Grundmenge
Die Grundmenge G setzt sich aus allen, in einem konkreten mathematischen Zusammenhang betrachteten Objekten zusammen.
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Formeln
Menge
Die Mengenlehre beschäftigt sich mit Mengen M, die eine die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten {x1, x2, …, xn} aus der Grundmenge G sind.
- Eindeutigkeit der Elemente: Für jedes Objekt muss man eindeutig entscheiden können, ob es zur Menge M gehört, dann nennt man es Element der Menge, oder ob es kein Teil der Menge ist. Eine Menge ist also durch ihre Elemente vollständig beschrieben.
- Unabhängigkeit der Repräsentation: Jedes Element kann nur einmal in der Menge enthalten sein. Das mehrfache Anschreiben von ein und demselben Element einer Menge ist daher nicht sinnvoll. {1,1,2,2,3,3}={1,2,3}. Es ist egal, in welcher Reihenfolge die Elemente aufgezählt werden. Wenn es hingegen auf die Aufzählreihenfolge ankommt, dann spricht man von einem Tupel, nicht von einer Menge.
- Zur Beschreibung von Mengen wird häufig der Ausdruck " für die gilt" - dargestellt durch einen Längsstrich "|" verwendet. Für alle Elemente der Menge gilt dann der nachfolgende Term. z.b.: x<7
- Gleichheit von Mengen: Mengen sind gleich, wenn sie die unabhängig von der Reihenfolge oder Darstellung die selben Elemente enthalten.
- Verknüpfung von Mengen: Zwei Mengen A und B können durch Mengenoperationen mit einander verknüpft werden.
- Beziehungen zwischen Mengen: Zwei Mengen A und B können in unterschiedlichen Relationen zu einander stehen.
Mathematisch schreibt man eine Menge in geschweiften Klammern "{}" auf und listet die Elemente der Menge innerhalb dieser Klammern auf.
\(\eqalign{ & {M_1} = \left\{ {x \in N|x < 7} \right\} \cr & {M_2} = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\} \cr & {M_3} = \left\{ {} \right\} \cr & {M_4} = \left\{ {{\text{Karl}}{\text{, Kurt}}{\text{, Sophie}}} \right\} \cr} \)
Schreibweise für Mengen in der Mengenlehre:
- aufzählende Darstellung. \(M = \left\{ {3,4,5,...\infty } \right\}\)
Man verwendet geschwungene Klammern und separiert die einzelnen Elemente durch Beistriche. Die Reihenfolge in der die Elemente angeschrieben werden spielt keine Rolle. {1,2,3}={3,1,2}}={2,3,1}. - beschreibende Darstellung: \(M = \left\{ {x\left| {x \geqslant 3} \right.} \right\}\)
Man verwendet geschwungene Klammern. Dazwischen steht dann eine mathematische Formulierung vom Typ: "Variable für die gilt" + "mathematischer Term".
Grundmenge
Die Grundmenge G setzt sich aus allen, in einem konkreten mathematischen Zusammenhang betrachteten Objekten zusammen. Ihr Symbol sieht wie folgt aus: \(G\)
Element einer Menge
Um anzugeben ob ein Objekt zu einer Menge gehört verwendet man das "Element von" Symbol ∈
- x ist Element der Menge M: \(x \in M\)
Nicht Element einer Menge
Um anzugeben, dass ein Objekt nicht zu einer Menge gehört, verwendet man das "kein Element von" Symbol ∉
- x ist kein Element der Menge M: \(x \notin M\)
Mächtigkeit oder die Kardinalität einer Menge
Die Mächtigkeit oder die Kardinalität einer endlichen Menge, ist gleich der (abzählbaren) Anzahl n ihrer Elemente. Null ist die Kardinalität der leeren Menge
\(\eqalign{
& \left| M \right| = n \cr
& \cr
& M = \left\{ {} \right\} \cr
& \left| M \right| = 0 \cr} \)
Beispiel:
\(\eqalign{ & M = \left\{ {a,b,c,d,e} \right\} \cr & \left| M \right| = 5 \cr} \)
Leere Menge
Die leere Menge enthält kein Element, also auch nicht die „Null“. Die leere Menge ist Teilmenge von jeder Menge. Die leere Menge hat wiederum die leere Menge als einzige Teilmenge.
\(M = \left\{ {} \right\}\)
Endliche Menge
Eine endliche Menge enthält endlich viele Elemente.
Genauer: Eine nichtleere Menge M heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, und nachfolgende bijektive Abbildung gilt.
\(\eqalign{ & f:M \to \left\{ {1,2,3,...,n} \right\} \cr & n = \left| M \right| \cr}\)
Unendliche Menge
Eine unendliche Menge enthält unendlich viele Elemente.
Genauer: Eine nichtleere Menge M heißt unendlich, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, und nachfolgende bijektive Abbildung gilt.
\(\eqalign{ & f:M \to \left\{ {1,2,3,...,\infty } \right\} \cr & \infty = \left| M \right| \cr}\)
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