw. 24 MP Kamerasensor mit 6000 x 4000 Pixel hat bei einer Sensorgröße von 36x24 mm 6000:36=166 Pixel je mm. Für eine Abfolge schwarz-weißer Linien sind mindestens 2 Pixel erforderlich. Somit kann der Sensor 166:2= 83 Linienpaare je Millimeter abbilden. Diesen Wert nennt man Nyquist-Grenze.
Modulationstransferfunktion MTF als Maßzahl für die maximale Auflösung vom Objektiv:
Die Auflösung eines Objektivs ist von der gewählten Blende abhängig und nimmt zu den Bildecken hin ab. Auch bei Objektiven wird die Auflösung in Linienpaaren je Millimeter gemessen. Die MTF gibt die Fähigkeit eines Objektivs an, Kontrast (Modulation) bei einer bestimmten Auflösung vom Objekt durch das Objektiv auf den Kamerasensor zu übertragen. Zur Messung der MTF bedient man sich Auflösungstestbilder, wie dem IEEE Auflösungstestbild.
Die Messungen werden mit der größten Blendenöffnung, der sogenannten Offenblende durchgeführt, da bei offener Blende die Vignettierung am stärksten ist. (Z.B.: f/1,2).
Zwei MTF Diagramme können nur bei gleicher Brennweite des Objektivs sinnvoll verglichen werden, da die Vignettierung bei Weitwinkelobjektiven viel stärker ist als bei Teleobjektiven. Dies ist physikalisch bedingt.
Das cos4-Gesetz gibt an, wie die Bildhelligkeit mit zunehmenden Bildwinkel \(\alpha \) von der Bildmitte ausgehend zu den Ecken hin abnimmt.
\(B\left( \alpha \right) = {B_0} \cdot {\cos ^4}\left( \alpha \right)\)
Illustration sagitaler und meridonaler Linienpaare, sowie Zusammenhang x-Achse im MTF-Diagramm und Abmessungen beim Vollformat-Sensor
Achsenbeschriftung vom MTF Diagramm
- Auf der horizontalen x-Achse wird die Entfernung in mm von der Mitte des Objektivs in Richtung des Objektivrands dargestellt.
- 0 mm entspricht der Mitte vom Objektiv
- 21,6 mm entspricht der maximalen Entfernung vom Mittelpunkt, also den Eckpunkten an der Diagonale, bei einer Sensorgröße von 24 x 36mm
- Auf der vertikalen y-Achse wird der Grad der Lichtdurchlässigkeit des Objektivs dargestellt.
- "1" entspricht 100% des einfallenden Lichts werden durchgelassen. Da es kein 100% transparentes Glas gibt, muss der Wert bei einem realen Objektiv kleiner als 1 sein.
- "0" entspricht das kein Licht durch das Objektiv durchgelassen wird, das entspricht Schwarz.
- "0,98" .. "0,45" sind reale Werte
4 Linien werden im MTF Diagramm dargestellt
- 2 x Sagittal, als durchgehende Linie im MTF Diagramm
- parallele Linienpaare, die wie die Radien konzentrischer Kreise zur Bildmitte weisen
- mit 10 Linien pro mm (unten im MTF)
- mit 30 Linien pro mm (oben im MTF)
- parallele Linienpaare, die wie die Radien konzentrischer Kreise zur Bildmitte weisen
- 2 x Meridional, als gestrichelte Linie
- parallele Linienpaare, die wie Tangenten an konzentrische Kreise verlaufen
- mit 10 Linien pro mm (unten im MTF)
- mit 30 Linien pro mm (Oben im MTF)
Illustration: MTF Diagramm eines hochwertigen Objektivs
- Sinkt die Lichtdurchlässigkeit auf 50% so entspricht das 1 LV bzw. 1 Blendenstufe.
- Sinkt die Lichtdurchlässigkeit auf 25% so entspricht das 2 LV bzw. 2 Blendenstufen.
- Sinkt die Lichtdurchlässigkeit auf 12,5% so entspricht das 3 LV bzw. 3 Blendenstufen.
- Sinkt die Lichtdurchlässigkeit auf 6,25% so entspricht das 4 LV bzw. 4 Blendenstufen.
Interpretation vom MTF Diagramm
- Der Bereich 0 bis 10mm entspricht der Bildmitte, der Bereich zwischen 15 und 21,6 entspricht den Bildecken.
- Je höher und umso flacher die Linien im MTF Diagramm verlaufen, umso hochwertiger ist das Objektiv.
- Oben verlaufende Linienabschnitte stehen für hohe Auflösung
- Horizontale Linien stehen für Objektive, die keinen Lichtabfall, also keine Vignettierung, zu den Ecken hin aufweisen. Auch bei hochwertigen Objektiven fallen die Linen gegen die Bildecken hin ab, was einer geringen Vignettierung entspricht.
- Die Abbildungsleistung eines Objektivs ist in alle Richtungen gleich, wenn die sagittale und die meridionalen Linien nahe beisammen liegen, andernfalls liegt optische Aberattion vor.
- Je enger die durchgehende sagittale und die gestrichelte meridionale Linie beisammen liegen, umso weicher ist der Unschärfeverlauf und umso schöner ist das Bokeh.
- Die Nyquist-Grenze eines 24 Megapixel Objektivs beträgt 83 Linienpaare je Millimeter (siehe weiter oben). Im MTF Diagramm wären diese Linien bereits sehr weit unten. D.h. selbst wenn der 24 MP Sensor in der Lage wäre so feine Strukturen aufzulösen, gelangen diese gar nicht durch das Objektiv bis zum Sensor. Aus diesem Grund ist dem Megapixel-Wahn bei Sensoren eine physikalische Grenze gesetzt.
Schärfe durch Kontrast
Damit man ein Bild subjektiv als scharf bezeichnet, müssen die Konturen, also die Kanten von einzelnen Objekten innerhalb des Bildes, deutlich erkennbar sein. Dafür ist ein Helligkeitsunterschied an den Kanten der Objekte erforderlich. Grenzen direkt schwarze und weiße Bildteile an einer Kante aneinander, dann ist der Kontrast und der damit verbundene Schärfeeindruck maximal.
Schärft man ein Bild nach, so erhöht man in der Bildverarbeitung selektiv den Kontrast entlang von Kanten.
Nachschärfen in der Bildbearbeitung
Adobe Lightroom – Details - Schärfen
Tipp: Die Regler auch mit gedrückter „ALT“-Taste bedienen.
