Potenzieren
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
- Das Potenzieren entspricht einer mehrfachen Multiplikation. Es ermöglicht es x zu berechnen, wenn x unter einer Wurzel steht.
- Das Ziehen von Wurzeln stellt die Umkehrung vom Potenzieren dar. Es ermöglicht es x zu berechnen, wenn x die Basis einer Potenz ist.
- Das Logarithmieren ist eine weitere Möglichkeit einen Potenzterm nach x aufzulösen. Es ermöglicht es x zu berechnen, wenn x der Exponent einer Potenz ist.
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Potenzieren
Potenzieren, d.h. die Potenzrechnung, ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x unter einer Wurzel steht.
Beispiel:
Berechne x
\(\eqalign{ & \root 3 \of x = 5 \cr & x = {5^3} = 125 \cr}\)
Bezeichnungen beim Potenzieren
Eine Potenz ist ein Begriff aus der Exponentialrechnung. Sie setzt sich aus einer Mantisse, einer Basis und einem Exponenten zusammen. Es handelt sich dabei um eine vereinfachte Schreibweise einer Multiplikation.
\(m \cdot {a^n}\) | |
m | Mantisse, das ist die Gleitkommazahl vor der Potenz |
\({a^n}\) | Potenz |
a | Basis oder Grundzahl beschreibt, welche Basis zu multiplizieren ist, |
\({^n}\) | Exponent oder Hochzahl beschreibt, wie oft die Basis mit sich selbst zu multiplizieren ist |
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Beim Potenzieren handelt es sich um eine abgekürzte Schreibweise für eine spezielle Multiplikation, bei der ein Faktor „a“ n-mal mit sich selbst multipliziert wird. Man spricht „a hoch n“.
\(\eqalign{ & {a^n} = a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a \cr & a \in {\Bbb R} \cr & n \in {\Bbb N}\backslash \left\{ 0 \right\} \cr}\)
- Quadrieren: Multipliziert man eine Zahl einmal mit sich selbst, bzw. nimmt man eine Zahl zum Quadrat, so spricht man vom Quadrieren. Die Hochzahl bzw. der Exponent ist also 2. Beispiel: x2
Quadriert man eine negative Zahl, so ist das Resultat eine positive Zahl. Beispiel: (-2)2=4 - Kubieren: Multipliziert man eine Zahl zweimal mit sich selbst, bzw. nimmt man eine Zahl zur dritten Potenz, so spricht man vom Kubieren. Die Hochzahl bzw. der Exponent ist also 3. Beispiel: x3
Kubiert man eine negative Zahl, so ist das Resultat eine negative Zahl. Beispiel: (-2)3= -8
Potenzen mit negativen Exponenten
Eine Potenz mit negativem Exponent kann in einen Quotienten umgewandelt werden, in dessen Zähler eine 1 steht und dessen Nenner die Basis der Potenz aber mit positivem Exponenten ist. In der Praxis geht man aber eher umgekehrt vor und macht aus einem Bruch eine Potenz mit negativem Exponent.
\({a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}\)
Potenzen mit negativer Basis
Potenzen von Zahlen mit einer negativen Basis sind positiv, wenn der Exponent gerade ist bzw. negativ, wenn der Exponent ungerade ist.
Beispiel:
- negative Basis, gerader Exponent: \({\left( { - 3} \right)^4} = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = 9 \cdot 9 = 81\)
- negative Basis, ungerader Exponent: \({\left( { - 3} \right)^3} = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = 9 \cdot \left( { - 3} \right) = - 27\)
Beispiel aus der Physik:
Lichtgeschwindigkeit
\({{c_0} = {{2,99792.10}^8}\dfrac{m}{s}}\) | Potenzen |
2,99792 | Mantisse |
10 | Basis |
8 | Exponent |
\({\dfrac{m}{s}}\) | physikalische Einheit |
Rechenregeln für Potenzen
Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung
- \({0^0}...{\text{nicht definiert}}\)
- \({0^{ - n}}...{\text{nicht definiert}}\)
- \({0^n} = 0\)
- \({a^0} = 1\)
- \({a^1} = a\)
- \(n \in {{\Bbb N}_u}:\,\,\,{\left( { - a} \right)^n} = - {a^{n}}\)
- \(n \in {{\Bbb N}_g}:\,\,\,{\left( { - a} \right)^n} = {a^{n}}\)
- \({a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}\)
Potenzen addieren bzw. subtrahieren, wenn die Basen und die Exponenten überein stimmen
Zwei Potenzen haben den selben Wert, wenn sie in Basis und Exponent übereinstimmen. Man kann in diesem Fall beim Addieren bzw. Subtrahieren die Potenz "herausheben".
\(\eqalign{ & x \cdot {a^b} + y \cdot {a^b} = (x + y) \cdot {a^b} \cr & x \cdot {a^b} - y \cdot {a^b} = (x - y) \cdot {a^b} \cr}\)
Potenzen multiplizieren bzw. dividieren, wenn die Basen übereinstimmen
Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert. Bei der Division werden die beiden Exponenten subtrahiert.
