Grundlagen der Elektrotechnik
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Formeln
Drehstrom
Drehstrom ist eine gängige Kurzbezeichnung für dreiphasigen Wechselstrom, der in 3 um je 120° versetzten Spulen in einem homogenen Magnetfeld erzeugt wird.
Die Summe der 3 so induzierten sinusförmigen Strang-Spannungen u1(t), u2(t) und u3(t) ist zu jedem Zeitpunkt Null. Mit „Strang“ bezeichnet man immer die Größe, die direkt an der Generatorspule anliegt, unabhängig davon ob die Generatorspulen im Stern oder im Dreieck zusammengeschaltet werden. Man kann die 3 Induktionsspulen zu einem Stern oder einem Dreieck zusammenschalten, ohne dass ein Kurzschluss entsteht. Wird für das Drehstromsystem eine Nennspannung angegeben, im Haushalt z.B. 400V, so handelt es sich dabei um den Effektivwert der Außenleiterspannung. Die Spannung zwischen einem Außenleiter und dem Neutralleiter ist hingegen um die Quadratwurzel aus 3 kleiner (im Haushalt also 230V).
Spannungen in einem Drehstromsystem als sich zeitlich ändernde Wechselgrößen
\(\eqalign{ & {u_{1N}}\left( t \right) = \mathop U\limits^ \wedge \cdot \cos \omega t \cr & {u_{2N}}\left( t \right) = \mathop U\limits^ \wedge \cdot \cos \left( {\omega t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) \cr & {u_{3N}}\left( t \right) = \mathop U\limits^ \wedge \cdot \cos \left( {\omega t - \frac{{4\pi }}{3}} \right) \cr} \)
Spannungen in einem Drehstromsystem in komplexer Zeigerdarstellung unter Verwendung vom komplexen Drehoperator "a".
\(\eqalign{ & \underline {{u_{1N}}} \left( t \right) = U \cdot {e^{j{\varphi _U}}} = \overrightarrow {{U_{1N}}} \cr & \underline {{u_{2N}}} \left( t \right) = {a^2} \cdot U \cdot {e^{j{\varphi _U}}} = {a^2} \cdot \overrightarrow {{U_{1N}}} \cr & \underline {{u_{3N}}} \left( t \right) = a \cdot U \cdot {e^{j{\varphi _U}}} = a \cdot \overrightarrow {{U_{1N}}} \cr} \)
Das dreiphasige Wechselstromsystem ist symmetrisch, wenn die 3 Amplituden \(\mathop U\limits^ \wedge {\,_a} = \mathop U\limits^ \wedge {\,_b} = \mathop U\limits^ \wedge {\,_c}\) gleich sind und wenn die Phasenverschiebung jeweils \(120^\circ = \dfrac{{2\pi }}{3}\) beträgt.
Komplexer Drehoperator “a”
In der Wechselstromtechnik werden die elektrischen Größen durch Zeiger dargestellt. Solch ein Zeiger ist ein Vektor, der mit einer frequenzabhängigen Winkelgeschwindigkeit um den Koordinatenursprung rotiert und bei denen Strom- und Spannungsgrößen einen konstanten Phasenverschiebungswinkel zu einander haben.
In der Drehstromtechnik werden elektrische Größen durch Raumzeiger dargestellt. Ist die Last im Dreieck geschaltet, oder ist der Sternpunkt der Last nicht mit dem Neutralleiter verbunden, dann ist die Summe der Phasengrößen immer Null. Auf Grund dieser "Nullbedingung" muß man bei Drehstromsystemen nicht mit drei autonomen Phasengrößen rechnen, sondern kann sich auf zwei Phasengrößen beschränken, da die dritte Größe immer die Ergänzung auf Null sein muss.
Dafür hat sich mit dem komplexen Drehstromoperator a folgende vereinfachte Schreibweise etabliert:
\(a = {e^{j120^\circ }} = {e^{j\dfrac{{2\pi }}{3}}} = \cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) + j\sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = - \dfrac{1}{2} + j\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\({a^2} = {\left( {{e^{j120^\circ }}} \right)^2} = {e^{j\dfrac{{4\pi }}{3}}} = \cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3}} \right) + j\sin \left( {\dfrac{{4\pi }}{3}} \right) = - \dfrac{1}{2} - j\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Für den komplexen Drehstromoperator gelten folgende Rechenregeln:
\(\eqalign{ & {a^2} = {a^{ - 1}};\,\,\,\,\,{a^3} = 1;\,\,\,\,\,{a^4} = a; \cr & 1 + a + {a^2} = 0; \cr & a - {a^2} = j \cdot \sqrt 3 ; \cr & 1 - {a^2} = \sqrt 3 \cdot {e^{\dfrac{{j\pi }}{3}}}; \cr}\)
Symmetrische Drehstromsysteme
Auf Grund der überragenden praktischen Bedeutung werden Dreiphasenwechselstromsysteme und Drehstromsystem im Folgenden synonym verwendet. Ein Dreiphasenwechselstromsystem ist symmetrisch, wenn die 3 Außenleiterspannungen und die 3 Außenleiterströme gleich groß und um jeweils 120° phasenverschoben sind. Elektrische Energie wird vorwiegend mit Synchrongeneratoren "erzeugt", sodass die Spannungen am Ort der Erzeugung symmetrisch sind. Die Impedanzen der Leitungen, vor allem aber die Unsymmetrien der Lasten führen zu unsymmetrischen Drehstromsystemen.
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{Z_1}} = \overrightarrow {{Z_2}} = \overrightarrow {{Z_3}} \cr & \overrightarrow {{I_1}} + \overrightarrow {{I_2}} + \overrightarrow {{I_3}} = 0 \cr & \left| {\overrightarrow {{I_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{I_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{I_3}} } \right| \cr & \overrightarrow {{U_{12}}} + \overrightarrow {{U_{23}}} + \overrightarrow {{U_{31}}} = 0 \cr & \overrightarrow {{U_{1N}}} + \overrightarrow {{U_{2N}}} + \overrightarrow {{U_{3N}}} = 0 \cr & \left| {\overrightarrow {{U_{12}}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{U_{23}}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{U_{31}}} } \right| = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_{1N}}} = \sqrt {3 \cdot } \overrightarrow {{U_{2N}}} = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_{3N}}} \cr}\)
Zur Berechnung symmetrischer Drehstromnetze genügen einphasige Ersatzschaltbilder. Statt der früher üblichen und veralteten Leiterbezeichnung R, S und T wird heute L1, L2 und L3 oder auch La, Lb und Lc verwendet.
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Elektrisches Potential und Spannung
Bei Anwesenheit von elektrischer Ladung bildet sich ein räumliches elektromagnetisches Feld aus. Ein Feld ist eine Energieform, die den Raum erfüllt. Felder können sich mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten, wobei ihre Dynamik durch Feldgleichungen beschrieben wird. Das elektromagnetische Feld ist ein Vektorfeld. Es gibt in jedem Punkt die coulombsche Kraft nach Größe in Volt pro Meter und Richtung an, die auf eine positive oder negative Ladung ausgeübt wird.
Elektrisches Potential Phi
Das elektrische Potential \(\varphi \) repräsentiert die Fähigkeit eines elektromagnetischen Feldes Arbeit an einer elektrischen Ladung zu verrichten. Wird eine elektrische Ladung auf Grund der coulombschen Kraft durch ein elektromagnetisches Feld bewegt, so wird Arbeit an der Ladung verrichtet wodurch sich ihre potentielle Energie verändert.
\(\varphi = \dfrac{{{W_{pot}}}}{q}\)
\(\varphi \) | elektrisches Potential mit der Einheit Volt |
Wpot | potentielle Energie mit der Einheit Joule |
q | Ladung mit der Einheit Coulomb |
Volt V als Einheit vom elektrischen Potential
Volt V ist die Einheit vom elektrischen Potential \(\varphi \) .
\(1 \cdot V = 1 \cdot \dfrac{J}{C}\)
Elektrisches Potential von einem Bezugspunkt
Irgendwo im Raum wird ein Bezugspunkt mit frei wählbarem Potential \({\varphi _0} = 0V\) festgelegt. Von diesem Bezugspunkt aus kann jedem Punkt im Raum ein bestimmtes Potential \({\varphi _P}\) zugewiesen werden. Das elektrische Potential stellt ein Skalarfeld dar, dessen Einheit das Volt ist. Voraussetzung für das elektrische Potential ist die Wegunabhängigkeit der elektrischen Spannung.
