Aufgabe 4480
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Holzfeuchte und Holztrocknung - Aufgabe A_307
Teil c
Im nachstehenden Diagramm ist der Zusammenhang zwischen der relativen Luftfeuchtigkeit x (in Prozent) und dem Wassergehalt w(x) (in Prozent) einer bestimmten Holzsorte bei der Lagerung dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kennzeichnen Sie im obigen Diagramm denjenigen Punkt P = (x0 | w(x0)), für den gilt: w′(x0) = 1
[0 / 1 P.]
Der im obigen Diagramm dargestellte Zusammenhang soll im Intervall [45; 55] mithilfe der Punkte A = (45 | 7,8) und B = (55 | 9,4) durch eine lineare Funktion modelliert werden.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Gleichung dieser linearen Funktion auf.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die erste Ableitung w‘(x) soll 1 sein. Das bedeutet, dass an der Stelle x0 die Tangente an die Funktion w(x) die Steigung 1 haben muss, also in 45% zur x-Achse verläuft. Wir legen das Geodreieck im 45° Winkel an und verschieben es so lange parallel zur x-Achse bis es die Funktion im Punkt P(95|w(95)) berührt.
2. Teilaufgabe:
Die Gleichung einer linearen Funktion lautet:
\(y = k \cdot x + d\)
Wir erhalten k indem wir die Steigung der Geraden, von der wir 2 Punkte kennen, ausrechnen
\(k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{{B_y} - {A_y}}}{{{B_x} - {A_x}}} = \dfrac{{9,4 - 7,8}}{{55 - 45}} = 0,16\)
Nun können wir die Funktionsgleichung, noch unvollständig, wie folgt anschreiben:
\(y = 0,16 \cdot x + d\)
Wir setzen einen der beiden Punkte, die auf der Geraden liegen, in obige Gleichung ein und machen den Achsenabschnitt d explizit:
\(\eqalign{ & y = 0,16 \cdot x + d \cr & A = \left( {45|7,8} \right) \cr & \cr & 7,8 = 0,16 \cdot 45 + d \cr & d = 7,8 - 0,16 \cdot 45 = 0,6 \cr & \cr & y = f(x) = 0,16 \cdot x + 0,6 \cr} \)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
2. Teilaufgabe
\(y = f(x) = 0,16 \cdot x + 0,6\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Kennzeichnen des Punktes P.
Toleranzbereich für x0: [92; 97]
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung.