Primfaktoren

Standard Zahlenmengen

Eine Standard Zahlenmenge umfasst alle Zahlen, die bei bestimmten Arten von Rechnungen gebräuchlich sind. Die einzelnen Mengen bauen auf einander auf, wobei jede Zahlenmenge in der darauf aufbauenden Zahlenmenge vollkommen enthalten ist. Alle Zahlen gehören einer oder mehreren der nachfolgenden Standard Zahlenmengen an.

\({\Bbb N} \subset {\Bbb Z} \subset {\Bbb Q} \subset {\Bbb R} \subset {\Bbb C}\)

• Natürliche Zahlen: Alle positiven ganzen Zahlen
• Ganze Zahlen: Alle positiven und negativen ganzen Zahlen
• Rationale Zahlen: Alle positiven und negativen Kommazahlen, die grundsätzlich als Bruch dargestellt werden können
• Irrationale Zahlen: Alle positiven und negativen Kommazahlen, die grundsätzlich nicht als Bruch dargestellt werden können
• Reelle Zahlen: Die Summe aus den rationalen und irrationalen Zahlen. Bilden den Realteil der komplexen Zahlen.
• Imaginäre Zahlen: Eine komplexe Zahl, deren Realteil null ist, zugleich eine komplexe Zahl, deren Quadrat eine nicht positive reelle Zahl ist. Bilden den Imaginärteil einer komplexen Zahl.
• Komplexe Zahlen: Zahlenpaare, die sich aus einem Real- und einem Imaginärteil zusammensetzen und die nicht mehr nur am Gaußschen Zahlenstrahl sondern in der Gaußschen Ebene liegen.

Bild

Menge der natürlichen Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen ist die Menge der nicht negativen ganzen Zahlen, bzw. die Menge aller positiven ganzen Zahlen, sowie Null. Null ist die kleinste natürliche Zahl. Man kann keine größte natürliche Zahl benennen, weil es - am positiven Zahlenstrahl - unendlich viele natürliche Zahlen mit 1 als Abstand gibt.

\({\Bbb N} = \left\{ {0,1,2,3,4...\infty } \right\} \)

Beispiele:

\(\eqalign{ & 0,\mathop 9\limits^ \bullet = 1 \in {\Bbb N} \cr & \dfrac{9}{3} = 3 \in {\Bbb N} \cr} \)

Menge der natürlichen Zahlen ohne Null

Die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null ist die Menge der nicht negativen ganzen Zahlen, bzw. die Menge aller positiven ganzzahligen Zahlen, jedoch ohne Null.

\({{\Bbb N}^*} = \left\{ {1,2,3,4...\infty } \right\}\)

Menge der geraden natürlichen Zahlen

Die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist die Menge der geraden nicht negativen ganzen Zahlen, zu denen auch die Null zählt, weil die geraden Zahlen durch 2 stets ohne Rest teilbar sind.

\({{\Bbb N}_g} = \left\{ {0,2,4,6..\infty } \right\}\)

Menge der ungeraden natürlichen Zahlen

Die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen ist die Menge der ungeraden nicht negativen ganzen Zahlen.

\({{\Bbb N}_u} = \left\{ {1,3,5,7..\infty } \right\}\)

Menge der Primzahlen

Primzahlen sind jene Zahlen, die größer als 1 sind, die aber ausschließlich durch sich selbst und durch 1 ganzzahlig teilbar sind. Primzahlen lassen sich daher durch exakt zwei Faktoren darstellen. Sie sind somit eine Teilmenge der natürlichen Zahlen.

\(P = \left\{ {2,3,5,7,11,13...} \right\}\)

• "1" ist keine Primzahl, weil eine Primzahl genau zwei Teiler haben muss, nämlich 1 und sich selbst. "1" hat aber nur einen Teiler, nämlich 1 und ist daher keine Primzahl.
• "2" ist die kleinste Primzahl

Der Satz von Euklid zu Primzahlen

Der „Satz von Euklid“ besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Fundamentalsatz der Arithmetik

Der Fundamentalsatz der Arithmetik besagt, dass sich jede natürliche Zahl, die größer als 1 ist und die selbst keine Primzahl ist, als (eindeutiges) Produkt von zwei oder mehreren Primzahlen darstellen lässt. Darauf basiert die Primfaktorenzerlegung. Es wurde noch keine Regelmäßigkeit gefunden, nach der Primzahlen auftreten.

