Algebra
Wissenswertes über: Zahlensysteme und Rechengesetze, Komplexe Zahlen, Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, Matrizen, Gleichungen, Ungleichungen
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Lineare Ungleichung mit zwei Variablen
Enthalten die beiden Terme einer Ungleichung die beiden Variablen x und y und kommen diese lediglich zur 1. Potenz vor, so spricht man von einer linearen Ungleichung mit 2 Variablen. Eine lineare Ungleichung mit zwei Variablen besitzt unendlich viele Lösungspaare, die geometrisch interpretiert, die Punkte einer offenen oder geschlossenen Halbebene sind. Die Gerade kx+d<y bezeichnet man als Randgerade der Lösungsmenge und die Lösungsmenge selbst ist die dem Ungleichheitszeichen entsprechende Halbebene in der gaußschen Ebene.
\(kx + d < y\)
Ungleichung als Randgerade einer Halbebene
Soll eine Ungleichung grafisch als Randgerade einer Halbebene dargestellt werden, so muss man die Ungleichung so umformen, dass wir die zugehörige Randgerade in der Form \(y = k \cdot x + d\) erhalten.
Operator „ < “ oder „ > “: Randgerade ist strichliert: \(g \notin L\)
Die Punkte auf der Randgeraden sind nicht Teil der Lösung. Man spricht von einer offenen Halbebene
Operator „ \( \le\) “ oder „ \( \ge\) “ Randgerade ist durchgezogen: \(g \in L\)
Die Punkte auf der Randgeraden sind Teil der Lösung. Man spricht von einer abgeschlossenen Halbebene
Man wählt einen beliebigen Punkt nahe aber nicht auf der Randgerade und prüft ob er die Ungleichung erfüllt und daher in der entsprechenden Halbebene (farbig markiert) liegt.
Achtung: Bei Multiplikation oder Division von Ungleichungen mit einer negativen Zahl muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden!
Beispiel:
\(3y - 2x < 6\)
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Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen
Von einem System linearer Ungleichungen mit 2 Variablen spricht man, wenn man die gemeinsame Lösung von 2 oder mehr Ungleichungen mit 2 Variablen finden soll. Zuerst ermittelt man die Randgeraden und die zugehörige Halbebene der jeweiligen Ungleichungen getrennt voneinander...
\(\eqalign{ & kx + d < y \cr & ex + f > y \cr}\)
... und bildet anschließend die Durchschnittsmenge.
\({L_{Ges}} = {L_1} \cap {L_2}\)
Beispiel:
Ein System mit 3 linearen Ungleichungen:
Quadratische Ungleichung mit einer Variablen
Enthält die Ungleichung die Variable x zur 2. Potenz, so spricht man von einer quadratischen Ungleichung.
\(a{x^2} + bx + c < 0\)
Man löst zunächst die zugehörige quadratische Gleichung
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
mit der abc Formel.
- Wenn die Gleichung keine Lösung hat, dann ist die Ungleichung entweder für kein oder für alle x erfüllt
- Wenn die Gleichung eine oder zwei Lösung hat, dann ist die Lösung der Ungleichung die Vereinigungsmenge der Lösungsintervalle
Anschließen faktorisiert man das Polynom wie folgt
\(a{x^2} + bx + c = (x - {x_1}) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)
somit wird aus \(a{x^2} + bx + c < 0\) nunmehr \((x - {x_1}) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) < 0\)
Die beiden Faktoren (x-x1) bzw. (x-x2) ergeben nur dann gemäß Angabe ein negatives Ergebnis (<0), wenn sie entgegengesetzte Vorzeichen haben. Es muss daher gelten:
\(\eqalign{ & \left( {x - {x_1}} \right) < 0{\text{ und }}\left( {x - {x_2}} \right) > 0 \cr & {\text{oder}} \cr & \left( {x - {x_1}} \right) > 0{\text{ und }}\left( {x - {x_2}} \right) < 0 \cr}\)
Nunmehr kann man die Lösung als offenes Intervall auf dem Zahlenstrahl darstellen.
Illustration der Lösung einer quadratischen Ungleichung am Zahlenstrahl
Aufgaben
Aufgabe 1
Addition komplexer Zahlen
Berechne:
\(\eqalign{ & w = {z_1} + {z_2} \cr & {z_1} = 4 + 5i \cr & {z_2} = 2 + 3i \cr}\)
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Aufgabe 33
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\({x^2} - 6x + 12 = 0\)
Aufgabe 38
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {a^0}{\text{ für }}a \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Aufgabe 64
Potenzieren von Potenzen
Vereinfache:
\(w = \left( {{{\left( {\dfrac{{ - 4ar}}{{3{b^2}s}}} \right)}^3}:{{\left( {\dfrac{{4ar}}{{12{b^3}{s^2}}}} \right)}^2}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{{bs}}{{2ar}}} \right)^4}\)
Aufgabe 80
Darstellungsformen komplexer Zahlen
Stelle die komplexe Zahl z in weiteren 3 Darstellungsformen dar.
\(z = 1,5 + 1,5i\)
1. Teilaufgabe: Als Zahlenpaar
2. Teilaufgabe: In der Exponentialform
3. Teilaufgabe: In der Polarform
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Aufgabe 246
Zahlenstrahl
Ergänze die Beschriftung des Zahlenstrahls für jene Werte, die in die Kästchen gehören
Aufgabe 2
Addition komplexer Zahlen
Berechne:
\(\eqalign{ & w = {z_1} + {z_2} \cr & {z_1} = - 2 + 3i \cr & {z_2} = 1 - 2i \cr} \)
Aufgabe 34
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\({x^2} - 6x + 58 = 0\)
Aufgabe 39
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {0^0}\)
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Aufgabe 65
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
1. Teilaufgabe: Was versteht man unter einer quadratischen Gleichung ?
2. Teilaufgabe: Was versteht man unter einer normierten quadratischen Gleichung?
3. Teilaufgabe: Dokumentiere durch ein Beispiel, wie man eine quadratische Gleichung, in eine normierte quadratische Gleichung überführen kann.
Aufgabe 81
Zwischen Darstellungsformen komplexer Zahlen umrechnen
Stelle die komplexe Zahl z in weiteren 3 Darstellungsformen dar
\(z = \sqrt {65} .{e^{i300^\circ }}\)
1. Teilaufgabe: In der Polarform
2. Teilaufgabe: In kartesicher Darstellung
3. Teilaufgabe: Als Zahlenpaar
Aufgabe 247
Zahlenstrahl
Ergänze die Beschriftung des Zahlenstrahls für jene Werte, die in die Kästchen gehören