Beschreibende Statistik
Zum Schlagwort passende, original Teil A und Teil B Aufgaben, aus ehemaligen BHS bzw. BRP Maturaterminen, aus dem Fach Angewandte Mathematik.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Beschreibende bzw. deskriptive Statistik
Die beschreibende bzw. deskriptive Statistik stellt große Datenmengen (Vollerhebung, Grundgesamtheit) übersichtlich dar und verdichtet diese, damit charakteristische Eigenschaften der Datenmenge durch einfache Kennzahlen ausgedrückt werden können. Bei den statistischen Kennzahlen unterscheidet man zwischen Lage- und Streumaßen
Lagemaße:
Die Lagemaße geben Auskunft zur zentralen Tendenz, darüber wo sich die Werte konzentrieren.
- Modalwert = Modus
- Arithmetisches Mittel
- Gewichtetes / gewogenes arithmetisches Mittel
- Geometrisches Mittel
- Median =Zentralwert
- Quantil
Streuungsmaße:
Die Steuungsmaße geben Auskunft über die Breite der Verteilung, also zur Variabilität der Werte.
- Spannweite
- Lineare Abweichung
- Varianz
- Standardabweichung
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Datenerhebung für statistische Aussagen
Bei der Datenerhebung für statistische Aussagen hat sich folgende Terminologie etabliert:
statistische Einheit
Eine statistische Einheit, auch Erhebungseinheit genannt, ist ein einzelnes Element der Grundgesamtheit (z.B. Herr Max Mustermann).
Grundgesamtheit G
Die Grundgesamtheit G ist die Menge aller Elemente / aller Erhebungseinheiten, auf die sich eine statistische Auswertung bezieht. (z.B.: Alle Österreicher)
Stichprobe
Die Stichprobe ist eine repräsentative Teilmenge, die der Grundgesamtheit zufällig entnommen wurde. (z.B.: 20 zufällig ausgewählte Österreicher). Sie gilt als repräsentativ, wenn sie die typischen Merkmale der Grundgesamtheit repräsentiert.
Stichprobenumfang n
Der Umfang n der Stichprobe entspricht der Anzahl der erhobenen Einheiten. Der Stichprobenumfang soll so gewählt werden, dass lediglich eine möglichst kleine Teilmenge der Grundgesamtheit zu untersuchen ist, die Aussagen aber dennoch für die Grundgesamtheit repräsentativ sind.
Merkmal X, Y
Ein Merkmal X, Y ist jene Eigenschaft der statistischen Einheit, die untersucht werden soll (z.B.: die Körpergröße, Geschlecht). Bei einer Erhebung entspricht einem Merkmal eine Frage. (z.B.: Wie groß sind Sie?,...) Merkmale nehmen unterschiedliche Merkmalsausprägungen an.
Nominales Merkmal
Ein nominales Merkmal ist ein konkret benennbares qualitatives Merkmal (z.B.: Rindsschnitzel, Schweinsschnitzel, Hühnerschnitzel,...)
Ordinales Merkmal
Ein ordinales Merkmal entspricht einem Rang in einer Ordnung (z.B.: Schulnoten 1 .. 5)
Metrisches Merkmal
Ein metrisches Merkmal ist ein quantitatives Merkmal, von dem es ein Bezugsmaß und Vielfache oder Teiler gibt. (z.B.: die PS-Zahl eines Fahrzeugs: 0,1PS, 1PS, 100PS)
Merkmalsausprägung x1, x2,..., y1, y2,...
Eine Merkmalsausprägung x1, x2, x3 …x1, x2, x3 … ist eine ganz bestimmte Eigenschaft, die eines der Merkmale X, Y annehmen kann. Durch eine Messung wird eine Merkmalsausprägung einem Skalenwert zugeordnet. Die Merkmalsausprägung ist der gemessene Wert vom Merkmal (z.B.: X1=180 cm, Y1=männlich). Bei einer Erhebung entspricht die Merkmalsausprägung einer tatsächlich gegebenen Antwort auf die Frage nach dem Merkmal. (z.B.: Ich bin 1,80 m groß)
Stetiges Merkmal
Ein stetiges Merkmal liegt vor, wenn die Merkmalsausprägung jeden Wert innerhalb eines Intervalls annehmen kann (z.B.: 180,1cm, 180,15cm, 180,157cm,...)