- Betrag: Legt fest, wie stark der Kontrast an den Kanten erhöht wird
- 0: Keine Schärfung
- 150: Maximale Schärfung, Gefahr der Überschärfung
- Radius: Legt die Breite vom Bereich um das Pixel fest, für das der Kantenkontrast erhöht wird
- Regler kleiner 1für Bilder mit feinen Strukturen wählen
- Regler kleiner 1für Bilder mit feinen Strukturen wählen
- Details: Legt fest, wie weit Strukturen auseinander liegen müssen, damit sie geschärft werden.
- Ein hoher Wert betont Texturen
- Ein hoher Wert betont Texturen
- Maskieren: Wenn ruhige, gleichmäßige Bildflächen ungewollt mitgeschärft wurden, kann man mit Hilfe von „Maskieren“ diese Bereiche für dem Schärfen schützen. Der Regler gibt vor, wie hoch der Kontrast zwischen Strukturen sein muss, damit die Kante geschärft wird. Bei gedrückter „ALT“ Taste zeigt weiß die Stellen an, die geschärft werden
- 0 bedeutet, kein Kontrast erforderlich, das ganze Bild wird geschärft.
- je weiter der Regler rechts ist, umso weniger Bildteile werden geschärft, bzw. umgekehrt formuliert, umso mehr Bildteile werden vor den Nachschärfen bewahrt
Richtwerte zum Starten
Portrait | Landschaft | |
Betrag | 30 .. 40 | 40 .. 100, um Strukturen herauszuarbeiten |
Radius | 0,8 .. 1,2 mit „ALT“ sicherstellen, dass die Haut nicht geschärft wird. |
0,8 um Strukturen herauszuarbeiten |
Details | 10 .. 30 mit „ALT“ sicherstellen, dass nur „echte“ Kanten geschärft werden. |
30+ mit „ALT“ sicherstellen, dass nur „echte“ Kanten geschärft werden. |
Maskieren | Mit „Alt“ sicherstellen, dass nur Haare, Augen und die Gesichtsform geschärft werden, aber die Haut nicht geschärft wird. | Mit „Alt“ sicherstellen, dass Himmel und Wasser nicht geschärft werden |
Rauschreduzierung
Durch Rauschen im Bild wird aus einfärbigen strukturlosen Flächen beim Hineinzoomen ein Fleckerlteppich an Farben. Dieser Effekt tritt besonders dann auf, wenn man die Belichtung des fertigen Bildes stark gegenüber der physikalisch bedingten Belichtung des Sensors erhöht hat, zB durch die Wahl eines hohen ISO-Werts. Auch starke Helligkeits- bzw. Luminanz-Steigerungen bei der Bildverarbeitung, etwa im Histogramm der Helligkeiten oder der Gradationskurven bedingen Rauschen.
Man unterscheidet zwischen Luminanzrauschen und Chrominanzrauschen, da sich jedes Farbsignal aus einem
- Luminanzanteil (Helligkeit/Lightness)
- Chrominanzanteil (Farbton/Hue und Sättigung/Saturation) und einem
zusammensetzt.
Rauschreduzierung in der Bildbearbeitung
Adobe Lightroom – Details – Rauschreduzierung
Adobe Lightroom bietet im Bereich „Details“ die Möglichkeit dieses Rauschen zu reduzieren, was jedoch zu Lasten der Details und somit der Schärfe geht.
Luminanzrauschen
- Luminanz: reduziert das Luminanzrauschen zu Lasten der Schärfe, dh das Bild wird weichgezeichnet
- Details: Legt den Schwellwert fest, ab dem die Luminanzrauschunterdrückung wirkt
- Kontrast Legt den Luminanzkontrast (Kontrast zwischen hellen und dunkeln Bildstellen) fest, ab dem die Luminanzrauschunterdrückung wirkt
Chrominanzrauschen
- Farbe: reduziert das Rauschen und Flimmern in monochromen, strukturlosen Flächen
- Details: Legt den Schwellwert fest, ab dem die Rauschreduzierung wirkt
- Glättung: Glättet monochrome strukturlose Flächen
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Vom Photon zum Foto - 3. Teil: Bildbetrachtung
Die Bildbetrachtung erfolgt mittels eines Bildschirmes oder mittels eines Ausdrucks.
Bildschirme
- Smartphone: Die überwiegende Anzahl an Fotos wird mittels der Kamera vom Smartphone gemacht, automatisch bearbeitet, als JPEG-Datei abgespeichert und am kleinen Bildschirm vom Smartphone betrachtet.
- Monitor: Der Unterschied zwischen Monitoren und TV-Geräten ist heute sehr klein geworden. Es gibt spezielle farbechte, kalibrierbare Monitore, während bei TV-Geräten eher Bilddiagonale, Spitzenhelligkeit und Audioqualität im Vordergrund stehen.
Ausdruck auf Papier
- Ausdrucke bis maximal DIN A2
- DIN A3 entspricht ca. einem Achtel Quadratmeter und eignet sich mit 21 x 29,7 cm für Fotobücher. Bei 300 dpi sind dafür 3508 x 4961 = 17,4 Megapixel erforderlich
- DIN A2 entspricht ca. einem Viertel Quadratmeter und eignet sich mit 42 x 59,4 cm für große Wandkalender. Bei 300 dpi sind dafür 4961 x 7016 = 34,8 Megapixel erforderlich
- Ausdrucke größer als DIN A2
- Ein Ausdruck von DIN A0 entspricht 84,1 x 118,9 cm und eignen sich mit 1 Quadratmeter für Werbeposter. Bei 300 dpi sind dafür 9933 x 14043 = 140 Megapixel erforderlich. Das ist die derzeitige Obergrenze an physikalischen Pixel auf einem Kamerasensor.
Zusammenhang zwischen der Auflösung des menschlichen Auges und der Anzahl der Pixel auf einem Kamerasensor
Die Auflösung des Auges, also die Fähigkeit feine Einzelheiten zu erkennen, bzw. die getrennte Auflösung zweier scheinbar *) eng beieinander liegender Objekte wird Trennschärfe oder Auflösungsvermögen genannt. Der Sehwinkel liegt beim menschlichen Auge bei ca. 1 Bogenminuten am Tag und beim doppelten Wert bei Nacht. Eine Auflösung von 1 Bogenminute wird vom Optiker als Visus 1,0 bezeichnet. *) "Scheinbar, weil in der Astronomie 2 Sterne die sehr weit hintereinander liegen, dennoch scheinbar eng nebeneinander liegen können.
