Differentialquotient
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Formeln
Ableitungsfunktion f'(x) zur Funktion f(x) auffinden
Die Differenzierbarkeit einer Funktion y=f(x) an einer Stelle x0 bedeutet, dass die Funktionskurve an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit einer endlichen Steigung besitzt. Eine Funktion f(x) heißt an der Stelle x differenzierbar, wenn der Grenzwert gemäß nachfolgender Gleichung vorhanden ist. Diesen Grenzwert nennt man die 1. Ableitung.
\(f'({x_0}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}}\)
Differential
Das Differential bezeichnet den linearer Anteil des Zuwachses der abhängigen Variablen y, bei einer Veränderung der unabhängigen Variablen x.
\(\dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right) = f'\left( x \right) = \dfrac{{dy}}{{dx}} = y'\)
Intervallweise differenzierbare Funktion
Eine Funktion f(x) ist in einem Intervall I genau dann differenzierbar, wenn sie für jedes x im Intervall I differenzierbar ist.
\(f'({x_1}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_1}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_1} + \Delta x) - f({x_1})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}}\)
Man spricht von einer Knickstelle, wenn die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung verschieden sind. Zur Ableitung von lediglich intervallweise differenzierbaren Funktionen bildet man daher Intervalle, welche die nicht differenzierbaren Stellen ausschließen. Man ersetzt dabei die Funktionsgleichung durch zwei oder mehrere geeignete abschnittweise definierte Teilfunktionen.
Stetigkeit einer Funktion
Eine Funktion ist an der Stelle x0 dann stetig, wenn an dieser Stelle der Funktionswert mit dem Grenzwert übereinstimmt. Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist, heißt stetige Funktion.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Der Graph einer stetigen Funktion ist eine „durchgängige“ Linie, die durchaus Knicks aber keine Sprünge enthalten darf, die sich also „ohne mit dem Bleistift abzusetzen“ zeichnen lässt.
- Aus Stetigkeit folgert nicht automatisch Differenzierbarkeit. Da bei stetigen Funktionen „Knicks“ zugelassen sind, sind nicht alle stetigen Funktionen deshalb automatisch auch durchgängig differenzierbar.
- Aus Differenzierbarkeit folgert Stetigkeit (aber nicht umgekehrt!)
Definition der Ableitung
Existiert von einer reellen Funktion f(x) an jeder Stelle x0 ihrer Definitionsmenge Df ein Differentialquotient, so ist die Funktion f(x) differenzierbar.
Die nachfolgende Funktion ist zwar stetig, aber an 2 Stellen (x=+/-4) nicht differenzierbar.
Weierstraß Funktion
Die Weierstraß-Funktion ist auf Grund der unendlich vielen Summanden zwar überall konvergent und stetig, aber da man keine Tangente konstruieren kann, ist sie nicht differenzierbar:
\(f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\dfrac{{{2^k} \cdot \sin \left( {{2^k}x} \right)}}{{{3^k}}}} \)
Erste Ableitung einer Funktion
Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle x0 wird durch den Wert der 1. Ableitung der Funktion bestimmt.
\(y' = f'\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right) = k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \tan \alpha \)
Wir unterscheiden dabei 3 Fälle:
- Steigende Tangente: \(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\) bzw. k>0: Der Graph ist an der Stelle x0 steigend. Die Tangente in x0 verläuft von links unten nach rechts oben.
- Horizontale Tangente: \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) bzw. k=0: Der Graph verläuft an der Stelle x0 horizontal. Die Tangente in x0 hat keine Steigung, sie verläuft waagrecht. Es liegt eine Extremstelle (Hochpunkt, Tiefpunkt) oder ein Sattelpunk vor. Umgekehrt formuliert: Eine Funktion hat dann keine waagrechte Tangente, wenn ihre 1. Ableitung keine Nullstelle hat.
- Fallende Tangente: \(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\) bzw. k<0: Der Graph verläuft an der Stelle x0 fallend. Die Tangente in x0 verläuft von links oben nach rechts unten
Zweite Ableitung einer Funktion
Das Krümmungsverhalten vom Graph der Funktion an der Stelle x0 wird durch den Wert der 2. Ableitung der Funktion bestimmt.
\(y'' = f''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f\left( x \right)\)
Links gekrümmter Graph, lokales Minimum
Ist \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) so ist der Funktionsgraph ist an der Stelle x0linksgekrümmt - die Steigung der Tangente nimmt zu. Merkregel: Fährt man den Graph mit einem Fahrzeug entlang, dann muss man nach links lenken. Darin liegt auch die Begründung, warum für ein lokales Minimum \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) neben der 1. Ableitung auch die 2. Ableitung auf ihr Vorzeichen geprüft werden muss.
Rechtsgekrümmter Graph, lokales Maximum
Ist \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) so ist der Funktionsgraph an der Stelle x0rechtsgekrümmt - die Steigung der Tangente nimmt ab. Merkregel: Fährt man den Graph mit einem Fahrzeug entlang, dann muss man nach rechts lenken. Darin liegt auch die Begründung, warum für ein lokales Maximum \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) neben der 1. Ableitung auch die 2. Ableitung auf ihr Vorzeichen geprüft werden muss.