Spannung als Potentialdifferenz
Die Spannung zwischen zwei Punkten P und Q ist nichts anderes, als die Differenz der Potentialwerte der beiden Punkte.
\({U_{PQ}} = {\varphi _P} - {\varphi _Q}\)
Spannung im Bereich konstanten Potentials
Liegt zwischen 2 Punkten P und Q keine elektrische Spannung an, dann handelt es sich um Bereiche konstanten Potentials (Äquipotentialfläche)
\({U_{PQ}} = {\varphi _P} - {\varphi _Q} = 0\)
Spannung gegenüber einem Nullpunkt
In der Elektrotechnik sind die Erde, der Neutralleiter und der Sternpunkt eines entsprechenden Trafos übliche Null- bzw. Bezugspunkte zur Spannungsmessung. Diese Wahl ist auch für die Dimensionierung der Isolation sehr wichtig.
Die Spannung gibt dann den Potentialunterschied zwischen dem Bezugspunkt P und dem Nullpunkt an:
\(\eqalign{ & {U_{0P}} = {\varphi _P} - {\varphi _0} \cr & {\text{sinnvolle Wahl: }}{\varphi _0} = 0 \cr} \)
\({U_{0P}} = {\varphi _P}\)
Illustration von Potentialdifferenzen in einem elektrischen Gleichstromkreis
Volt V als Einheit der elektrischen Spannung
Volt V ist die Einheit der elektrischen Spannung U. 1 Volt ist jene Spannung zwischen zwei Klemmen eines Stromkreises, bei der eine Leistung von 1 Watt bei einer Stromstärke von 1 A umgesetzt wird.
Elektrische Spannung U
Die elektrische Spannung ist der Quotient aus der zur Verschiebung einer Ladung Q erforderlichen elektrischen Arbeit W entlang des Weges von P nach Q und der verschobenen Ladung Q
\({U_{PQ}} = \dfrac{{{W_{PQ}}}}{Q}\)
Elektrische Spannung als Linienintegral der elektrischen Feldstärke
Die Spannung U zwischen den Punkten P und Q ist als das Linienintegral der elektrischen Feldestärke \(\overrightarrow E\) entlang einem beliebigen Weg zwischen P und Q definiert.
\(U = \int\limits_P^Q {\overrightarrow E } \,\,d\overrightarrow s \)
→ Auf die Eigenschaften von Spannung im Gleichstromkreis U bzw. Wechselstromkreis u(t) gehen wir in den diesbezüglichen Kapiteln ausführlich ein
Gegenüberstellung Wechselstrom und Gleichstrom
Haben in einem Leiter Strom und Spannung einen sinusförmigen Verlauf mit der gleichen Periodenlänge, dann spricht man von Wechselstrom. Im Gegensatz zum Gleichstrom sind beim Wechselstrom die elektrischen Größen zeitabhängig, was man durch die Verwendung von Kleinbuchstaben i(t), u(t) hervorhebt.
Vorteil von Wechselstrom gegenüber Gleichstrom
- Reduzierung der Leitungsverluste: Man kann bei gegebener Leistung \(S = U \cdot I\) das Verhältnis von Strom und Spannung mit Hilfe eines Transformators indirektproportional ändern. Da die ohmschen Leitungsverluste mit dem Quadrat der Stromstärke steigen, transformiert man am Leitungsanfang die Spannung rauf. Da der Strom im selben Verhältnis sinkt, reduzieren sich so die Verluste entlang der Leitung. Am Ende der Leitung transformiert man die Spannung wieder runter. Dies ermöglicht Drehstromleitungen mit 1.150 kV, 5,5 GVA und Leitungslängen von 700 km (Kasachstan; Erkbastus - Kökschetau).
- Stromunterbrechbarkeit: Auf Grund der 2 Nulldurchgänge des Wechselstroms pro Periode (also 100 Mal pro Sekunde bei f=50Hz) kann Wechselstrom leichter ausgeschaltet werden, als Gleichstrom
- Lange Lebensdauer der Primärtechnik: Keine Leistungselektronik, also kein Gleich- und Wechselrichter wie bei HGÜ erforderlich
Vorteile von Gleichstrom gegenüber Wechselstrom
- Keine Blindleistungskompensation: Sehr lange Wechselstrom-Freileitungen (> 700 km) und lange Wechselstrom-Kabel (>10km) verschieben auf Grund von Leitungskapazitäten und der Ummagnetisierung des Feldes zufolge der Frequenz des Wechselstroms die eingespeiste Wirkleistung in unerwünschte Blindleistung, was den Einsatz von Blindleistungskompensatoren erforderlich macht. Dieses Problem gibt es bei Gleichstrom nicht. Hochspannungs-Gleichstromübertragungen ermöglichen +/- 800 kV, 8 GW über 2.000 km zu übertragen (China; Hami - Zhengzhou).
- Ermöglicht lange (Untersee-)Kabelleitungen und funktioniert mit 2 statt 3 Leitern
- Kopplung von Wechselstromnetzen: HGÜ von wenigen Metern Leitungslänge ermöglichen die Kopplung von Wechselstromnetzen bei unterschiedlicher Netzfrequenz oder unterschiedlicher Leistungs-Frequenzregelungskonzepten
Bei Wechselspannung handelt es sich in der Praxis um die Strangspannung, d.h. um die Spannung zwischen einem Außenleiter und dem Sternpunkt in einem Dreiphasenwechselstromsystem, kurz Drehstromsystem genannt.
Strom und Spannung (als zeitunabhängige, konstante Größen im eingeschwungenen) Gleichstromkreis
\(\begin{array}{} I\\ U \end{array}\)
Strom und Spannung als sich zeitlich ändernde Wechselgrößen
\(\eqalign{ & i\left( t \right) = \widehat i \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right) \cr & u\left( t \right) = \widehat u \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right) \cr} \)
Strom und Spannung in komplexer Zeigerdarstellung
\(\eqalign{ & \underline i \left( t \right) = \widehat i \cdot \left[ {\cos \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right) + j \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)} \right] = \widehat i \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)}} \cr & \underline u \left( t \right) = \widehat u \cdot \left[ {\cos \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right) + j \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)} \right] = \widehat u \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)}} \cr}\)
Gleichstromkreise
Von Gleichstrom spricht man, wenn sich die Bewegungsrichtung der Ladungsträger (Elektronen, Protonen, Ionen) in einem leitfähigen Medium (z.B.: Kupferdraht) über die Zeit nicht verändert, sondern gleich bleibt.
Bleibt zusätzlich die Höhe vom Gleichstrom bzw. -spannung über die Zeit betrachtet unverändert, so verwendet man Großbuchstaben I, U.
Ändert sich deren Höhe im Verlauf der Zeit, so verwendet man Kleinbuchstaben i, u. Will man die Abhängigkeit von der Zeit in der Darstellung betonen, so schreibt man i(t), u(t). Anders formuliert: Das "Gleich" in Gleichstrom heißt nicht, dass die Stromhöhe gleich bleibt. (Gilt analog für die Spannung). Gründe für eine Änderung der Stromhöhe von Gleichstrom im Verlauf der Zeit können Änderungen der Speisespannung oder Kapazitäten oder Spulen im Stromkreis sein.
Die Elektronen als Ladungsträger bewegen sich dabei mit einer Geschwindigkeit von unter 1mm pro Sekunde durch die Leitung. Die Anzahl der transportierten Ladungsträger, also die Stromstärke, kann sich aber sehrwohl ändern.
Ein Gleichstromkreis besteht aus
- einer Stromquelle (z.B.: Batterie, Gleichstromgenerator) ,
- einem Stromverbraucher (z.B.: ohmscher Widerstand) und
- einer Leitung (z.B.: Kupferdraht), welche die Quelle und den Verbraucher ringförmig verbindet.
Physikalische Stromrichtung vom Minuspol zum Pluspol
Schließt man einen Verbraucher über elektrische Leitungen an eine Stromquelle an, so fließen die Elektronen vom Minuspol der Stromquelle, über den Leiter durch den Verbraucher zurück zum Pluspol der Stromquelle.
Technische Stromrichtung vom Pluspol zum Minuspol
Die technische Stromrichtung ist verwirrenderweise leider umgekehrt definiert. D.h. „Strom“ fließt technisch vom Pluspol zum Minuspol. Man wusste zu dem Zeitpunkt als man die Stromrichtung festlegte, noch nichts über die physikalische Fließrichtung von Elektronen und hat einfach eine falsche Annahme getroffen.