Auf der gesamten Netzhaut des menschlichen Auges liegen 120 Millionen Stäbchen für die Helligkeitswerte und 6 Millionen Zapfen für die Farbwerte, somit ergäben sich 126 Megapixel. Geht man jedoch für scharfes Sehen von einem horizontalen Bildwinkel von 40°und einem vertikalen Bildwinkel von 30° und einer Auflösung von 1 Bogenminute (=0,016667°) aus, so entspricht dies
- (40°/0,016667°=) 2.400 Pixel horizontal
- (30°/0,016667°=) 1.800 Pixel vertikal
- also einem Kamerasensor mit (2.400 * 1.800=) 4,32 Megapixel.
Beispiel:
Welchen Abstand müssen 2 Punkte in 1m Entfernung haben, damit sie das Auge gerade noch als getrennt erkennen kann?
\(\eqalign{ & 1{\text{ Bogenminute}} = \frac{{1^\circ }}{{60}};{\text{ }}{\text{Entfernung}} = 1{\text{m; Abstand d = 2x = ?}} \cr & \tan \left( {\frac{{0,5^\circ }}{{60}}} \right) = \frac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \frac{x}{1} \cr & \cr & \tan \left( {\frac{{0,5^\circ }}{{60}}} \right) = \frac{x}{1} \to x = 1 \cdot \tan \left( {\frac{{0.5^\circ }}{{60}}} \right) \approx 0,000145{\text{m}} \to \cr & \cr & \to d = 2 \cdot x \approx 0,00029{\text{m}} \approx 0,29{\text{mm}} \cr} \)
Somit:
- In 1m Abstand kann das Auge daher 2 Punkte dann als getrennt wahrnehmen, wenn ihr Abstand größer als 0,29 mm beträgt.
- In 5m Abstand kann das Auge daher 2 Punkte dann als getrennt wahrnehmen, wenn ihr Abstand d > 1,45 mm beträgt.
Bei einem Visus=1 kann der Mensch in einem Abstand von 5m noch 1,5 mm kleine Details an einem Objekt erkennen. - In 100m Abstand kann das Auge daher 2 Punkte dann als getrennt wahrnehmen, wenn ihr Abstand größer als 2,9 cm beträgt.
- In 1km Abstand kann das Auge daher 2 Punkte dann als getrennt wahrnehmen, wenn ihr Abstand größer als 0,29 m beträgt.
Zusammenhang zwischen dem Dynamikumfang des menschlichen Auges, eines Kamerasensors und einem Monitor
Der Dynamikumfang ist ein Maß für den Helligkeitsunterschied zwischen der dunkelsten und der hellsten Stelle in einer Aufnahme und wird in Blendenstufen gemessen. Einer Blendenstufe entspricht eine Verdoppelung der Lichtmenge.
- 12 Blendenstufen eines professionellen Kamerasensors entsprechen daher einer ver-4.096-fachung der Lichtmenge von der dunkelsten zur hellsten Stelle im Bild.
- In der Natur beträgt der Unterschied zwischen einer von Sternenlicht ausgeleuchteten Landschaft im Unterschied zu einer von der prallen Sonne am Meer ausgeleuchteten Landschaft ca. 23 Blendenstufen, also der 8,3 millionenfachen Lichtmenge.
Die Iris bzw. die Pupille des Auges entspricht der Blende im Objektiv. Beide steuern wie viel Licht auf die Netzhaut bzw. den Kamerasensor fällt.
- Das menschliche Auge hat einen Dynamikumfang von 20 Blendenstufen, wobei das Auge folgenden Trick anwendet: Schaut man in die hellen Teile einer Szene, so blendet das Auge ab, indem es die Pupille, das ist das Loch in der Mitte der Iris, verkleinert. So wird die Lichtmenge reduziert und man kann Farbnuancen und Details in den hellen Bereichen erkennen. Fokussiert man in den dunklen Teil derselben Szene, so blendet das Auge auf, indem es die Pupille erweitert und man kann Farbnuancen und Details in den dunklen Bereichen erkennen. Im Gehirn entsteht so ein High-Dynamic-Range Abbild der Wirklichkeit.
- Der Sensor einer professionellen Digitalkamera hat bei Aufnahmen im RAW-Format einen Dynamikumfang
- von 12 Blendenstufen bei Einstellung auf ISO 100
- von 8 Blendenstufen bei ISO 1.600 und
- von 3,5 Blendenstufen bei Einstellung auf ISO 51.200.
- Der Sensor eines modernen Smartphones hat einen Dynamikumfang
- von 7 Blendenstufen bei Einstellung auf ISO 25 und
- von 4,5 Blendenstufen bei Einstellungen zwischen ISO 200 und ISO 1.600.
Bei einem hohen Dynamikumfang spricht man auch von einem hohen Kontrast im Bild. Bei Aufnahmesituationen mit zu hohem Kontrast kann man zwischen 2 Übeln wählen:
- Man belichtet die hellen Stellen (den Himmel) richtig und die dunklen Stellen (Bäume im Gegenlicht) „saufen ab“.
- Man belichtet auf die dunklen Stellen (die Landschaft) richtig und die hellen Stellen (Wolken im Himmel) „fressen aus“.
Dem Dynamikumfang einer Aufnahme kommt dreimal Bedeutung zu:
- Bei der Aufnahme (Sensor, gewähltes Datei-Speicherformat jpg oder RAW)
- Bei der Nachbearbeitung der RAW-Datei und deren Abspeicherung etwa als 32-Bit DNG-Datei.
- Bei der Wiedergabe der Datei mit der bearbeiteten Aufnahme am Monitor.
Grenzen des sinnvollen Dynamikumfangs bei High Dynamic Range - Bildern
Wenn der Sensor 12 Blendenstufen Dynamikumfang aufweist und man durch eine Belichtungsreihe noch 2x2 Blendenstufen in der HDRI-Bearbeitung hinzufügt, der Monitor aber keine (12+2+2=) 16 Blendenstufen darstellen kann, dann hat man nichts gewonnen. Daher werden HDR-Bilder nicht mit den 16 Blendenstufen abgespeichert, sondern mit weniger Blendenstufen, wobei aber in den Tiefen und Lichtern mehr Zeichnung erhalten bleibt, als sie bei einer regulären Einzelbelichtung vorhanden wären.
Maßzahl, Größe und Einheit
Physikalische Größen sind das Produkt aus einer Maßzahl mit einer Einheit.
Größe = Maßzahl x Einheit
Maßzahl
Die Maßzahl gibt den Betrag (Menge, Stückzahl,...) als eine konkrete Zahl aus der Menge der reellen Zahlen an.
Basisgröße
Die Größe(nart) legt fest, um welche physikalische Größe es sich handelt. Es gibt sieben voneinander unabhängige Basisgrößen.
Abgeleitete Größe
Aus den sieben von einander unabhängigen Basisgrößen setzen sich alle anderen physikalischen Größen zusammen.