Dritte Ableitung einer Funktion
Der Wechsel des Krümmungsverhaltens vom Graph einer Funktion an der Stelle x0 wird durch den Wert der 3. Ableitung der Funktion bestimmt.
\(y''' = f'''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f''\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^3}}}{{d{x^3}}}f\left( x \right)\)
Wir unterscheiden dabei 2 Fälle:
Ist \(f'''\left( {{x_0}} \right) > 0\) so erfolgt im Wendepunkt ein Übergang von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve.
Ist \(f'''\left( {{x_0}} \right) < 0\): so erfolgt im Wendepunkt ein Übergang von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve.
Höhere Ableitungen
Wenn die n-te Ableitung einer Funktion f(x) wiederum eine Funktion in x oder eine Konstante ist, so kann man auch diese n-te Ableitung erneut ableiten und erhält so die (n+1)-te Ableitung usw. Man spricht allgemein von "höheren Ableitungen".
\(y = f\left( x \right)\)
\(y' = f'\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right)\)
\(y'' = f''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f\left( x \right)\)
\(y''' = f'''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f''\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^3}}}{{d{x^3}}}f\left( x \right)\)
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Änderungsmaße
Um die Änderung von einem Wert in Bezug auf einen anderen Wert quantifizieren zu können, bedient man sich verschiedener Änderungsmaße. Man unterscheidet dabei zwischen Änderung und Änderungsrate
- Änderung: Beschreibt die Veränderung zwischen dem "vorher" und dem "nachher" Wert einer Größe
- Absolute Änderung
- Relative Änderung
- Prozentuelle Änderung
- Änderungsrate: Beschreibt das Verhältnis der Veränderung einer abhängigen Größe \(\Delta y\) zur Veränderung einer unabhängigen Größe \(\Delta x\)
- Mittlere Änderungsrate
- Momentane Änderungsrate
Absolute Änderung
Die absolute Änderung entspricht der Differenz aus "oberem Wert" minus "unterem Wert" vom betrachteten Intervall. Sie hat - im Unterschied zur relativen bzw. prozentuellen Änderung - eine physikalische Einheit.
\(\begin{array}{l} \Delta y = {y_2} - {y_1}\\ \Delta {y_n} = {y_{n + 1}} - {y_n}\\ \Delta f = f\left( b \right) - f\left( a \right) \end{array}\)
Relative Änderung
Die relative Änderung entspricht der absoluten Änderung „bezogen auf den“ oder „relativ zum“ Grundwert. Sie errechnet sich als der Quotient aus der absoluten Änderung und dem Grundwert. Die relative Änderung ist eine Dezimalzahl, die keine physikalische Einheit hat.
\(\begin{array}{l} \dfrac{{\Delta y}}{{{y_1}}} = \dfrac{{{y_2} - {y_1}}}{{y1}}\\ \dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{{y_{n + 1}} - {y_n}}}{{{y_n}}}\\ \dfrac{{\Delta f}}{{{f_a}}} = \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{f\left( a \right)}} \end{array}\)
Prozentuelle Änderung
Die prozentuale Änderung entspricht dem Quotienten aus der absoluten Änderung und dem Grundwert, multipliziert mit 100%. Die prozentuale Änderung ist daher eine relative Änderung in Prozentschreibweise ohne physikalische Einheit. Der Grundwert y1 ist zugleich der 100% Wert. Die prozentuale Änderung beschreibt in Prozent, um wie viel sich ein gegebener Grundwert verändert, also erhöht oder verringert, hat.
\(p = \dfrac{{{y_2} - {y_1}}}{{{y_1}}} \cdot 100\% \)
Beispiel:
Datenquelle:
https://www.statistik.at/web_de/statistiken/menschen_und_gesellschaft/b…
- durchschnittliche Bevölkerung Österreichs im Jahr 2000: 8.011.566 EW
- durchschnittliche Bevölkerung Österreichs im Jahr 2019: 8.877.637 EW
absolute Änderung der Bevölkerung im Betrachtungszeitraum:
\(E{W_{2019}} - E{W_{2000}} = 8.877.637{\text{ EW}} - 8.011.566{\text{ EW}} = 866.071{\text{ EW}}\)
→ Die Bevölkerung ist im Betrachtungszeitraum um 866.071 Einwohner gestiegen
relative Änderung der Bevölkerung im Betrachtungszeitraum:
\(\dfrac{{E{W_{2019}} - E{W_{2000}}}}{{E{W_{2000}}}} = \dfrac{{8.877.637 - 8.011.566}}{{8.011.566}} = \dfrac{{866.071}}{{8.011.566}} = 0,1081\)
→ Die Bevölkerung ist im Betrachtungszeitraum auf das 1,1081 fache gestiegen
prozentuale Änderung der Bevölkerung im Betrachtungszeitraum:
\(\dfrac{{E{W_{2019}} - E{W_{2000}}}}{{E{W_{2000}}}} \cdot 100\% = \dfrac{{866.071}}{{8.011.566}} \cdot 100\% = 10,81\% \)
→ Die Bevölkerung ist im Betrachtungszeitraum um 10,81 % gestiegen
Differenzengleichungen
Eine Differenzengleichung ist eine rekursive Bildungsvorschrift für eine Zahlenfolge. Mit Hilfe der Differenzengleichung kann man aus der n-ten Zahl xn der Folge die darauf folgende n+1 Zahl xn+1 der Folge ermitteln. x0 ist der Startwert der Folge. n muss eine natürliche Zahl (1,2,3…) sein
Die lineare Differenzengleichung entspricht einer arithmetischen Folge. Dabei liegt zwischen dem n-ten und den n+1-ten Glied ein fester Betrag k.