Stromrichtung bei Wechselstrom
Bei Wechselstrom ändert sich die Stromrichtung abhängig von der Frequenz zweimal pro 1 Hz bzw. hundertmal bei 50 Hz.
Elektrischer Stromkreis
Der einfachste elektrische Stromkreis setzt sich aus einer Spannungsquelle mit einem Innenwiderstand und einem äußeren Leiter mit einem Außenwiderstand zusammen. Physikalisch fließen im äußeren Leiter die Elektronen vom Minuspol zum Pluspol. Leider ist die technische Stromrichtung genau entgegengesetzt definiert. Die Spannung Uqder Spannungsquelle treibt bei geschlossenem Schalter einen Strom I durch die Widerstände Ri + Ra
\(I = \dfrac{{{U_q}}}{{{R_i} + {R_a}}}\)
Vorzeichenregel zur Berechnung von Gleichstromkreisen
- Der Zahlenwert der Spannung wird positiv gerechnet, wenn der Pfeil zum Punkt mit dem niedrigerem Potential zeigt, sonst hat die Spannung ein negatives Vorzeichen
- Der Zahlenwert des Stroms ist immer positiv
Zählpfeilregeln zur Beschriftung von Stromkreisen
- Erzeugerzählpfeilsystem: Quelle gibt Leistung ab; U und I sind entgegengesetzt orientiert. An einer Quelle, die Leistung abgibt, haben Strom und Spannung immer die entgegengesetzte Richtung.
- Verbraucherzählpfeilsystem: Verbraucher nimmt Leistung auf; U und I sind gleich orientiert. An Verbrauchern (passiver Zweipol) haben Strom und Spannung immer die gleiche Richtung.
Im Verbraucherzählpfeilsystem gilt in der zeitabhängigen Schreibweise.
\({u_R}\left( t \right) = R \cdot {i_R}\left( t \right)\) | für den Spannungsabfall am ohmschen Widerstand |
\({i_C}\left( t \right) = C \cdot \dfrac{{d{u_C}\left( t \right)}}{{dt}}\) | für den Stromverlauf am Kondensator |
\({u_L}\left( t \right) = L \cdot \dfrac{{d{i_L}\left( t \right)}}{{dt}}\) | für den Spannungsverlauf an einer Spule |
Im Gleichstromkreis
- Widerstand: Fließt durch den ohmschen Widerstand ein Dauerstrom zufolge dem ohmschen Gesetz, also I=U/R
- Kondensator: Lädt sich ein Kondensator einmalig bis zu einer maximalen Spannung auf. Nach dem Abklingen des Ladestroms wirkt der Kondensator wie eine Unterbrechung im Gleichstromkreis, d.h. es fließt dann kein Strom mehr.
Merkregel: Kondensator zunächst wie ein Kurzschluss, dann wie ein offener Schalter - Spule: Verhält sich eine Spule zunächst wie eine Unterbrechung, lädt sich aber zufolge von Selbstinduktion auf und begrenzt anschließend den realen Strom lediglich zufolge ihres unvermeidlichen ohmschen Widerstands auf I=U/RL.
Merkregel: Spule zunächst wie ein offener Schalter, dann wie ein Kurzschluss
Elektrische Stromstärke
Unter elektrischem Strom versteht man die Bewegung von elektrischer Ladung. Damit elektrische Ladungen fließen können, muss ein geschlossener Stromkreis vorliegen, an dem eine Spannung anliegt. Die elektrische Stromstärke hat das Formelzeichen I und als SI-Basiseinheit das Ampere A.
\(I\) | elektrische Stromstärke in A |
\({\Delta Q}\) | die durch den Leiter fließende Ladungsmenge in Coulomb, wobei: 1C = 1As |
\({\Delta t}\) | die dafür benötigte Zeit |
Die Stärke des Stroms gibt an, wie viele elektrische Ladungen pro Zeiteinheit durch einen Stromleiter fließen.
zeitunabhängige Darstellung (Großbuchstaben)
\(I = \dfrac{{\Delta Q}}{{\Delta t}}\)
zeitabhängige Darstellung (Kleinbuchstaben)
\(i\left( t \right) = \dfrac{{dq}}{{dt}}\)
Ampere A
Das Ampere A ist die Basiseinheit der elektrischen Stromstärke. Die Stromstärke beträgt 1A wenn eine Ladung Q von 1C je Sekunde durch einen Leiterquerschnitt fließt. Die Elektronen fließen real vom Minuspol zum Pluspol, leider ist die technische Stromrichtung genau umgekehrt. D.h. Strom vom Pluspol zum Minuspol wird positiv gezählt.
\(\left[ I \right] = A = \dfrac{C}{s}\)
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Zusammenhang zwischen Außenleitergrößen und Stranggrößen
Mit „Strang“ bezeichnet man immer die Größe die direkt an der Generatorspule, also im Inneren des Generators anliegt, unabhängig davon ob die Generatorspulen nach außen hin im Stern oder im Dreieck zusammengeschaltet bzw. "verkettet" werden. Die verketteten Spannungen werden als Nennspannung eines Drehstromnetzes verwendet. D.h. die Höhe der verketteten Spannung ist unabhängig davon, ob es sich um eine Stern- oder Dreiecksschaltung, oder bei Verteilnetztrafos auf der Niederspannungsseite um eine Zickzackschaltung handelt. Zickzackschaltungen werden eingesetzt, um eine unsymmetrischer Last auf der Sekundärseite besser auf die Außenleiter auf der Primärseite eines Trafos aufzuteilen. Sie vertragen die Schieflast einer Dreieckschaltung verfügen aber über den in Verteilnetzen erforderlichen Sternpunktleiter.
Außenleitergrößen und Stranggrößen bei Sternschaltung
Bei der Sternschaltung wird von jeder Spule jeweils 1 Spulenanschluss zu einem Sternpunkt verbunden. An diesen Sternpunkt kann ein für alle Stränge gemeinsamer Rückleiter, der Neutral-, oder Sternpunktsleiter angeschlossen werden. Dadurch entsteht ein Vierleiternetz, mit den Leiterbezeichnungen L1, L2. L3 und N und zwei Spannungssysteme, eines zwischen je 2 Außenleitern und eines zwischen einem Außenleiter und dem Sternpunkt.
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{U_{12}}} = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_{LN}}} ; \cr & \overrightarrow I = \overrightarrow {{I_L}} = {\overrightarrow I _{LN}}; \cr};\)
- Außenleiterspannungen sind um den Wert \(\sqrt 3\) höher als die Strangspannungen
- Außenleiterströme sind gleich groß wie die Strangströme
400 V Netz in Sternschaltung bedeutet also:
- Verkettete Spannung = Spannung zwischen je zwei Außenleitern = 400 V
- Spannung zwischen jedem Außenleiter und dem Sternpunkt = 230 V
Zusammenspiel zwischen Neutralleiter, Schutzleiter und Erdung
- Durch den Neutral- oder Sternpunktleiter (in blauer Farbe ausgeführt) fließt die Summe der 3 Außenleiterströme vom Verbraucher zum Sternpunkt im Trafo zurück. Der Neutralleiter ist derjenige Leiter in einem Stromnetz, der den Strom von den Verbrauchern zurück zur Stromquelle führt. Bei symmetrischer Belastung der 3 Außenleiter und ohne Oberschwingungen ist der Strom in Neutralleiter null. Bei unsymmetrischer Belastung, was in der Praxis zu erwarten ist, fließt durch den Neutralleiter ein Strom, der zwischen null und einem Strom der sogar größer als ein Außenleiterstrom sein kann. Das ist bei der Berechnung vom Leiterquerschnitt zu beachten. Bei einer Unterbrechung vom Sternpunktleiter verschiebt sich der Sternpunkt. Der Sternpunkt kann niederohmig, hochohmig oder nicht geerdet sein. Man unterscheidet auch zwischen gelöschten Netzen, bei denen der Sternpunkt über eine regelbare Petersenspule geerdet ist und nicht gelöschten Netzen.