Basiseinheit
Jeder der sieben Basisgrößen ist eine Basiseinheit und ein Einheitenzeichen zugeordnet. Manche Basiseinheiten sind von anderen Basiseinheiten abhängig. So geht etwa in die Definition von der Basiseinheit "Meter" die Basiseinheit "Sekunde" ein. Die Einheit umfasst auch die Zehnerpotenz der Maßzahl. Zum Beispiel für 103 steht Kilo, für 106 steht Mega oder für 10-9 steht nano vor der eigentlichen Einheit.
Einheit
Einheiten dienen dazu Größen zu messen. Für abgeleitete Größen verwendet man Einheiten, die sich aus Basiseinheiten zusammen setzen.
Beispiel:
Zwei Holzstücke mit 7cm bzw. 7m Länge. Diese beiden physikalischen Größen setzen sich zusammen aus
- einer Maßzahl, die den Betrag angibt (in beiden Fällen "7")
- einer Größe(nart), die festlegt um welche Qualität es sich handelt (in beiden Fällen "Länge")
- einer Einheit, die festlegt wie der Betrag abzuzählen ist (im Beispiel "cm" bzw. "m")
Beispiel:
Vergleiche 7m, 7cm
Wir bringen auf die gleiche Einheit "m"
7cm = 0,07m
Nun können wir die Werte an Hand ihrer Zahlenwerte wie folgt vergleichen
7m > 0,07m=7cm
Ein Holzstück von 7m Länge ist länger als ein Holzstück mit einer Länge von 7cm.
7 SI Basisgrößen und ihre Basiseinheiten
Die 7 Basisgrößen sind von einander unabhängige Grundgrößen der Physik. SI steht für „Système international d’unités“, das ist das am weitesten verbreitete internationale Einheitensystem.
Basisgröße, Formelzeichen | Basiseinheit | Einheitszeichen |
Länge l | Meter | m |
Masse m | Kilogramm | kg |
Zeit t | Sekunde | s |
elektrische Stromstärke I | Ampere | A |
Temperatur T | Kelvin | K |
Stoffmenge n | Mol | mol |
Lichtstärke Iv | Candela | cd |
SI abgeleitete Größen und ihre Einheiten
Während die 7 Basisgrößen von einander unabhängig sind, haben daraus zusammengesetzte, sogenannte abgeleitete Größen entsprechende abgeleitete Einheiten. Wichtige abgeleitete Größen und ihre Einheiten sind
Abgeleitete physikalische Größe, Formelzeichen | Einheit | Einheitszeichen |
Fläche A | Quadratmeter | m² |
Volumen V | Kubikmeter | m³ |
Geschwindigkeit v | Kilometer pro Stunde | m/s |
Beschleunigung a | Meter pro Sekundenquadrat | m/s² |
mechanische Kraft F | Newton | N |
Frequenz f | Herz | Hz |
Arbeit W, Energie E, Wärmemenge Q | Joule | J |
mechanische Leistung P | Watt | W |
Druck p | Pascal | Pa |
Lichtstrom Φ | Lumen | lm |
Beleuchtungsstärke E | Lux | lx |
SI abgeleitete Größen und ihre Einheiten aus der Elektrotechnik
Während die 7 Basisgrößen von einander unabhängig sind, haben daraus zusammengesetzte, sogenannte abgeleitete Größen entsprechende abgeleitete Einheiten. Wichtige abgeleitete Größen und ihre Einheiten aus dem Gebiet der Elektrotechnik sind
Abgeleitete elektrotechnische Größe, Formelzeichen | Einheit | Einheitszeichen |
magnetische Feldstärke \({\overrightarrow H }\) | Ampere pro m | A/m |
elektrische Feldstärke \({\overrightarrow E }\) | Volt pro m | V/m |
Spannung U | Volt | V |
Arbeit W, Energie E | Joule | J |
elektrische Ladung Q | Coulomb | C |
elektrische Leistung P | Watt | W |
ohmscher Widerstand R | Ohm | \(\Omega\) |
elektrische Kapazität C | Farad | F |
magnetische Induktivität L | Henry | H |
magnetischer Fluss \(\Phi\) | Weber | Wb |
magnetische Flussdichte \({\overrightarrow B }\) | Tesla | T |
Physikalische Größen - Auswahl und Definition gemäß Formelsammlung AHS
Größe | Formel | Formel | Formel |
Dichte ρ | \(\rho = \dfrac{m}{v}\) | ||
Leistung P | \(P = \dfrac{{\Delta E}}{{\Delta t}}\) | \(P = \dfrac{{\Delta W}}{{\Delta t}}\) | \(P = \dfrac{{dW\left( t \right)}}{{dt}}\) |
Kraft F | \(F = m \cdot a\) | \(F = \dfrac{{dW}}{{ds}}\) | |
Arbeit | \(W = F \cdot s\) | \(W = \int {F\left( s \right)\,\,\operatorname{ds} }\) | |
kinetische Energie Ekin | \({E_{kin}} = \dfrac{{m \cdot {v^2}}}{2}\) | ||
potentielle Energie Epot | \({E_{pot}} = m \cdot g \cdot h\) | ||
gleichförmige geradlinige Bewegung v(t) | \(v = \dfrac{s}{t}\) | \(v = \dfrac{{ds}}{{dt}}\) | \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \dfrac{{ds}}{{dt}}\) |
gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung a(t) | \(v = a \cdot t + {v_0}\) | \(a = \dfrac{{dv}}{{dt}}\) | \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = \dfrac{{dv}}{{dt}} = s''\left( t \right) = \dfrac{{{d^2}s}}{{d{t^2}}}\) |
Bewegungsvorgänge - Auswahl und Definition gemäß Formelsammlung BHS
Größe | Formel |
Zeit t | \(t\) |
Weg-Zeit-Funktion s(t) | \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} \,\,dt\) |
Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v(t) | \(v(t) = s'\left( t \right) = \mathop s\limits^ \bullet = \dfrac{{ds}}{{dt}} = \int {a\left( t \right)} \,\,dt\) |
Beschleunigung-Zeit-Funktion a(t) | \(a\left( t \right) = s''\left( t \right) = \mathop s\limits^{ \bullet \bullet } = \dfrac{{{d^2}s}}{{d{t^2}}} = v'\left( t \right) = \mathop v\limits^ \bullet = \dfrac{{dv}}{{dt}}\) |
Anmerkung zur auf Universitäten üblichen Kurzschreibweise von "Ableitungen nach der Zeit": Die Notation mit einem "Punkt" über dem Formelzeichen bedeutet, dass es sich um die 1 Ableitung nach der Zeit handelt. Zwei "Punkte" bedeuten, dass es sich um die 2. Ableitung nach der Zeit handelt.