Die Menge der natürlichen Zahlen lässt sich somit unterteilen in

• 0
• 1
• Primzahlen
• (aus 2 oder mehreren Primzahlen) zusammengesetzte Zahlen

Einige Beispiele

\(\eqalign{ & 144 = {2^4} \cdot {3^2} \cr & 145 = 5 \cdot 29 \cr & 146 = 2 \cdot 73 \cr & 147 = 3 \cdot {7^2} \cr} \)

Menge der ganzen Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen sind die um die negativen ganzen Zahlen erweiterten natürlichen Zahlen. Die Menge der ganzen Zahlen ist gegenüber der Addition, der Multiplikation und der Subtraktion abgeschlossen.

\({\Bbb Z} = \left\{ { - \infty ,..., - 1,0,1,2,...\infty } \right\}\)

Beispiel:

\( - \root 2 \of 4 = - 2 \in {\Bbb Z}\)

• Nachfolger: Zu jeder ganzen Zahl kann man 1 dazuzählen, dann erhält man den Nachfolger, der wiederum eine ganze Zahl ist
• Vorgänger: Von jeder ganzen Zahl kann man 1 abziehen, dann erhält man den Vorgänger, der wiederum eine ganze Zahl ist

Menge der rationalen Zahlen

Die Menge der rationalen Zahlen sind die um die Brüche erweiterten Zahlen. Das ist die Menge aller positiven oder negativen Zahlen, die sich als Quotient (als Bruch) darstellen lassen, wobei sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen stehen. Rationale Zahlen können endlich viele Dezimalstellen oder unendlich viele periodische Dezimalstellen haben. Die Menge der rationalen Zahlen ist gegenüber der Addition und der Multiplikation sowie der Subtraktion und der Division abgeschlossen.

\({\Bbb Q} = \left\{ {\dfrac{p}{q}\left| {p \in {\Bbb Z},q \in {{\Bbb N}^*}} \right.} \right\} \)

Beispiele:

\(\eqalign{ & \frac{\pi }{2} \notin {\Bbb Q};\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \notin {\Bbb Q} \cr & - 2,234 \in {\Bbb Q};\,\,\,\,\,2,\mathop 2\limits^ \bullet \in Q \cr} \)

Menge der irrationalen Zahlen

Die Menge der irrationalen Zahlen umfasst jene Zahlen die sich aus unendlich vielen, nicht periodischen Dezimalstellen zusammensetzen. Man kann irrationale Zahlen nicht als ganzzahliger Bruch darstellen.

\({\Bbb I} = {\Bbb R}\backslash {\Bbb Q}\)

Beispiele:

\(\pi \in {\Bbb I};\,\,\,\,\,e \in {\Bbb I};\,\,\,\,\,\sqrt 2 \in I;\,\,\,\,\,\sqrt 4 \notin {\Bbb I}\left( { \in {\Bbb N}} \right)\)

Menge der reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen sind die um die irrationalen Zahlen erweiterten rationalen Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen setzt sich also aus der Menge der rationalen und der irrationalen Zahlen zusammen. Die Menge der reellen Zahlen ist gegenüber allen 4 Grundrechnungsarten abgeschlossen.

\({\Bbb R} = {\Bbb Q} \cup {\Bbb I}\)

Menge der komplexen Zahlen

Die Menge der komplexen Zahlen sind die um die imaginären Zahlen erweiterten reellen Zahlen. Die Menge der komplexen Zahlen erweitert den Zahlenbereich der reellen Zahlen so, dass die Gleichung x²+1=0 lösbar wird. Dazu führt man die imaginäre Einheit i als neue Zahl ein, wobei gilt i²=-1

\({\Bbb C} = \left\{ {z = a + ib\left| {a,b \in {\Bbb R},{i^2} = - 1} \right.} \right\} \)

Beispiele:

\(\sqrt { - 2} \in {\Bbb C};\,\,\,\,\, - \sqrt 2 \in {\Bbb I} \in {\Bbb C};\)

Teiler

Der Teiler a ist jene Zahl, durch die man eine andere Zahl b ohne Rest teilen kann.