- Vom Neutralleiter zu unterscheiden ist der Schutz- oder PE-Leiter (in gelb-grüner Farbe ausgeführt). Der Schutzleiter dient dazu, Personen und Anlagen vor elektrischem Schlag zu schützen, er leitet Fehlerströme in die Erde ab. Er ist ein spezieller Leiter, der alle leitfähigen Teile von Geräten und Anlagen an einem Punkt, der Potenzialausgleichsschiene, innerhalb der zu schützenden Anlage, miteinander verbindet und ab dort mit der Erdung der Anlage verbunden ist. Bei einem Isolationsfehler, wenn stromführende Teile mit metallenen Gehäusen (Fehler: Phase - Erde) oder anderen leitenden Teilen (Fehler Phase - Phase) in Berührung kommen, wird der Fehlerstrom über den Schutzleiter und die Potentialausgleichsschiene sicher zur Erde abgeleitet. Dabei wird ein FI-Schutzschalter oder eine Sicherung ausgelöst, die dann den Stromkreis unterbricht.
- Durch die Erdung wird ein niederohmiger Pfad, für Blitzeinschlag- und Fehlerströme bereitgestellt, um diese von Blitz-Fangeinrichtung oder der Potentialausgleichsschiene sicher in die Erde abzuleiten.
- Als Nullung bezeichnet man eine bestimmte Art der elektrischen Verdrahtung, bei der der Neutralleiter (leitet den Summenstrom zum Trafo-Sternpunkt zurück) zugleich als Schutzleiter (leitet Fehlerströme in die Erde ab) verwendet wird. Anstatt einen separaten gelb-grünen Schutzleiter zu haben, wird dabei der Neutralleiter für die Schutzerdung verwendet. Selbstverständlich kommen auch bei Nullung FI-Schutzschalter zum Einsatz. Moderne elektrische Installationen erfordern jedoch eine getrennte Verlegung von Neutralleiter und Schutzleiter.
- Der Anlagenschutz eines Haushalts erfolgt entweder durch
- Nullung und einen FI-Schutzschalter mit einem Fehlerstrom von z.B. 0,03A je Stromkreis, oder durch
- Schutz durch selektive FI-Schalter. Ist der Schutz einer Anlage selektiv ausgeführt, verwendet man einen FI-Schutzschalter mit einem Fehlerstrom von z.B. 0,03A je Stromkreis und einem zusätzlichen FI-Schutzschalter mit einem Fehlerstrom von z.B.: 0,1A, der dann die gesamte Anlage abschaltet, wenn die stromkreis-spezifischen FI-Schutzschalter versagen.
Außenleitergrößen und Stranggrößen bei Dreieckschaltung
Bei der Dreieckschaltung werden die Spulenanschlüsse der Spulen direkt mit einander verbunden. Dadurch entsteht ein Dreileitersystem, mit den Leiterbezeichnungen L1, L2. L3 und ein Spannungssystem, da es keinen Neutralleiter gibt.
\(\eqalign{ & \overrightarrow U = \overrightarrow {{U_L}} = \overrightarrow {{U_{12}}} ; \cr & \overrightarrow {{I_{12}}} = \sqrt 3 \cdot {\overrightarrow I _L}; \cr}\)
- Außenleiterspannungen sind so groß wie die Strangspannungen
- Außenleiterströme sind um den Wert \(\sqrt 3 \) höher als die Strangströme
400 V Netz bei Dreieckschaltung bedeutet also:
- Verkettete Spannung = Spannung zwischen je zwei Außenleitern = 400 V
Phasenlage von Strom und Spannung im Wechselstromkreis
Unter der Phasenlage versteht man die unterschiedlichen Zeitpunkte der Nulldurchgänge von 2 Sinusschwingungen (Strom u. Spannung), obwohl sie die gleiche Frequenz (50 Hz) haben. Die Phasenverschiebung wird als Winkel angegeben, wobei einer vollen Periode der Winkel von 360° bzw. \(2\pi\) entspricht.
Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung im Wechselstromkreis
Der Phasenverschiebungswinkel \(\varphi\) ist ein Maß für den zeitlichen Abstand der Nulldurchgänge von Spannung und Strom.
\(\eqalign{ & {\varphi _{Str}} = {\varphi _{u,\,Str}} - {\varphi _{i,\,Str}}; \cr & \varphi = {\varphi _u} - {\varphi _i}; \cr}\)
- \(\varphi = 0^\circ\) Ohmscher Widerstand: Spannung und Strom liegen in Phase
- \(\varphi = 90^\circ\) Induktivität: Spannung eilt dem Strom um 90° voraus
- \(\varphi = - 90^\circ\) Kapazität: Spannung eilt dem Strom um 90° nach
Ohmscher Widerstand
Beim ohmschen Widerstand sind Strom und Spannung sind in Phase. Der komplexe Widerstand ZR hat nur einen Realteil aber keinen Imaginärteil
\(\eqalign{ & \dfrac{u}{R} = i \cr & {Z_R} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = R \cr & U{e^{j0}} = R{e^{j0}} \cdot I{e^{j0}} \cr} \)
Induktiver Widerstand
Beim induktiven Widerstand elt der Strom der Spannung nach. Die Spannung ist proportional zur Änderung der Stromstärke. Eine ideale Spule (R=0) bewirkt, dass die Spannung dem Strom um \(\dfrac{\pi }{2} = 90^\circ\) voreilt. Der komplexe Widerstand XL wird auf der positiven imaginären Achse aufgetragen.
\(\eqalign{ & \dfrac{{\underline u }}{L} = \dfrac{{di}}{{dt}} = \widehat i \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)}} \cdot j\omega = \underline i \cdot j\omega \cr & {Z_L} = {X_L} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = j \cdot \omega L = \omega L \cdot {e^{j\dfrac{\pi }{2}}} = \omega L \cdot {e^{j90^\circ }} \cr & U{e^{j0}} = \omega L{e^{j\varphi }} \cdot I{e^{ - j\varphi }} \cr} \)
Kapazitiver Widerstand
Beim kapazitiven Widerstand eilt der Strom der Spannung vor. Die Stromstärke ist proportional zur Änderung der Spannung. Ein idealer Kondensator (\(R = \infty \)) ) bewirkt dass die Spannung dem Strom um \(- \dfrac{\pi }{2} = - 90^\circ\) nacheilt. Der komplexe Widerstand XC wird auf der negativen imaginären Achse aufgetragen.
\(\eqalign{
& \dfrac{{\underline i }}{C} = d\frac{{du}}{{dt}} = \widehat u \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _U}} \right)}} \cdot j\omega = \underline u \cdot j\omega \cr
& {Z_C} = {X_C} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = \dfrac{1}{{j\omega C}} = - j\dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{\omega C}} \cdot {e^{ - j\dfrac{\pi }{2}}} = \dfrac{1}{{\omega C}} \cdot {e^{ - j90^\circ }} \cr
& U{e^{j0}} = \dfrac{1}{{\omega C}}{e^{ - j\varphi }} \cdot I{e^{j\varphi }} \cr} \)
Vorab eine Mindmap zu den Inhalten dieser Mikro-Lerneinheit
Elektrostatik
Die Elektrostatik ist der einfachste Fall der Elektrodynamik. Sie beschreibt die Felder, die von ruhenden elektrischen Ladungen ausgehen, sowie die Kräfte, die zwischen ruhenden elektrischen Ladungen wirken.
Drei fundamentale Arten von Ladung
Gemäß dem Standardmodell der Elementarteilchen ist Ladung eine fundamentale Eigenschaft von Teilchen. Zusammen mit der Masse des Teilchens, bestimmen die 3 Arten von Ladung, welcher der 4 Wechselwirkungen ein Teilchen unterliegt. Alle drei Arten von Ladungen treten quantisiert auf, d.h. sie können nur bestimmte, diskrete Werte annehmen. Die Ladung eines zusammengesetzten Teilchens, z.B. eines Atoms, setzt sich aus der Summe der Ladungen seiner Einzelteilchen (Elektronen, Quarks) zusammen. Die Summe der Ladung aller Teilchen eines Systems bleibt über alle ablaufenden Prozesse hinweg erhalten.
