Aufgabe 81

1. Teilaufgabe:
Polarform:

\(z = \sqrt {65} .{e^{i300^\circ }}\)

Gemäß der Formel für die Umrechnung von komplexen Zahlen in kartesische, trigonometrische und exponentielle bzw. eulersche Darstellung gilt:
\(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi );\)

\(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi );\)

\(z = \sqrt {65} .(\cos 300 + i\sin 300);\)

2. Teilaufgabe:
Kartesische Darstellung

\(z = \sqrt {65} .{e^{i300^\circ }}\)

Gemäß der Formel für die Umrechnung von komplexen Zahlen in kartesische, trigonometrische und exponentielle bzw. eulersche Darstellung gilt:
\(\eqalign{ & mit:\,\,\,z = a + bi \cr & a = r.\cos \varphi ;\,\,\,\,\,b = r.\sin \varphi ; \cr & r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ; \cr}\)

\(\eqalign{ & a = r \cdot \cos \varphi = \sqrt {65} \cdot \cos 300 = \sqrt {65} \cdot 0,5 = 4,031; \cr & b = r \cdot \sin \varphi = \sqrt {65} \cdot \sin 300 = \sqrt {65} \cdot ( - 0,866) = - 6,982; \cr & z = 4,031 - 6,982i; \cr}\)

3. Teilaufgabe:
Zahlenpaar

\(z = \sqrt {65} .{e^{i300^\circ }}\)

Gemäß der Formel für die Umrechnung von komplexen Zahlen in kartesische, trigonometrische und exponentielle bzw. eulersche Darstellung gilt:
\(z = (a\left| b \right.);\)

\(\eqalign{ & a = r.\cos \varphi = \sqrt {65} .\cos 300 = \sqrt {65} .0,5 = 4,031; \cr & b = r.\sin \varphi = \sqrt {65} .\sin 300 = \sqrt {65} .( - 0,866) = - 6,982; \cr & z = (4,031\left| {\,\, - 6,982} \right.); \cr} \)