Diskretes Merkmal
Ein diskretes Merkmal liegt vor, wenn die Merkmalsausprägung nur bestimmte Werte annehmen kann (z.B.: männlich, weiblich, divers)
Nullhypothese H0
Eine Hypothese ist eine Aussage über den Zusammenhang von mindestens zwei Merkmalen einer statistischen Beobachtung, die über das aktuelle Wissen hinaus geht und eine Vermutung beinhaltet, die oft nicht direkt belegt werden kann.
Beim Test einer Hypothese stellt man eine Nullhypothese H0 und eine Gegenhypothese H1 dazu auf.
Die Nullhypothese H0, ist eine Annahme in einem Hypothesentest die besagt, dass es keinen signifikanten Zusammenhang zwischen untersuchten Variablen gibt. Sie wird aufgestellt, um zu prüfen, ob es ausreichende Beweise gibt, um sie abzulehnen um dann die Alternativhypothese, die sehr wohl einen signifikanten Zusammenhang zwischen untersuchten Variablen postuliert, zu akzeptieren.
Dann muss ein Signifikanzniveau \(\alpha\) dafür vorgegeben sein, dass man die Nullhypothese irrtümlich verwirft, obwohl sie zutreffen ist. Ein typisches Signifikanzniveau ist 0,05 (5%). Wenn das Ergebnis vom Hypothesentest einen p-Wert kleiner als das Signifikanzniveau ergibt, lehnt man die Nullhypothese ab.
Beim Hypothesentest unterscheidet man:
- Fehler 1. Art: Man verwirft die Nullhypothese irrtümlich, obwohl sie zutrifft und akzeptiert die (falsche) Gegenhypothese. Man schützt sich vor einem Fehler 1. Art, indem man das Signifikanzniveau absenkt.
- Fehler 2. Art: Man hält an der Nullhypothese fest, obwohl sie nicht zutrifft. Man kann die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art minimieren, indem man eine ausreichend große Stichprobe verwendet.
Kumulative Verteilungsfunktion
Die kumulative Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsvariablen gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich einem bestimmten Wert annimmt. Die kumulative Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsvariablen kann verwendet werden, um Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen zu bestimmen, wie zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Erfolge kleiner oder gleich einer bestimmten Zahl ist oder, dass die Anzahl der Erfolge innerhalb eines bestimmten Intervalls liegt. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg wird als p bezeichnet und die Anzahl der Versuche als n.
Für die kumulative Verteilungsfunktion einer nach B(n, p) binomialverteilten Zufallsvariablen gilt:
\(F_p^n\left( k \right) = P_p^n\left( {X \le k} \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {B\left( {n;p;i} \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right)} } \cdot {p^i} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - i}}\)
Die Berechnung ist zeitaufwändig, weshalb man die Wahrscheinlichkeit aus einer Statistiktabelle herausliest oder mittels Software ermittelt.
Schließende Statistik
Die schließende Statistik ermöglicht es von einer (kleinen) Stichprobe auf die (große) Grundgesamtheit G zu schließen.
Beschreibende Statistik
Die beschreibende Statistik beschreibt die Grundgesamtheit einer Vollerhebung durch charakteristische Kennzahlen (Lage- und Streumaße)
Explorative Statistik
Die explorative Statistik beschäftigt sich mit der Analyse großer Datenmengen, wobei vor der Analyse keine Zusammenhänge zwischen den einzelnen Daten bekannt sind.