Größen und ihre Einheiten - Auswahl gemäß Formelsammlung AHS
Größe | Einheit | Symbol | Beziehung zu SI-Einheiten |
Temperatur T | Grad Celsius Grad Kelvin |
°C K |
\(\Delta t = \Delta T\) |
Frequenz f | Hertz | Hz | \(1 \cdot Hz = 1 \cdot {s^{ - 1}}\) |
Arbeit W, Energie E, Wärmemenge Q | Joule | J | \(1 \cdot J = 1 \cdot kg \cdot {m^{2}}\cdot s^{ - 2}\) |
Kraft F | Newton | N | \(1 \cdot N = 1 \cdot kg \cdot m \cdot {s^{ - 2}}\) |
Drehmoment M | Newtonmeter | \(N \cdot m\) | \(1 \cdot N \cdot m = 1 \cdot kg \cdot {m^2} \cdot {s^{ - 2}}\) |
Elektrischer Widerstand R | Ohm | \(\Omega\) | \(1 \cdot \Omega = 1 \cdot V \cdot {A^{ - 1}} = 1 \cdot kg \cdot {m^2} \cdot {A^{ - 2}} \cdot {s^{ - 3}}\) |
Druck p | Pascal | Pa | \(1 \cdot Pa = 1 \cdot N \cdot {m^{ - 2}} = 1 \cdot kg \cdot {m^{ - 1}} \cdot {s^{ - 2}}\) |
Elektrische Stromstärke I | Ampere | A | \(1 \cdot A = 1 \cdot C \cdot {s^{ - 1}}\) |
Elektrische Spannung U | Volt | V | \(1 \cdot V = 1 \cdot J \cdot {C^{ - 1}} = 1 \cdot kg \cdot {m^2} \cdot {A^{ - 1}} \cdot {s^{ - 3}}\) |
Leistung P | Watt | W | \(1 \cdot W = 1 \cdot J \cdot {s^{ - 1}} = 1 \cdot kg \cdot {m^2} \cdot {s^{ - 3}}\) |
Temperatur T
Die Temperatur T ist eine skalare Zustandsgröße einen Körpers, gemessen in °C oder K, und ist unabhängig von dessen Größe oder Masse. Die Temperatur ist ein Maß für die mittlere kinetische Energie der Moleküle eines Körpers, man kann auch sagen, sie ist ein Maß für die Stärke der atomaren Unruhe. Die Menge der atomaren Unruhe bezeichnet man hingegen als Entropie.
\({E_{kin}} = \dfrac{3}{2} \cdot kT = \dfrac{1}{2}m{v^2}\)
p | Druck in bar |
V | Volumen des Gases in m³ |
N | Teilchenzahl |
k | Bolzmann-Konstante k=1,381.10-23 J/K |
R | universelle Gaskonstante \(R = 8,314\,\,\dfrac{J}{{mol \cdot K}}\) |
T | Absolute Temperatur in K |
Q | Wärme bzw. Wärmemenge in Joule |
H | Enthalpie oder Wärmeinhalt eines Systems in Joule |
S | Entropie als Maß für die Unordnung in J/K |
U | innere Energie eines Systems (Reaktionswärme) in Joule |
n | Stoffmenge in mol |
c | Substanzabhängige, spezifische Wärmekapazität in \(\dfrac{J}{{kg \cdot K}}\) |
m | Masse der Substanz in kg |
TE | Endtemperatur in K |
TA | Anfangstemperatur in K |
Wärme Q
Wärme ist eine Prozessgröße und bezeichnet die Energie die zwischen 2 Systemen unterschiedlicher Temperatur bei Wärmekontakt ausgetauscht wird, bis die Mischtemperatur vorliegt, ohne dass Arbeit verrichtet wird. Die Einheit der Wärme ist das Joule.
Wärmemenge Q
Die Wärmemenge Q ist erforderlich, um eine Substanz mit der spezifischen Wärmekapazität c um eine bestimmte Temperaturdifferenz (TE-TA) zu erwärmen. Je größer die Temperaturdifferenz, umso mehr Wärmemenge muss man zuführen. Die materialabhängige Wärmekapazität ist ihrerseits temperaturabhängig.
\(Q = c \cdot m \cdot \left( {{T_E} - {T_A}} \right)\)
Typische Wärmekapazitäten betragen:
\(\eqalign{
& {\text{Luft: }}710 \cdot \dfrac{J}{{kg \cdot K}} \cr
& {\text{Wasser: }}4000 \cdot \dfrac{J}{{kg \cdot K}} \cr
& {\text{Wasserstoff: 14}} \cdot \dfrac{J}{{kg \cdot K}} \cr
& \cr} \)
Der Wärmeenergieinhalt pro kg Luft bei 300K = 27°C errechnet sich zu: 710x300 = 213.000 J
Innere Energie U
Die innere Energie entspricht der Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems. Als solche ist sie konstant. Bei einem idealen Gas hängt die innere Energie nur von der Temperatur des Gases ab. Die Einheit der inneren Energie ist das Joule.
\(\begin{array}{l} U = \dfrac{3}{2} \cdot N \cdot k \cdot T\\ \Delta U = 0 = \Delta Q + \Delta W \end{array}\)
Enthalpie H
Die Enthalpie H ist das Maß für den Wärmeinhalt eines Systems. Sie setzt sich zusammen aus der inneren Energie und der sogenannten Volumensarbeit. Das ist die Arbeit die gegen den Druck zu verrichten ist, um das Volumen zu verändern. Die Einheit der Enthalpie ist das Joule.
\(H = U + p \cdot V\)
Entropie S
Die Entropie S ist eine fundamentale thermodynamische Zustandsgröße, deren Einheit Joule pro Kelvin ist. Sie hängt als mengenartige Eigenschaft eines Körpers von dessen Größe, Masse, Temperatur ab. Man kann sagen sie ist ein Maß für die Menge der atomaren Unruhe in einem Körper. Die Stärke der atomaren Unruhe kennen wir als Temperatur. Die in einem System gespeicherte Entropie ändert sich bei der Aufnahme oder Abgabe von Wärme Q.
\(\Delta S = \dfrac{{\Delta Q}}{T} = k.\ln W\)
W ist die thermodynamische Wahrscheinlichkeit.
D.h. man kann Entropie aus einem System heraus und in ein anderes System hineinleiten. Dann wird der erste Gegenstand kälter und der zweite Gegenstand wärmer. Ohne Entropie gibt es weder Temperatur noch Wärme.