Es gibt 3 fundamentale Arten von Ladung, die bestimmen welcher Wechselwirkung ein Teilchen unterliegt:
- die elektrische Ladung der elektromagnetischen Wechselwirkung
- den schwachen Isospin der schwachen Wechselwirkung
- die Farbladung der starken Wechselwirkung
- zur vierten Wechselwirkung, der Gravitation, gibt es keine Ladung, die Masse hat aber eine vergleichbare Bedeutung, sie unterliegt aber (noch) nicht der Quantentheorie
- es gibt keine magnetische Ladung, somit keine magnetische Monopole
Elektrische Elementarladung e
Elektrische Elementarladung → Elektrostatik; Elementarmagnetismus → Magnetostatik;
Die Elementarladung ist eine fundamentale Eigenschaft von elektrisch geladenen Teilchen und Ausgangspunkt der Elektrostatik. "Fundamentale" Eigenschaft bedeutet, dass die elektrische Ladung durch keine andere physikalische Größe erklärbar ist. Die Elementarladung ist daher eine Naturkonstante, deren Wert exakt \(e = 1,602\,176\,634 \cdot {10^{ - 19}}C\) beträgt. Das Coulomb ist also die Einheit der elektrischen Elementarladung.
Folgende subatomaren Teilchen tragen negative elektrische Ladung:
- Elektronen: -1e
- Myonen: -1e
- Tauonen: -1e
- down-Quark: -1/3 e
- strange Quark: -1/3 e
- bottom-Quark: -1/3 e
Folgende subatomaren Teilchen tragen positive elektrische Ladung:
- up-Quark: +2/3 e
- charm Quark: +2/3 e
- top-Quark: +2/3 e
Nicht alle subatomaren Teilchen tragen Ladung.
- Elektron-Neutrino, Myon-Neutrino, Tau-Neutrino, Photonen, ... sind keine Träger elektrischer Elementarladung
Die elektrische Ladung des Protons ist exakt gleich groß wie die elektrische Ladung des Elektrons. Die Ladung des Protons ist positiv, die Ladung des Elektrons ist negativ. Die beiden Ladungen sind einander entgegengesetzt. Das Neutron ist elektrisch neutral, also nicht geladen.
Während das Elektron fundamental, also unteilbar ist, setzt sich das Proton und das Neutron seinerseits aus 3 ihrerseits fundamentalen Quarks zusammen, welche die eigentlichen Träger der elektrischen Ladung im Proton bzw. Neutron sind. Quarks können aber auf Grund eines quantenmechanischen Effekts, der „Confinement“ genannt wird, nicht allein sondern nur als Zusammensetzung aus 2, 3 oder 5 Quarks existieren. Lediglich Protonen und im Atomkern gebundene Neutronen sind stabil.
- Das Elektron ist fundamental, also aus keinen weiteren subatomaren Teilchen aufgebaut. Es ist mit -e negativ geladen.
- Ein Proton besteht aus zwei up-Quarks (+2/3) und einem down-Quark (-1/3). Es ist positiv geladen. Für die elektrische Ladung des Protons ergibt sich:
\(\left( {2 \cdot \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3}} \right) \cdot e = \dfrac{{4 - 1}}{3} \cdot e = e\)
- Ein Neutron besteht aus einem up-Quark (+2/3) und zwei down-Quarks (-1/3) . Es ist elektrisch neutral. Für die elektrische Ladung des Neutrons ergibt sich:
\(\left( {\dfrac{2}{3} - 2 \cdot \dfrac{1}{3}} \right) \cdot e = \dfrac{{2 - 2}}{3} \cdot e = 0\)
Elektrische Ladung Q
Elektrische Ladung → Elektrostatik; Polstärke → Magnetostatik;
Die elektrische Ladung Q ist immer ein ganzzahliges, positives oder negatives Vielfaches der Elementarladung e. Die elektrische Ladung Q ist also die Summe der Elementarladungen e. Das Coulomb ist also die Einheit der elektrischen Ladung.
\(\eqalign{ & Q = n \cdot e{\text{ mit n}} \in {\Bbb Z}{\text{ (Menge der ganzen Zahlen)}} \cr & {\text{Q = }}{{\text{Q}}_ + } + {Q_ - } \cr} \)
Wobei Q+ für Protonen und Q- für Elektronen steht.
Alle Ladungen Q sind von einem elektrischen Feld \(\overrightarrow E \) umgeben. Die elektrische Ladung verändert nämlich den umgebenden Raum, indem sie dort ein elektrisches Feld erzeugt.
Coulomb C
Coulomb → Elektrostatik; Weber → Magnetostatik;
Das Coulomb C ist die Einheit der elektrischen Ladung. 1 Coulomb ist jene elektrische Ladung, die innerhalb von einer Sekunde durch den Querschnitt eines Leiters transportiert wird, in dem ein Strom von 1 Ampere fließt.
Die Einheit der Ladung Q ergibt sich gemäß folgender Einheitengleichung
\(\left[ Q \right] = \left[ I \right] \cdot \left[ t \right] = A \cdot s = C = \dfrac{{Nm}}{V}\)
Wenn elektrischer Strom fließt, bewegen sich elektrische Ladungsträger
\(\eqalign{ & 1{\text{C}} = 1{\text{A}} \cdot 1{\text{s}} \cr & {\text{Q = n}} \cdot {\text{e}} \cr & {\text{n = }}\dfrac{Q}{e} = \dfrac{{1\operatorname{C} }}{{1,602{\mkern 1mu} 176{\mkern 1mu} 634 \cdot {{10}^{ - 19}}C}} \approx 6,2415 \cdot {10^{18}} \cr} \)
Damit ein Strom von 1A für die Dauer von 1 Sekunde fließt, müssen sich in dieser Zeitspanne 6,2 Trillionen Elektronen durch den Leiterquerschnitt bewegen.
Bei Gleichstrom bewegen sich die Elektronen physikalisch vom Minus- zum Pluspol, bei Wechselstrom schwingen die Elektronen im Leiter abhängig von der Frequenz hin und her, ohne sich makroskopisch über die Amplitude der Schwingung hinaus zu bewegen.
Coulombsche Kraft zwischen zwei punktförmigen ruhenden Ladungen
Coulombsches Gesetz → Elektrostatik; Magnetisches Kraftgesetz → Magnetostatik;
Das Coulombsche Gesetz stellt einen Zusammenhang zwischen den elektrischen Größen „Ladung bzw. elektrisches Feld“ und der mechanischen Größe „Kraft“ her. Es ist daher die Basis für den Bau von elektrischen Maschinen.
Mit dem coulombschen Gesetz kann die Kraft zwischen 2 punktförmigen ruhenden Ladungen berechnet werden. Die Kraft die 2 punktförmige Ladungen im Vakuum auf einander ausüben, ist indirekt proportional zum Quadrat des Abstands der beiden Ladungen und direkt proportional zum Produkt der beiden Ladungen. Umgekehrt formuliert nimmt die Kraftwirkung sehr rasch, nämlich quadratisch mit der Entfernung, ab.
Das coulombsche Gesetz gilt für gleich- und ungleichnamige Ladungen. Gleichnamige Ladungen stoßen einander ab, ungleichnamige Ladungen ziehen einander an.
\({F_{12}} = k \cdot \dfrac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{{r^2}}} = \dfrac{1}{{4\pi \varepsilon_r {\varepsilon _0}}} \cdot \dfrac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{{r^2}}}\)
mit \(\varepsilon = {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r}\) und der Coulomb-Konstante \(k = 8,99 \cdot {10^9}\dfrac{{{\text{Vm}}}}{{{\text{As}}}}\)
Beispiel: Überprüfen wir das Coulombsche Gesetz mittels einer Einheitengleichung:
\(\begin{array}{l} {F_C} = \dfrac{1}{{4\pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r}}} \cdot \dfrac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{{r^2}}}\\ N = \dfrac{1}{{\dfrac{{As}}{{Vm}}}} \cdot \dfrac{{{C^2}}}{{{m^2}}} = \dfrac{{Vm \cdot {C^2}}}{{As \cdot {m^2}}} = \dfrac{{V \cdot {C^2}}}{{As \cdot m}} = \\ {\rm{mit }}C = As = \dfrac{{Nm}}{V} \to V = \dfrac{{Nm}}{C}\\ = \dfrac{{\dfrac{{Nm}}{C} \cdot {C^2}}}{{C \cdot m}} = \dfrac{{Nm \cdot C}}{{C \cdot m}} = N\,\,\,\,{\rm{wzbw}}{\rm{.}} \end{array}\)
Das coulombsche Gesetz gibt ein Maß / eine Formel für jene Kraft an, die 2 punktförmige Ladungen im Vakuum auf einander ausüben und zwar zufolge der fundamentalen elektromagnetischen Wechselwirkung. Der Raum um und zwischen den beiden Ladungen ist von einem elektromagnetischen Feld erfüllt. Das elektrische Feld ist eine Folge des Vorhandenseins von elektrischer Ladung (und einer allfällig zusätzlich vorhandenen zeitlichen Änderung eines Magnetfeldes).