\(\eqalign{ & {a^r} \cdot {a^s} = {a^{r + s}} \cr & {a^r}:{a^s} = \dfrac{{{a^r}}}{{{a^{}}}} = {a^{r - s}} \cr}\)
Potenzen multiplizieren bzw. dividieren, wenn die Exponenten übereinstimmen
Potenzen mit unterschiedlicher Basis aber übereinstimmenden Exponenten werden multipliziert bzw. dividiert indem man das Produkt bzw. den Quotient der Basen bildet und den Exponenten unverändert übernimmt
\(\eqalign{ & {a^r} \cdot {b^r} = {(a \cdot b)^r} \cr & {a^r}:{b^r} = {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^r} = {a^r} \cdot {b^{ - r}} \cr}\)
Potenzen potenzieren bzw. radizieren
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. Man zieht die Wurzel aus Potenzen, indem man den Exponenten der Potenz durch den Wurzelexponenten dividiert wobei die Basis unverändert bleibt.
\(\eqalign{ & {\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{r \cdot s}} = {\left( {{a^s}} \right)^r} \cr & \root s \of {{a^r}} = {a^{\dfrac{r}{s}}} \cr}\)
Potenzen von Binomen
Multipliziert man ein Binom ein- oder mehrfach mit sich selbst, so kommen die Binomischen Formeln und Lehrsätze zur Anwendung.
Binom
Ein Binom ist die Summe oder die Differenz zweier Monome (a, b).
\(\left( {a \pm b} \right)\)
Binomische Formeln
Mit Hilfe der Binomischen Formeln kann man das Quadrat eines Binoms oder das Produkt zweier Binome einfach in ein Polynom umwandeln. Den umgekehrten Vorgang, bei dem ein Polynom in das Quadrat eines Binoms umgewandelt wird, nennt man faktorisieren. Die drei Binomischen Formeln sollte man auswendig kennen.
1. Binomische Formel (Plus-Formel)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2};\)
2. Binomische Formel (Minus-Formel):
\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2};\)
3. Binomische Formel (Plus-Minus-Formel)
\((a + b) \cdot (a - b) = {a^2} - {b^2};\)
Höhere Potenzen von der 1. bzw. 2. Binomischen Formel
\({\left( {a \pm b} \right)^3} = {a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3};\)
\({\left( {a \pm b} \right)^4} = {a^4} \pm 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} \pm 4a{b^3} + {b^4}\)
Binomischer Lehrsatz
Der binomische Lehrsatz ermöglicht es auf einfache Weise, die n-te Potenz des Binoms in ein Polynom umzuwandeln. Die Koeffizienten "n über k" werden als Binomialkoeffizienten bezeichnet.
\({\left( {a + b} \right)^n} = \left( {\matrix{ n \cr 0 \cr } } \right){a^n}{b^0} + \left( {\matrix{ n \cr 1 \cr } } \right){a^{n - 1}}{b^1} + \left( {\matrix{ n \cr 2 \cr } } \right){a^{n - 2}}{b^2} + ... + \left( {\matrix{ n \cr {n - 1} \cr } } \right){a^1}{b^{n - 1}} + \left( {\matrix{ n \cr n \cr } } \right){a^0}{b^n}\)
\({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\matrix{ n \cr k \cr } } \right)} \cdot {a^{n - k}} \cdot {b^k}\)
\({\left( {a - b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right)} \cdot {a^{n - k}} \cdot {\left( { - b} \right)^k}\)
Durch die Anwendung vom Binomischen Lehrsatz erspart man sich das Ausmultiplizieren von n Klammerausdrücken.
Pascal‘sches Dreieck - n-te Potenz von Binomen
Neben dem Binomischen Lehrsatz bietet das Pascalsche Dreieck einen Algorithmus, die Potenzen eines Binoms in ein Polynom umzuwandeln, ohne die n Klammern arbeitsintensiv ausmultiplizieren zu müssen.
\(\eqalign{ & {\left( {a \pm b} \right)^0} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \cr & {\left( {a \pm b} \right)^1} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a \pm b \cr & {\left( {a \pm b} \right)^2} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^2} \pm 2ab + {b^2} \cr & {\left( {a \pm b} \right)^3} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3} \cr & {\left( {a \pm b} \right)^4} = {a^4} \pm 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} \pm 4a{b^3} + {b^4} \cr} \)
Die Koeffizienten sind die Summe der links und rechts darüber liegenden Koeffizienten
Merke:
- Mit fallenden Potenzen von a steigen die Potenzen von b
- In jedem Glied ist die Summe der beiden Exponenten gleich dem Exponenten des Binoms
- Die Vorzahlen des 2. und des vorletzten Gliedes sind gleich dem Exponenten des Binoms
- Bei Potenzen einer Differenz (a-b) wechseln die Vorzeichen von Glied zu Glied
Quadratische Ergänzung
Kann man zu einem Polynom einen Term addieren und sofort wieder subtrahieren, sodass eine Binomische Formel entsteht, so spricht man von einem vollständigen Quadrat durch quadratische Ergänzung.
Aufgaben
Aufgabe 62
Potenzieren von Potenzen
Vereinfache:
\(w = {\left( {\dfrac{{4{a^2}}}{{{b^3}}}} \right)^3}:{\left( {\dfrac{{4{a^3}}}{b}} \right)^4}\)
Schon den nächsten Badeurlaub geplant?
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Aufgabe 63
Potenzieren von Potenzen
Vereinfache:
\(w = \dfrac{{{2^4} \cdot {4^2} \cdot {b^{ - 1}}}}{{5{a^2} \cdot {b^{ - 3}}}}:\dfrac{{{2^5} \cdot {a^{ - 2}} \cdot b \cdot {5^{ - 1}}}}{{{{16}^{ - 1}} \cdot {b^{ - 1}}}}\)