Aufgabe 1487
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionseigenschaften erkennen
Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades.
- Aussage 1: Die Funktion f ist im Intervall (2; 3) monoton steigend.
- Aussage 2: Die Funktion f hat im Intervall (1; 2) eine lokale Maximumstelle.
- Aussage 3: Die Funktion f ändert im Intervall (–1; 1) das Krümmungsverhalten.
- Aussage 4: Der Funktionsgraph von f ist symmetrisch bezüglich der senkrechten Achse.
- Aussage 5: Die Funktion f ändert im Intervall (–3; 0) das Monotonieverhalten.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die für den dargestellten Funktionsgraphen von f zutreffende(n) Aussage(n) an!
Lösungsweg
Wenn wir den Graphen der gegebenen Funktion betrachten, dann erkennen wir, dass die Funktion zunächst monoton steigend, dann monoton fallend und dann wieder monoton steigend ist. Sie hat ein lokales Maximum und ein lokales Minimum, sowie einen Wendepunkt im Ursprung. Zudem ist die Funktion symmetrisch zum Ursprung. Für negative x-Werte ist die Funktion rechtsgekrümmt, für positive x-Werte ist die Funktion linksgekrümmt
Monoton steigende Funktion: \(\forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\). Das Monotonieverhalten ändert sich an den Extremstellen.
Das Krümmungsverhalten ädert sich am Wendepunkt (in diesem Fall der Ursprung) von rechts- auf linksgekrümmt
- Aussage 1: Richtig, weil die Definition von „monoton steigend“ \(\forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\) erfüllt ist. Man sieht sofort, dass im Intervall zwischen 2 und 3 für steigende x die zugehörigen Funktionswerte f(x) immer zunehmen. Die Funktion ist in diesem Intervall sogar „streng“ monoton steigend, weil das lokale Minimum knapp aber doch nicht mehr im betrachteten Intervall liegt.
- Aussage 2: Falsch, weil in diesem Intervall ein lokales Minimum vorliegt.
- Aussage 3: Richtig, weil im Punkt \(\left( {0\left| 0 \right.} \right)\) eine Wendestelle vorliegt, an der sich das Krümmungsverhalten von rechtsgekrümmt (=im Uhrzeitersinn bzw. negative Krümmung) auf linksgekrümmt (gegen den Uhrzeigersinn bzw. positive Krümmung) ändert.
- Aussage 4: Falsch, weil die Funktion nicht zur y-Achse sondern zum Ursprung symmetrisch ist. Es handelt sich also um eine „ungerade“ Funktion.
- Aussage 5: Richtig, weil in diesem Intervall ein lokales Maximum liegt an dem die Funktion ihr Monotonieverhalten von monoton steigend auf monoton fallend ändert.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die drei richtigen Aussagen angekreuzt sind.