Aufgabe 33
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\({x^2} - 6x + 12 = 0\)
Lösungsweg
Es ist eine quadratische Gleichung zu lösen. Zur Lösung bietet sich die pq Formel an. An Hand der Diskriminante werden wir erkennen, ob die Lösungen reelle oder komplexe Zahl(en) sind.
\({x^2} - 6x + 12 = 0\)
Gemäß der Formel für eine "Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung gemäß pq Formel" gilt:
\(\eqalign{ & {x^2} + px + q = 0 \cr & {x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{p}{2}} \right)}^2} - q} \cr}\)
mit p=-6; q=12;
\(\eqalign{ & {x_{1,2}} = - \dfrac{{ - 6}}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{{ - 6}}{2}} \right)}^2} - 12} \cr & {x_{1,2}} = 3 \pm \sqrt {9 - 12} \cr & {x_{1,2}} = 3 \pm \sqrt { - 3} \cr & {x_{1,2}} = 3 \pm i\sqrt D \cr}\)
D < 0: Daher hat die Gleichung keine Lösung in R. Die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung sind 2 zueinander konjugiert komplexe Zahlen.
\({x_{1,2}} = 3 \pm i\sqrt 3\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\({x_{1,2}} = 3 \pm i\sqrt 3\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung sowohl in Real- und Imaginärteil mit der korrekten Lösung übereinstimmt.