Das Quant / das Boson der fundamentalen elektromagnetischen Wechselwirkung ist das Photon, welches daher der Vermittler der anziehenden oder abstoßenden Kräfte zwischen den beiden punktförmigen Ladungen ist.
Unterschied coulombsche Kraft, Lorentzkraft und elektromagnetische Kraft bzw. Urspannung
Man unterscheidet 3 Arten von Kräften, die auf elektrische Ladungen wirken
- Die coulombsche Kraft wirkt zwischen 2 punktförmigen ruhenden Ladungen, ihre Ursache ist das elektrische Feld. Sie ist daher ein Phänomen der Elektrostatik und bewirkt Spannung zufolge von Potentialunterschieden.
- Die elektromagnetische Kraft (EMK) entspricht der Fähigkeit eines Systems eine Spannung – die „Urspannung“ - zu erzeugen. Konkret ist die Urspannung jene Spannung, die in einem elektrischen Leiter induziert wird, wenn sich der magnetische Fluss durch den Leiter ändert. Es handelt sich dabei um ein Phänomen der Elektrodynamik.
- Die Lorentzkraft wirkt auf bewegte Ladungen im Magnetfeld und ist daher ein Phänomen der Elektrodynamik. Diese Kraft wirkt senkrecht zur Bewegungsrichtung des geladenen Teilchens und senkrecht zur Richtung vom Magnetfeld. Die Lorentzkraft führt dazu, dass sich Elektronen in einem Magnetfeld auf gekrümmten Bahnen bewegen.
Das elektrische Feld
Elektrisches Feld → Elektrostatik; Magnetisches Feld → Magnetostatik;
Sind in einem Raum ruhende oder bewegte elektrische Ladungen Q vorhanden, so verursachen diese Ladungen die Ausbildung eines elektrischen Feldes \(\overrightarrow E \). Zufolge des elektrischen Feldes wirken zwischen gleichnamigen oder ungleichnamigen Ladungen die abstoßende oder anziehende Coulombsche Kraft \(\overrightarrow {{F_C}} \)
Elektrische Feldlinien
Elektrische Feldlinien → Elektrostatik; Magnetische Feldlinien → Magnetostatik;
Alle Ladungen Q sind von einem elektrischen Feld \(\overrightarrow E \) umgeben. Die elektrische Ladung verändert nämlich den umgebenden Raum, indem sie dort ein elektrisches Feld erzeugt.
Elektrische Feldlinien zeigen den Verlauf des Feldes, wobei sie bei positiven Ladungen beginnen und bei negativen Ladungen enden, sich nie schneiden und senkrecht zu den Ladungen stehen. Man spricht daher von einem Quellenfeld. Die positiven Ladungen sind dabei die Quellen, die negativen Ladungen sind die Senken.
Die Dichte der Feldlinien (also wie eng oder weit die Feldlinien auseinander liegen) ist ein Maß für die Feldstärke. Die Feldstärke ist nahe einer Ladung hoch, entsprechend liegen die Feldlinien dicht beieinander und dünnt dann mit zunehmender Entfernung aus. Die Richtung der Coulombschen Kraft auf eine Ladung im Feld wirkt tangential zu den Feldlinien. In einem homogenen Feld liegen die Feldlinien parallel zueinander.
Elektrische Feldstärke
Elektrische Feldstärke → Elektrostatik; Magnetische Feldstärke → Magnetostatik;
Die elektrische Feldstärke \(\overrightarrow E \) ist eine vektorielle Größe, welche die Stärke und die Richtung eines elektrischen Feldes und somit die Fähigkeit des elektrischen Feldes, eine Kraft auf eine darin enthaltene Ladung auszuüben, angibt. Die elektrische Feldstärke entspricht der auf die Längeneinheit der Feldlinie bezogenen Potentialdifferenz. Ihre Ursache sind elektrische Ladungen. Ihre Einheit ist entsprechend Volt pro Meter \(\left[ E \right] = \dfrac{{\text{V}}}{{\text{m}}}\). Die elektrische Feldstärke ist von der Potentialdifferenz, somit also der Spannung (in Volt) und dem Abstand der geladenen Körper (in Meter) abhängig.
\(\vec E = - \dfrac{{\Delta \varphi }}{{\Delta l}}\)
Zwischen zwei benachbarten Potentialflächen muss stets der konstante Potentialwert \(\vartriangle \varphi \) liegen, das bedeutet jedoch noch lange nicht, dass die Potentialflächen auch immer gleich weit voneinander entfernt liegen. Um anzeigen zu können, wo Potentialflächen näher und wo sie weiter voneinander entfernt liegen, wurde die elektrische Feldstärke \(\overrightarrow E \) definiert. Vereinfacht ausgedrückt gibt sie an, wie viele Potentialflächen gerichtet durchstoßen werden, wenn wir in eine bestimmte Richtung um die Wegstrecke \(\Delta l\) weit gehen.
Elektrische Feldstärke einer Punktladung
Die elektrische Feldstärke, die durch eine endliche punktförmig idealisierte Ladung Q ausgeht, nimmt mit dem Quadrat der Entfernung ab. Die Feldlinien stehen radial auf die kugelförmig gedachte Punktladung, die kugelschichtförmig von Äquipotentialflächen umgeben ist.
Die elektrische Feldstärke einer Punktladung Q verläuft radialsymmetrisch. Ihre Stärke nimmt mit 1/r² mit zunehmender Entfernung gemäß folgender Gleichung ab:
\(\left| {\vec E} \right| = \dfrac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r}}} \cdot \dfrac{Q}{{{r^2}}}\)
mit Q als punktförmige Ladung in Coulomb, etwa ein Elektron oder Proton, r als Abstand von der punktförmigen Ladung und \({\varepsilon _0},\,\,{\varepsilon _r}\) als der elektrische Feldkonstante, einer Naturkonstante bzw. Materialkonstante für den vom Feld erfüllten Raum.
Elektrische Flussdichte
Elektrische Flussdichte → Elektrostatik; Magnetische Flussdichte → Magnetostatik;
Die elektrische Flussdichte \(\overrightarrow D \) ist ein vektorielles Maß für die Dichte der elektrischen Feldlinien in Relation zu einer Fläche. Die elektrische Feldstärke \(\overrightarrow E \) ist mit der elektrischen Flussdichte \(\overrightarrow D \) über die elektrische Feldkonstante \(\varepsilon \) verknüpft.
\(\eqalign{ & \overrightarrow D = {\varepsilon _r} \cdot {\varepsilon _0} \cdot \overrightarrow E \cr & \left[ {\overrightarrow D } \right] = \dfrac{{\text{C}}}{{{{\text{m}}^{\text{2}}}}} \cr} \)
Elektrischer Fluss Psi
Elektrische Fluss → Elektrostatik; Magnetische Fluss → Magnetostatik;
Allgemein bezeichnet man jedes Flächenintegral über eine Vektorgröße als Fluss.
Der elektrische Fluss \(\Psi \) (sprich "Psi") ist ein Maß für die Anzahl der elektrischen Feldlinien, die durch ein Flächenelement laufen.
\(\Psi = \iint {\vec D}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} d\vec A = \oint {\vec D{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} d\vec A} \)
Zusammenhang elektrische Feldkonstante, magnetische Feldkonstante und Lichtgeschwindigkeit
Die Lichtgeschwindigkeit verknüpft die elektrischer Feldkonstante und magnetischer Feldkonstante wie folgt:
\({c_0} = \dfrac{1}{{\sqrt {{\varepsilon _0} \cdot {\mu _0}} }}\)
Elektrische Feldkonstante (Permittivität)
Elektrische Feldkonstante → Elektrostatik; Magnetische Feldkonstante → Magnetostatik;
Unterschiedliche Materialien haben eine unterschiedliche Durchlässigkeit für elektrische Felder. Das Maß dafür ist die elektrische Feldkonstante bzw. Permittivität \(\varepsilon \) (bzw. veraltet Dielektrizitätskonstante). Die elektrische Durchlässigkeit eines Stoffs \(\varepsilon \) (sprich "Epsilon"), ist das Produkt aus der elektrischen Feldkonstante die im Vakuum \({\varepsilon _0}\) gilt und einem materialspezifischen dimensionslosen Faktor \({\varepsilon _r}\).