\(\eqalign{ & {a_{n + 1}} = {a_n} \pm k........{\text{rekursive Darstellung}} \cr & {a_{n + 1}} - {a_n} = \pm k......{\text{Differenzendarstellung}} \cr} \)
Beispiel Startwert 100, je Zeitintervall kommen 5 Einheiten dazu
\(\eqalign{ & {a_0} = 100 \cr & {a_1} = {a_0} + k = 100 + 5 = 105 \cr & {a_2} = {a_1} + k = 105 + 5 = 110 \cr} \)
Die exponentielle Differenzengleichung entspricht einer geometrischen Folge. Dabei liegt zwischen dem n-ten und den n+1-ten Glied ein fester Prozentsatz bzw. ein gleicher relativer Anteil.
\(\eqalign{ & {a_{n + 1}} = {a_n} \cdot q{\text{ mit q}} = \dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}{\text{ = 1}} \pm \dfrac{p}{{100}}.....{\text{rekursive Darstellung}} \cr & {a_{n + 1}} - {a_n} = {a_n} \cdot \left( {q - 1} \right)..........{\text{Differenzendarstellung}} \cr} \)
Beispiel: Startwert 100, sinkt je Zeitintervall um 5%
\(\eqalign{ & {a_0} = 100\,\,\,\,\,\,\,\,5\% \buildrel \wedge \over = 1 - \frac{5}{{100}} = 0,95 \cr & {a_1} = 100 \cdot 0,95 = 95 \cr & {a_2} = 95 \cdot 0,95 = 90,25 \cr} \)
Mittlere Änderungsrate bzw. Differenzenquotient
Der Differenzenquotient gibt die mittlere Änderungsrate in einem Intervall an und entspricht der Steigung einer Sekante durch zwei Punkte am Graph der Funktion \(f\). Die mittlere Änderungsrate errechnet sich aus dem Quotienten von der Differenz der Funktionswerte (f(b), f(a)) zur Differenz der Argumente (b, a).
\(\begin{array}{l} {k_{{\rm{Sekante}}}} = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\\ {k_{{\rm{Sekante}}}} = \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}} \end{array}\)
\(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = \dfrac{{y\left( {{t_2}} \right) - y\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}};\)
Während eine lineare Funktion (deren Graph eine Gerade ist) eine konstante Steigung k besitzt, hat eine Funktion höheren Grades (deren Graph eine "Kurve" ist) eine Steigung, die vom jeweiligen Punkt auf dem Graphen abhängt.
Der Differenzenquotient ermöglicht es, die Steigung einer nicht linearen Funktion für einen bestimmten Abschnitt, der durch 2 Punkte \({f\left( {{x_0}} \right)}\) und \({f\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}\) auf dem Graphen definiert ist, zu berechnen. Dabei entspricht die jeweilige Steigung der Funktion der zugehörigen Steigung der Geraden (=Sekante) durch die beiden Punkte. Man spricht auch von der "mittleren Anstiegsrate"
Der Differenzenquotient ist leider nur eine Näherung für die Steigung der Funktion. Erst der Differentialquotient (als Grenzwert des Differenzenquotienten mit \(\vartriangle x \to 0\)) liefert dann eine exakte Berechnung, bei der die Sekante in eine Tangente übergeht, da der Abstand zwischen den beiden Punkten gegen Null geht.
Momentane Änderungsrate bzw. Differentialquotient
Der Differentialquotient gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x0 an und entspricht der Steigung k der Tangente an die Funktion \(f\) . Er errechnet sich aus der 1. Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\). Der Differentialquotient ist definiert als der Grenzwert (Limes) vom Differenzenquotient.
\(\eqalign{ & f'({x_0}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}} \cr & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{x_1} \to {x_0}} \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{{x_1} - {x_0}}} \cr}\)
Grafisch lässt sich Differenzierbarkeit so deuten, dass an den Graphen der Funktion f(x) an jeder Stelle genau (!) eine Tangente existiert.
Aufgaben
Aufgabe 1795
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 14. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Änderungsraten
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Funktion f im Intervall [1; 7] dargestellt.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung denjenigen Punkt P des Graphen von f ein, in dem für die Funktion f der Differenzialquotient dem Differenzenquotienten im Intervall [1; 7] entspricht.
[0 / 1 Punkt]
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.