Entropie verteilt sich in einem gleichförmigen Körper von selbst gleichmäßig. Entropie kann durch Energiezufuhr leicht erzeugt werden, sie kann aber nur abgeleitet werden, niemals aber abnehmen. Der Vorgang von Entropie-Erzeugung ist irreversibel. Entropie ist ein Maß für die Menge an atomarer Unordnung hinsichtlich Lage und Bewegung in einem Körper.
Bolzmann-Konstante k
Die Bolzmann Konstante k erlaubt die Berechnung der mittleren thermischen Energie eines Teilchens aus dessen Temperatur. Die Einheit der Bolzmann-Konstante ist Energie gebrochen durch Temperatur.
k=1,381.10-23 J/K.
Ideales Gasgesetz
Die Bolzmann-Konstante kommt auch im idealen Gasgesetz vor. Das ideale Gasgesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen Druck und Volumen auf der einen Seite sowie der Temperatur und der Stoffmenge auf der anderen Seite.
\(p \cdot V = N \cdot k \cdot T = n \cdot R \cdot T\)
Boyle-Mariotte'sches Gasgesetz
Das Gasgesetz von Boyle und Mariotte besagt, dass Druck und Volumen eines idealen Gases indirekt proportional zu einander sind, wenn die Temperatur und die Teilchenanzahl des Gases unverändert bleibt. So geht die Halbierung des Volumen mit einer Verdoppelung vom Druck einher.
\({\rm{p}} \cdot {\rm{V = const}}\)
Absoluter Nullpunkt der Temperatur
Der „absolute Nullpunkt der Temperatur“ liegt bei 0K = -273,12°C. Kälter geht es nicht, denn dann haben alle Teilchen Null als kinetische Energie bzw. ist der Druck eines idealen Gases ebenfalls Null.
Nach oben hat die Temperatur anscheinend keine Grenze. An der Sonnenoberfläche beträgt sie 8.000 K im Sonneninneren 15 Millionen K und am höchsten war die Temperatur am Zeitpunkt der kleinsten physikalisch sinnvollen Zeitangabe nach dem Urknall, zur sogenannten Planck-Zeit mit 10-43 Sekunden, wobei damals die Planck-Temperatur von 1032 K herrschte.
0°C = Schmelzpunkt des Wassers;
100°C = Siedepunkt des Wassers;
Thermometer
Thermometer messen physikalische Größen (Länge von Metall) die sich mit der Temperatur ändern.
Thermodynamik
Die früher Wärmelehre genannte Thermodynamik beschäftigt sich mit Prozessen der Energieumwandlung sowie mit Zustandsänderungen von Körpern wenn Wärme zu- oder abgeführt wird. Ihre Basis sind die 4 Hauptsätze der Thermodynamik. Da der grundlegendste Hauptsatz nach den ersten drei Hauptsätzen entdeckt wurde, trägt er die Nummer Null.
0. Hauptsatz der Thermodynamik
Zwei Systeme die sich in thermodynamischen Gleichgewicht mit einem dritten System befinden, sind auch untereinander in thermodynamischen Gleichgewicht. Zwei mit einander in Kontakt stehender Systeme haben nach allfälligen Ausgleichsvorgängen die gleiche Temperatur.
1. Hauptsatz der Thermodynamik
Die Änderung der inneren Energie eines geschlossenen Systems ist gleich der Summe aus der Änderung der Wärme und der Änderung der Arbeit. Die innere Energie eines geschlossenen Systems ist konstant. \(\Delta U = \Delta Q + \Delta W\). In einem geschlossenen System kann der Gesamtbetrag der Energie weder vergrößert noch verkleinert werden. Es können lediglich die verschiedenen Energiearten ineinander umgewandelt werden. Ein Perpetuum Mobile 1 Art, also eine Vorrichtung die ohne äußerer Energiezufuhr in ständiger Bewegung bleibt, ist unmöglich.
Der 1. thermodynamische Hauptsatz (Energieerhaltungssatz) besagt, dass in einem abgeschlossenem physikalischen System Energie weder erzeugt noch vernichtet, sonder nur in eine andere Energieform umgewandelt werde kann. Die Differenz von zugeführter und nutzbarer Leistung ergibt die Verlustleistung, die meist über Reibung in Wärmeleistung umgewandelt und abgegeben wird.
\({P_{{\text{Verlust}}}} = {P_{{\text{zugef}}{\text{.}}}} - {P_{{\text{Nutz}}}}\)
Die Änderung der inneren Energie eines abgeschlossenen Systems ist gleich der Summe der Änderung der enthaltenen Wärme und der Änderung der Arbeit:
\(\Delta U = \Delta Q + \Delta W\)
2. Hauptsatz der Thermodynamik
Wärmeenergie kann von selbst nur von Materie mit hoher Temperatur auf Materie mit niedriger Temperatur übertragen werden. Im thermodynamischen Gleichgewicht hat ein System eine möglichst große Entropie (Sie ist eine Größe, mit deren Hilfe man die Irreversibilität eines Vorganges kennzeichnen kann). Die Entropie \(S = S\left( {p,V,T} \right)\) eines abgeschlossenen Systems wird nie von alleine kleiner. Ein Perpetuum Mobile 2. Art, welches die vollständige Umwandlung von Wärmeenergie in mechanische Energie erlaubt, ist unmöglich
3. Hauptsatz der Thermodynamik
Der 3. Hauptsatz besagt, dass es keinen Prozess gibt, mit dem es möglich ist, selbst mit unendlich vielen Schritten, den absoluten Nullpunkt zu erreichen. \(\mathop {\lim }\limits_{T \to 0} \Delta S = 0\). Bei der Annäherung an den absoluten Nullpunkt konvergiert die Entropie gegen Null.
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Fourier-Reihe
Periodische Funktionen können als (additive) Überlagerung von Sinus- und Kosinusfunktionen (Superposition) beliebig genau approximiert werden. Die Frequenzen der Sinus- und Kosinusfunktionen sind ganzzahlige Vielfache (k) der Grundfrequenz \({\omega _1}\). Die Fourier-Reihenentwicklung kann nur auf periodische Funktionen angewendet werden. Für nichtperiodische Funktionen benötigt man die Fourier-Transformation.
Fourier Analyse
Bei der Entwicklung einer periodischen Funktion f(t) in eine Fourier Reihe handelt es sich physikalisch gesehen um die Transformation eines periodischen Vorgangs in eine Summe von einzelnen harmonischen Schwingungen. Das Berechnen der einzelnen harmonischen Funktionen, die - durch Überlagerung (Summation) - eine vorgegebenen periodischen Funktion annähern, nennt man Fourier Analyse.