\(\begin{array}{l} \varepsilon = {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r}\\ \left[ {{\varepsilon _0}} \right] = \left[ \varepsilon \right] = \frac{{As}}{{Vm}}\\ \left[ {{\varepsilon _r}} \right] = 1\\ {\varepsilon _0} = \dfrac{1}{{{c^2} \cdot {\mu _0}}} = 4 \cdot \pi \cdot {10^{ - 7}}\dfrac{{As}}{{Vm}} \end{array}\)
Für das Vakuum gilt:
\({\varepsilon _0} = 8,8542 \cdot {10^{12}}\dfrac{{{\text{As}}}}{{{\text{Vm}}}} = 8,8542 \cdot {10^{12}}\dfrac{F}{m}\)
Da sich Luft nur geringfügig polarisieren lässt, gilt für Luft: \({\varepsilon _r} \approx 1\). Wasser hat eine relative Permittivität von \({\varepsilon _r} \approx 80\). Mit steigender Temperatur nimmt die relative Permittivität ab, was auf die steigende Unordnung der Ladungsträger zurückzuführen ist.
Die relative Permittivität \({\varepsilon _r}\) von Dielektrika ist > 1, jene vom Vakuum ist exakt 1, jene von Leiter ist <1. Die relative Permittivität ist mitunter stark frequenzabhängig.
Ideale Stromquelle
Eine ideale Stromquelle liefert stets eine konstante Stromstärke. Die zum Liefern dieser Stromstärke nötige Spannung wird abhängig vom Widerstand der Verbrauchers von der Stromquelle automatisch eingeregelt. Der Innenwiderstand einer idealen Stromquelle ist unendlich groß. D.h. jeder in Serie dazu geschaltete Lastwiderstand erhöht den (ohnehin schon unendlich großen) Summenwiderstand nicht weiter.
Aus einer idealen Stromquelle fließt immer ein konstanter Strom IK = I0.
Welche Spannung am Lastwiderstand abfällt, hängt ausschließlich von der Höhe vom Lastwiderstand selbst ab. D.h.: RL steigt → U0 steigt, aber I0 bleibt konstant. Damit würde aber die von der idealen Stromquelle abgegebene Leistung \(P = U_0 \cdot I_0\) ins Unendliche steigen, würde man nur den Lastwiderstand kontinuierlich vergrößern. Es gibt daher keine „ideale“ Stromquelle, es gibt eigentlich auch keine „reale“ Stromquelle.
Reale Stromquelle
Um die Eigenschaften einer realen Stromquelle nachzubilden, schaltet man im Schaltbild einen inneren Widerstand Ri parallel zur Stromquelle.
\({I_L} = {I_k} - \dfrac{U_0}{{{R_i}}}\)
Je größer der Innenwiderstand Ri ist, um so idealer wird die Stromquelle. Stromquellen gibt es eigentlich gar nicht, da in der Praxis immer eine Spannung vorgegeben ist, die dann den Strom „treibt“.
Praktische Ausnahme: Elektroschweißen, dort wird auf einen konstanten Strom Wert gelegt, damit der Lichtbogen beim Schweißen in gleichmäßiger Stärke aufrecht erhalten bleibt.
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Elektrische Leistung in Drehstromsystemen
Unabhängig davon, ob Verbraucher in Stern- oder in Dreieckschaltung an ein Drehstromsystem angeschlossen sind, errechnet sich ihre Leistungsaufnahme in beiden Fällen mit den selben Formeln. Die Höhe der aufgenommenen Leistung ist bei ein und dem selben Verbraucher aber in der Sternschaltung 2/3 niedriger als in der Dreieckschaltung. Deshalb bediente man sich bei Asynchronmotoren mit hohem Anlaufstrom (Kurzschlussläufer) einer Stern-Dreiecks-Anlaufschaltung. Der Motor läuft in Sternschaltung an und nimmt nur 1/3 seiner maximalen Leistung auf und wird für den eigentlichen Betrieb in Dreiecksschaltung umgeschaltet. Heute kommen Frequenzumrichter zum Einsatz.
Wirkleistung von Drehstromsystemen
Die Wirkleistung im Drehstromnetz ist das dreifache vom Produkt aus Strangspannung, Strangstrom und dem Kosinus von Winkel zwischen Strom und Spannung bzw. das Wurzeldreifache vom Produkt aus Phasen-Phasen Spannung mal Außenleiterstrom mal dem Kosinus von Winkel zwischen Strom und Spannung
\(P = 3 \cdot \overrightarrow {{U_{Str}}} \cdot \overrightarrow {{I_{Str}}} \cdot \cos \varphi = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_L}} \cdot \overrightarrow {{I_L}} \cdot \cos \varphi \)
Blindleistung von Drehstromsystemen
Die Blindleistung im Drehstromnetz ist das dreifache vom Produkt aus Strangspannung, Strangstrom und dem Sinus von Winkel zwischen Strom und Spannung bzw. das Wurzeldreifache vom Produkt aus Phasen-Phasen Spannung mal Außenleiterstrom mal dem Sinus von Winkel zwischen Strom und Spannung
\(Q = 3 \cdot \overrightarrow {{U_{Str}}} \cdot \overrightarrow {{I_{Str}}} \cdot \sin \varphi = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_L}} \cdot \overrightarrow {{I_L}} \cdot \sin \varphi \)
Scheinleistung von Drehstromsystemen
Die Scheinleistung im Drehstromnetz ist das dreifache vom Produkt aus Strangspannung und Strangstrom bzw. das Wurzeldreifache vom Produkt aus Phasen-Phasen Spannung mal Außenleiterstrom
\(S = 3 \cdot \overrightarrow {{U_{Str}}} \cdot \overrightarrow {{I_{Str}}} = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_{L}}} \cdot \overrightarrow {{I_L}} \)
Frequenz im Wechselstromkreis
Die in Herz gemessene Frequenz gibt an, wie viele Perioden eine Wechselgröße in einer Sekunde durchläuft. Eine Periode entspricht einer positiven plus einer negativen Halbwelle einer sinusförmigen Schwingung. Die Zeit, die zum Durchlaufen einer Periode benötigt wird, nennt man die Periodendauer. In Nordamerika (Kanada, USA, Mexiko) und in wenigen andern Ländern wie Brasilien beträgt die Netzfrequenz 60Hz. Im Großteil der Welt beträgt die Netzfrequenz 50Hz.
\(f = \dfrac{1}{T}\)
f | Frequenz in Hz |
T | Schwingungs- oder Periodendauer in Sekunden |
\(\omega\) | Kreisfrequenz in 1/s |
Praktische Bedeutung der Netzfrequenz von 50 Hz
Elektrische Energie wird vorwiegend mittels Synchrongeneratoren - alternativ auch mittels Wechselrichter aus Gleichstrom etwa von Photovoltaikanlagen - erzeugt. Die Netzfrequenz beträgt in den 3 europäischen Verbundnetzen UCTE, NORDEL und IPS/UPS einheitlich 50 Hz.
Elektrische Leistung muss immer im selben Augenblick wo sie verbraucht wird auch erzeugt werden. Ist das nicht der Fall, hat das Auswirkungen auf die Netzfrequenz, was sich in der Praxis sogar in der Genauigkeit der Uhrzeit bei netzsynchronen Uhren mit bis zu 6 Minuten Anzeigeungenauigkeit niederschlagen kann.
- Übersteigt der Verbrauch kurzzeitig die Erzeugung, so sinkt die Netzfrequenz. Die fehlende Energie stammt aus der rotierenden Masse aller beteiligten Synchrongeneratoren, die so Rotationsenergie verlieren und demzufolge langsamer drehen, was wiederum zu einem Absinken der Netzfrequenz führt. Eine lokale Abweichung in Form von einem Totband von +/- 20 mHz ist zulässig, ohne dass Regelleistung eingesetzt wird.
- Im normalen Netzbetrieb darf die Frequenz um +/- 200 mHz vom Sollwert 50 Hz abweichen. Derartige Abweichungen (49,8 bzw. 50,2 Hz) werden durch den Einsatz der Primär-, Sekundär- und Tertiärregelung ausgeregelt.