Aufgaben
Aufgabe 4581
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erneuerbare Energie in Österreich – Aufgabe B_559
Teil a
Im Jahr 2015 teilte sich die Energieproduktion aus erneuerbaren Energieträgern in Österreich in folgende 5 Bereiche auf: Wasserkraft, Holzbrennstoffe, Fernwärme, Biokraftstoffe und sonstige Energieträger. Der Anteil der Wasserkraft an der gesamten Energieproduktion betrug in diesem Jahr 37,3 %.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kennzeichnen Sie im nachstehenden Kreisdiagramm denjenigen Sektor, der der Energieproduktion aus Wasserkraft entspricht.
Abbildung fehlt
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Aufgabe 4583
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erneuerbare Energie in Österreich – Aufgabe B_559
Teil c
In der nachstehenden Abbildung ist die Entwicklung der Energiegewinnung aus allen erneuerbaren Energieträgern in Österreich für den Zeitraum von 2008 bis 2015 dargestellt.
Abbildung fehlt
Lukas betrachtet diese Abbildung und behauptet: „Im Jahr 2013 wurde in Österreich rund doppelt so viel Energie aus erneuerbaren Energieträgern gewonnen wie im Jahr 2011. Das erkenne ich daran, dass die Säule für das Jahr 2013 rund doppelt so hoch wie jene für das Jahr 2011 ist.“
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erklären Sie, warum diese Argumentation falsch ist.
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Aufgabe 5672
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Testfahrten – Aufgabe A_326
Auf drei Teststrecken werden Testfahrten mit Autos durchgeführt.
Teil c
Auf der dritten Teststrecke wurden unter anderem folgende Geschwindigkeiten in m/s gemessen:
18 22 24 30
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ordnen Sie den beiden Aussagen jeweils die zutreffende Auswirkung auf diese Datenliste aus A bis D zu.
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- Aussage 1: Zu dieser Datenliste wird der Wert 32 hinzugefügt.
- Aussage 2: Zu dieser Datenliste wird der Wert 23 hinzugefügt.
- Datenliste A: Das arithmetische Mittel wird größer.
- Datenliste B: Der Median wird kleiner.
- Datenliste C: Der Median bleibt unverändert.
- Datenliste D: Die Spannweite wird kleiner.
Aufgabe 5674
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Feinstaub – Aufgabe A_327
Feinstaub in der Atemluft stellt ein Gesundheitsrisiko dar.
Teil b
Die Feinstaubbelastung durch den Straßenverkehr wird in 3 Kategorien von Verursachern unterteilt: PKW-Verkehr, LKW-Transitverkehr und sonstiger LKW-Verkehr. Das nachstehende Kreisdiagramm soll die Feinstaubbelastung durch den Straßenverkehr darstellen.
Die Feinstaubbelastung durch den LKW-Transitverkehr ist doppelt so hoch wie die Feinstaubbelastung durch den sonstigen LKW-Verkehr.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Vervollständigen Sie das obige Kreisdiagramm so, dass es den beschriebenen Sachverhalt wiedergibt.
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Aufgabe 5675
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Feinstaub – Aufgabe A_327
Feinstaub in der Atemluft stellt ein Gesundheitsrisiko dar.
Teil c
Es wurden Messwerte der Feinstaubbelastung für einige Messstationen ausgewertet. Diese Messwerte sollen im unten stehenden Diagramm als Boxplot veranschaulicht werden. Das Minimum und der Median der Messwerte sind bereits eingezeichnet.
Weiters gilt:
- 3. Quartil (q3): 59 μg/m3
- Spannweite: 49 μg/m3
- Interquartilsabstand: 26 μg/m3
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Vervollständigen Sie den Boxplot im obigen Diagramm.
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Der Messwert einer bestimmten Messstation mit einer besonders hohen Feinstaubbelastung wurde bei der Erstellung des Boxplots nicht berücksichtigt. Dieser Messwert ist um 134 % größer als der im obigen Diagramm eingezeichnete Median.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie diesen Messwert.
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Schon den nächsten Urlaub geplant?
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