Die Fourier Koeffizienten ak und bk entsprechen den Amplituden der entsprechenden Schwingungsanteile (so genannte "Harmonische"). Damit man diese Koeffizientenformeln auch auf den Fall k=0 anwenden kann, wird in der Fourier Reihe, das den arithmetischen Mittelwert darstellende, zeitunabhängige Glied mit \(\dfrac{{{a_0}}}{2}\) angesetzt. Für die Fourier Koeffizienten ak und bk gilt, dass sie für \(k \to \infty \) gegen Null konvergieren. Daher kann man über die Anzahl der berechneten Harmonischen die Genauigkeit der Approximation von f(t) durch die Fourier Reihe beeinflussen.
Fouriersche Reihenentwicklung
Eine periodische Funktion \(f\left( t \right) = f\left( {t + T} \right)\) kann durch eine trigonometrische (Fourier-) Reihe, also durch eine Summe von harmonischen Schwingungen, dargestellt werden. Dabei treten neben der Grundfrequenz \({\omega _1}\) nur ganzzahlige Vielfache von ebendieser auf.
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = \dfrac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( {{a_k} \cdot \cos \left( {k{\omega _1}t} \right) + {b_k} \cdot \sin \left( {k{\omega _1}t} \right)} \right)} \cr & = \dfrac{{{a_0}}}{2} + {a_1} \cdot \cos \left( {1{\omega _1}t} \right) + {a_2} \cdot \cos \left( {2{\omega _1}t} \right) + ... + {b_1} \cdot \sin \left( {1{\omega _1}t} \right) + {b_2} \cdot \sin \left( {2{\omega _1}t} \right) + ... \cr} \)
Mit den Harmonischen: \({\omega _1} = \dfrac{{2\pi }}{T}\)wobei die niedrigste Frequenz \({\omega _1}\)als Grundharmonische bzw. Grundwelle bezeichnet wird und die übrigen Schwingungen mit höheren Harmonischen (2. Harmonische, 3. Harmonische) bzw. Oberwellen bezeichnet werden.
Formeln für die Berechnung der fourierschen Koeffizienten
Um für eine konkrete gegebene periodische Funktion die Fourierreihe bilden zu können, sind deren (Fourier)Koeffizienten a0, ak und bk zu bestimmen. Für die Fourier Koeffizienten gilt, dass sie für \(k \to \infty \) gegen Null konvergieren, gleichzeitig geht auch der Restfehler (also die Abweichung zwischen f(t) und der Approximation durch die Fourier Reihe) gegen Null.
\(\eqalign{ & \dfrac{{{a_0}}}{2} = \dfrac{1}{T}\int\limits_t^{t + T} {f\left( t \right)} \,\,dt \cr & {a_k} = \dfrac{2}{T}\int\limits_t^{t + T} {f\left( t \right) \cdot \cos \left( {k{\omega _1}t} \right)} \,\,dt \cr & {b_k} = \dfrac{2}{T}\int\limits_t^{t + T} {f\left( t \right) \cdot \sin \left( {k{\omega _1}t} \right)} \,\,dt \cr & \underline {\widehat {{c_k}}} = \dfrac{1}{T}\int\limits_t^{t + T} {f\left( t \right)} \cdot {e^{ - jk{\omega _1}t}}\,\,dt \cr} \)
Die Koeffizientenformel stellt die Amplitude der betreffenden Kosinus- oder Sinusschwingung dar. Dabei gelten folgende Vereinfachungen:
- Der arithmetische Mittelwert ist eine gerade Funktion (Ordinatensymmetrie) und fällt daher bei reinen Wechselgrößen weg. Es ist zweckmäßig den konstanten Koeffizienten welcher dem DC-Anteil oder Gleichanteil \(\overline u\) als \(\overline u = \dfrac{{{a_0}}}{2}\)und nicht als a0 anzusetzen, damit man die Koeffizientenformeln für ak bzw. bk auch für k=0 anwenden kann.
- ungerade Funktion d.h. Ursprungssymmetrie - z.B. Sinus: \(f\left( t \right) = - f\left( { - t} \right) \Rightarrow {a_k} \equiv 0;\,\,\,\,\,\underline {{c_k}} {\text{ }}...{\text{ rein imaginär}}\) Es reichen die ebenfalls ungeraden Sinusfunktionen zur Approximation, die Fourier-Koeffizienten der Kosinusschwingungen sind null
- gerade Funktion d.h. Ordinatensymmetrie - z.B. Kosinus: \(f\left( t \right) = f\left( { - t} \right) \Rightarrow {b_k} \equiv 0;\,\,\,\,\,\underline {{c_k}} {\text{ }}...{\text{ rein reell}}\) Es reichen die ebenfalls geraden Kosinusfunktionen zur Approximation, die fourierschen Koeffizienten bk der Sinusschwingungen sind null
Als Integrationsintervall kann jedes beliebige Intervall der Länge T bzw. \(2\pi \) verwendet werden, d.h. man darf, wenn das die Berechnung durch Symmetrien erleichtert, den Anfangspunkt beliebig wählen.
Spektrale Darstellung der Fouriersche Reihenentwicklung
Die Darstellung mit lediglich der sinus- bzw. der kosinus Komponente nennt man auch die spektrale Darstellung. Ihr Vorteil besteht darin, dass es statt 2 nur mehr 1 Koeffizienten gibt.
- Amplitudenspektrum: Stellt die Amplituden ck, , also die Amplitude der k-ten Fourier Komponente grafisch über t dar
- Phasenspektrum stellt den Phasenwinkel \({\varphi _k}\), also den Phasenwinkel der k-ten Fourier Komponenten grafisch über t dar
Sinusdarstellung
\(\eqalign{ & {c_k} = \sqrt {{a_k}^2 + {b_k}^2} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{c_0} = {a_0};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\varphi _k} = \arctan \dfrac{{{a_k}}}{{{b_k}}}; \cr & f\left( t \right) = \dfrac{{{c_0}}}{2} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {{c_k} \cdot \sin \left( {k{\omega _1}t + {\varphi _k}} \right)} \cr} \)
Kosinusdarstellung
\(\eqalign{ & {c_k} = \sqrt {{a_k}^2 + {b_k}^2} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{c_0} = {a_0};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\varphi _k} = - \arctan \dfrac{{{b_k}}}{{{a_k}}}; \cr & f\left( t \right) = \dfrac{{{c_0}}}{2} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {{c_k} \cdot \cos \left( {k{\omega _1}t + {\varphi _k}} \right)} \cr}\)
Komplexe Darstellung
\(\eqalign{ & \underline {\widehat {{c_k}}} = \dfrac{2}{T}\int\limits_\tau ^{\tau + T} {f\left( t \right) \cdot {e^{ - jk{\omega _1}t}}} \,\,dt = {a_k} - j{b_k} \cr & f\left( t \right) = \dfrac{1}{2}\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\underline {\widehat {{c_k}}} } \cdot {e^{ - jk{\omega _1}t}} \cr}\)
Der Vorteil der komplexen Darstellung gegenüber der Darstellung der Fourierreihe mittels Sinus- und Kosinusdarstellung liegt darin, dass sich die e-Funktion einfacher integrieren lässt und anstelle von 2 nur mehr 1 Koeffizient zu berechnen ist.