- Übersteigt die Abweichung +/- 800 mHz, entsprechend 49,2 bzw. 50,8 Hz auch nur kurzfristig, werden Verbraucher oder Erzeuger abgeworfen, d.h. von Netz getrennt.
- Die größte Gefahr für ein Übertragungsnetz geht aber durch den ungeplanten Ausfall von großen Kraftwerken aus, denn sinkt die Frequenz auf unter 47,7 Hz trennen sich die Kraftwerke automatisch von Netz ab. Die Folge davon ist der Zerfall des Verbundnetzes in Inselnetze bzw. der Netzzusammenbruch.
Kreisfrequenz im Wechselstromkreis
Die Kreisfrequenz ist das 2π -fache der Frequenz. Die Kreisfrequenz \(\omega\) entspricht dem in 1 Sekunde vom einem Zeiger der Länge 1 überstrichenem Winkel. Da die Kreisfrequenz das Produkt von \(2 \cdot \pi\) und der Frequenz f ist, wird bei einer Frequenz von 50 Hz der Kreis vom zugehörigen Zeiger 50 mal pro Sekunde umlaufen.
\(\omega = 2 \cdot \pi \cdot f = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\)
Ohmsches Gesetz für Wechselstromkreise
In realen Wechselstromkreisen kommen ohmsche, kapazitive und induktive Widerstände zusammen vor. Da die zugehörigen Ströme und Spannungen eine Phasenverschiebung zu einander aufweisen, hat die sich daraus ergebende Impedanz, der sogenannte Scheinwiderstand, einen Real- und einen Imaginäranteil. Der Scheinwiderstand (Impedanz Z) ist dabei die geometrische Summe aus dem ohmschen bzw. Wirkwiderstandsanteil (Resistanz R) und dem frequenzabhängigen Blindwiderstand (Reaktanz X).
\(\overrightarrow u = \overrightarrow Z \cdot \overrightarrow i \) | komplexes ohmsches Gesetz für Ströme und Spannungen mit sinusförmiger Zeitabhängigkeit in linearen Netzwerken |
\(u\left( t \right) = {U_0} \cdot {e^{j\omega t}}\) | komplexe Spannung |
\({\text{i}}\left( t \right) = {I_0} \cdot {e^{j\left( {\omega t - \varphi } \right)}}\) | komplexe Stromstärke |
\(\overrightarrow Z = {Z_0} \cdot {e^{j\varphi }} = R + jX\) | komplexer Scheinwiderstand = Summe aus komplexem Wirk- und Blindwiderstand |
Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis
Der ohmsche Widerstand R im Wechselstromkreis ist unabhängig von der Frequenz und verursacht keine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung. Der ohmsche Widerstand geht vollständig in den Realteil vom komplexen Widerstand Z ein.
\(R = \dfrac{U}{I}\)
Illustration des zeitlichen Verlaufs der zeitabhängigen Größen Strom und Spannung in einem rein ohmschen Stromkreis
Kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis
Der kapazitive Blindwiderstand XC im Wechselstromkreis ist indirekt proportional der Frequenz und verursacht eine 90° Phasenverschiebung, bei welcher der Strom der Spannung vorauseilt. Die Höhe vom kapazitiven Widerstand XC eines Kondensators im Wechselstromkreis hängt ab von der Bauform des Kondensators und von der Frequenz des Wechselstroms. Zufolge einer 50 Hz Wechselspannung wird ein Kondensator in einer Sekunde 50 mal jeweils aufgeladen, entladen, mit entgegengesetzter Polung aufgeladen und wieder entladen. Der kapazitive Widerstand geht vollständig in den Imaginärteil vom komplexen Widerstand Z ein.
\({X_C} = \dfrac{1}{{\omega \cdot C}} = \dfrac{1}{{2\pi f \cdot C}} \to \overrightarrow Z = - j\dfrac{1}{{\omega \cdot C}}\)
Ein idealer Kondensator \(\left( {R = \infty } \right)\) stellt einen rein kapazitiven Blindwiderstand X dar. Während ein Kondensator im Gleichstromkreis wie eine Leitungsunterbrechung wirkt, lässt er im Wechselstromkreis einen reinen Blindstrom durch, da er sich periodisch lädt und entlädt. Strom und Spannung sind um 90° phasenverschoben, wobei der Strom der Spannung vorauseilt. Da sich die Spannung am stärksten in ihrem Nulldurchgang ändert, hat zeitgleich der Strom sein Maximum.
Illustration des zeitlichen Verlaufs der zeitabhängigen Größen Strom und Spannung in einem rein kapazitiven Stromkreis
Induktiver Widerstand im Wechselstromkreis
Der induktive Blindwiderstand XL im Wechselstromkreis ist direkt proportional der Frequenz und verursacht eine 90° Phasenverschiebung, bei welcher der Strom der Spannung nacheilt. Die Höhe vom induktive Widerstand XL einer Spule im Wechselstromkreis hängt ab von der Bauform der Spule (L) und von der Frequenz f des Wechselstroms. Zufolge eines 50 Hz Wechselstroms wird in einer Spule in einer Sekunde 50 mal durch Selbstinduktion ein magnetisches Feld auf und wieder abgebaut, mit entegengesetzer Richtung wieder aufgebaut und erneut abgebaut. Der induktive Widerstand geht vollständig in den Imaginärteil vom komplexen Widerstand Z ein.
\({X_L} = \omega \cdot L = 2\pi f \cdot L \to \overrightarrow Z = j \cdot \omega \cdot L\)
Eine ideale Spule (R=0) stellt einen rein induktiven Blindwiderstand X dar. Während eine Spule im Gleichstromkreis wie ein Kurzschluss wirkt, speichert und entlädt sie im Wechselstromkreis elektrische Energie ohne dabei Wirkleistung zu erbringen. Strom und Spannung sind um 90° phasenverschoben, wobei der Strom der Spannung nacheilt. Die Selbstinduktion der Spule verzögert nämlich den Stromfluss.
Illustration des zeitlichen Verlaufs der zeitabhängigen Größen Strom und Spannung in einem rein induktiven Stromkreis
Aufgaben
Aufgabe 221
Leistungsberechnung im Wechselstromkreis
Berechne für \(u\left( t \right) = U \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)\) und für \(i\left( t \right) = I \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)\) den Wirk- und den Blindleistungsanteil und interpretiere deren Mittelwerte.
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Aufgabe 245
Fourier Analyse einer \(2\pi \) periodischen Rechteckspannung
Gegeben ist folgende Rechteckspannung
\(u\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { + U\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,0 < t < \dfrac{T}{2}}\\ { - U\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,\dfrac{T}{2} < t < T} \end{array}} \right.\)
Aufgabenstellung:
Ermittle für obige Rechteckspannung die zugehörige Fourierreihe
Aufgabe 255
In einem Einfamilienhaus soll der Bezug von Strom und Gas aus dem öffentlichen Netz durch den Einsatz von Wärmepumpen und Photovoltaikanlagen reduziert werden.
1. Teilaufgabe:
Die spezifische Wärmekapazität von flüssigem Wasser beträgt \(4,190\dfrac{{kJ}}{{kg \cdot K}}\). Es soll ein 270 Liter Brauchwasserboiler eingesetzt werden. Das zufließende Wasser aus der öffentlichen Wasserleitung hat eine Temperatur von 7°C, das Brauchwasser (Abwasch, Dusche, Bad,...) soll 45°C haben.
Berechne, wie viel Energie in kWh pro Jahr erforderlich sind, um das Wasser zu erwärmen.
2. Teilaufgabe:
- Eine kWh Gas kostet inkl. MWST 4,8374 Cent bzw. 0,0484 €.
- Eine kWh Nachtstrom kostet inkl. MWST 14,21 Cent bzw. 0,1421 €
- Eine kWh Tagstrom kostet inkl. MWST 17,20 Cent bzw. 0,1720 €
Berechne die jährlichen Energiekosten des Brauchwasserboilers für jede der 3 Heizformen.
3. Teilaufgabe:
An dem Brauchwasserboilder soll eine Luft-Luft Wärmepumpe angebracht werden, die dem Raum Wärme entzieht und damit das Brauchwasser erwärmt. Die Brauchwasser-Wärmepumpe hat einen Effizienzfaktor COP = 3. D.h. sie nimmt 500 W elektrische Leistung aus dem Stromnetz auf und erzeugt 1.500 Heizleistung.
Berechne die jährlichen Stromkosten für den Betriev der Brauchwasser-Wärmepumpe.