\(a\left| b \right.\) ... sprich "a teilt b"

a ist Teiler von b, wenn es ein \(n \in {\Bbb N}\) gibt, sodass \(n \cdot a = b\). Bei der Division von b durch a darf kein Rest bleiben, andernfalls ist a kein Teiler von b.

Teiler schreibt man in der Praxis vorzugsweise als Brüche \(\dfrac{b}{a} = n\) an, wobei der Nenner den Teiler (vom Ganzen) angibt und der Zähler wieviele Teilstücke gemeint sind.
Beispiel:
\(\dfrac{{12}}{3} = 4 \to 3\left| {12} \right.\)

2, 3, 4, 6 und 12 sind ein Teiler von 12.

Teilbarkeitsregeln

Teilbarkeitsregeln treffen eine Aussage darüber, ob einfache natürliche Zahlen ohne Rest teilbar sind.

Größter gemeinsamer Teiler ggT

Der ggT der beiden Zahlen m und n, ist die größte natürliche Zahl, die sowohl m als auch n teilt.

Zunächst faktorisiert man beide Zahlen, d.h. man zerlegt sie in ihre Primfaktoren. Anschließend bildet man das Produkt aus all jenen Primfaktoren, die in beiden Faktorisierungen enthalten sind.

Beispiel:
Gesucht ist der ggT von 18 und 24
Man bedient sich der Methode der Primfaktorenzerlegung (siehe weiter unten)

\(\left. {\matrix{ {18} \cr 9 \cr 3 \cr 1 \cr {} \cr } } \right|\matrix{ 2 \cr 3 \cr 3 \cr {} \cr {} \cr }\) + \(\left. {\matrix{ {24} \cr {12} \cr 6 \cr 3 \cr 1 \cr } } \right|\matrix{ 2 \cr 2 \cr 2 \cr 3 \cr {} \cr }\) \( \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ggT}}\left( {18,24} \right) = 2 \cdot 3 = 6\)

Der ggT von 18 und 24 ist 6

Primfaktorenzerlegung

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass man jede natürliche Zahl, die größer als 1 ist als Produkt von Primzahlen anschreiben kann.

• 1. Schritt: Man prüft von der kleinsten Primzahl 2 ausgehend aufsteigend alle Primzahlen durch, ob sie die zu faktorisierende Zahl ganzzahlig (also ohne Rest) teilen
• 2. Schritt: Hat man so einen Teiler gefunden, so notiert man diese Primzahl.
• 3. Schritt: Man teilt die zu faktorisierende Zahl durch die Primzahl und fängt wieder beim 1. Schritt neu an
• 4. Schritt: Bleibt am Schluss nur mehr eine Primzahl über, kann man die ursprünglich zu faktorisierende Zahl als das Produkt aller notierten Primzahlen und der übrig gebliebenen Primzahl anschreiben

Beispiel:
Gesucht ist die Primfaktorenzerlegung von 18

• 1. Schritt: 2 teilt 18 ohne Rest
• 2. Schritt: Wir notieren 2
• 3. Schritt: Wir teilen 18 durch 2 und erhalten 9
• 1. Schritt: 3 teilt 9
• 2. Schritt: Wir notieren 3
• 3. Schritt: Wir teilen 9 durch 3 und erhalten die Primzahl 3
• 4. Schritt: Die Primfaktoren sind 2, 3 und 3 somit lautet die Primfaktorenzerlegung von \(18 = 2 \cdot 3 \cdot 3\)

Teilerfremde Zahlen

Weist die Primfaktorenzerlegung zweier oder mehrere Zahlen keine gemeinsamen Primfaktoren aus, so spricht man von teilerfremden Zahlen. In diesem Fall ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen die Zahl 1, die bekanntlich keine Primzahl ist. Zwei unterschiedliche Primzahlen sind grundsätzlich teilerfremd.

Zusammenhang zwischen ggT und kgV:

Das Produkt aus dem größten gemeinsamen Teiler mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen, ist gleich dem Produkt der beiden Zahlen selber.