Eulersche Gleichungen für Fourier’sche Reihenentwicklungen
\(\eqalign{ & {e^{j\omega kt}} = \cos \left( {\omega kt} \right) + j \cdot \sin \left( {\omega kt} \right) \cr & {e^{ - \,j\omega kt}} = \cos \left( {\omega kt} \right) - j \cdot \sin \left( {\omega kt} \right) \cr} \)
Verzerrende bzw. frequenzabhängige Übertragungsfunktion G in elektrischen Schaltungen
Bei elektrischen Schaltungen mit (frequenzabhängigen) Spulen und Kondensatoren, ist auch der Zusammenhang zwischen der angelegten Spannung und dem resultierenden Strom, beschrieben durch eine Übertragungsfunktion G, frequenzabhängig.
Mit Hilfe der Fourier Analyse lassen sich periodische, aber nicht sinusförmige Vorgänge, in linearen elektrischen Netzen (R, L, C) wie folgt behandeln:
- Man zerlegt die nicht sinusförmige erregende (Eingangs) Größe - die Spannung - nach Fourier in ihre sinusförmigen Teilschwingungen (Harmonische). Man erhält also \(u = u\left( {k{\omega _1}t} \right)\)
- Man ermittelt den komplexen Widerstand \(Z = Z(R,L,C,\omega )\) im Sinne einer frequenzabhängigen Übertragungsfunktion G
- Allgemeine Berechnung des Problems im Komplexen für eine beliebige Frequenz \(\omega = k \cdot {\omega _1}\) und Einsetzen von k=1, 2, 3 in die Lösung
- Ermittlung
- der Amplitude der Ausgangsgröße z.B.: \(\left| {\underline {\widehat {{{I'}_k}}} } \right| = \sqrt {{\rm{R}}{{\rm{e}}^2}\underline {\widehat {{{I'}_k}}} + {\rm{I}}{{\rm{m}}^2}\underline {\widehat {{{I'}_k}}} \,\,} \)
- der Phasenlage der Ausgangsgröße z.B.: \({\psi _{ik}} = \arctan \dfrac{{{\rm{Im}}\underline {\widehat {{{I'}_k}}} }}{{{\rm{Re}}\underline {\widehat {{{I'}_k}}} }}\)
- der Amplitude der Ausgangsgröße z.B.: \(\left| {\underline {\widehat {{{I'}_k}}} } \right| = \sqrt {{\rm{R}}{{\rm{e}}^2}\underline {\widehat {{{I'}_k}}} + {\rm{I}}{{\rm{m}}^2}\underline {\widehat {{{I'}_k}}} \,\,} \)
In der Übertragungsfunktion G sind also die einzelnen Widerstandsgrößen der Innenschaltung enthalten. Da L und C frequenzabhängig sind, ist auch die Übertragungsfunktion frequenzabhängig.
- Bei rein sinusförmigen Vorgängen (Eingangsgröße (Spannung) ist die Frequenz eine Konstante und damit ist auch die Übertragungsfunktion G eine Konstante. In diesem Spezialfall nennt man sie auch „Übertragungsfaktor“
- Bei nicht sinusförmigen periodischen Vorgängen liegt nach Fourier ein Spektrum von Frequenzen vor (konkret: ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz), sodass auch die Übertragungsfunktion G eine Funktion der Frequenz ist G=G(f). Jede Harmonische der Eingangsfunktion (u(t)) wird also in anderer Weise in die betreffende Harmonische der Ausgangsgröße (i(t)) übertragen. Das Netzwerk „verzerrt“ somit die Eingangsfunktion, d.h. die Kurvenform der Ausgangsfunktion wird eine andere sein, als die Kurvenform der Eingangsfunktion
Aufgaben
Aufgabe 221
Leistungsberechnung im Wechselstromkreis
Berechne für \(u\left( t \right) = U \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)\) und für \(i\left( t \right) = I \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)\) den Wirk- und den Blindleistungsanteil und interpretiere deren Mittelwerte.
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 245
Fourier Analyse einer \(2\pi \) periodischen Rechteckspannung
Gegeben ist folgende Rechteckspannung
\(u\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { + U\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,0 < t < \dfrac{T}{2}}\\ { - U\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,\dfrac{T}{2} < t < T} \end{array}} \right.\)
Aufgabenstellung:
Ermittle für obige Rechteckspannung die zugehörige Fourierreihe
Aufgabe 255
In einem Einfamilienhaus soll der Bezug von Strom und Gas aus dem öffentlichen Netz durch den Einsatz von Wärmepumpen und Photovoltaikanlagen reduziert werden.
1. Teilaufgabe:
Die spezifische Wärmekapazität von flüssigem Wasser beträgt \(4,190\dfrac{{kJ}}{{kg \cdot K}}\). Es soll ein 270 Liter Brauchwasserboiler eingesetzt werden. Das zufließende Wasser aus der öffentlichen Wasserleitung hat eine Temperatur von 7°C, das Brauchwasser (Abwasch, Dusche, Bad,...) soll 45°C haben.
Berechne, wie viel Energie in kWh pro Jahr erforderlich sind, um das Wasser zu erwärmen.
2. Teilaufgabe:
- Eine kWh Gas kostet inkl. MWST 4,8374 Cent bzw. 0,0484 €.
- Eine kWh Nachtstrom kostet inkl. MWST 14,21 Cent bzw. 0,1421 €
- Eine kWh Tagstrom kostet inkl. MWST 17,20 Cent bzw. 0,1720 €
Berechne die jährlichen Energiekosten des Brauchwasserboilers für jede der 3 Heizformen.
3. Teilaufgabe:
An dem Brauchwasserboilder soll eine Luft-Luft Wärmepumpe angebracht werden, die dem Raum Wärme entzieht und damit das Brauchwasser erwärmt. Die Brauchwasser-Wärmepumpe hat einen Effizienzfaktor COP = 3. D.h. sie nimmt 500 W elektrische Leistung aus dem Stromnetz auf und erzeugt 1.500 Heizleistung.
Berechne die jährlichen Stromkosten für den Betriev der Brauchwasser-Wärmepumpe.