Teilmenge
Eine Menge A heißt Teilmenge von der Menge B , wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Die Menge B kann zusätzliche Elemente gegenüber der Menge A haben
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Formeln
Beziehungen zwischen Mengen
Zwei Mengen A und B können in unterschiedlichen Relationen zu einander stehen.
- Gleiche Mengen: Die Mengen enthalten die selben Elemente
- Gleichmächtige Mengen: Es gibt eine bijektive (umkehrbare) Abbildung zwischen den Elementen der beiden Mengen
- (echte) Teilmenge: Jedes Element der einen Menge ist auch in der anderen Menge enthalten, wodurch diese zur Obermenge wird.
- Disjunkte Mengen: Die beiden Mengen besitzen kein gemeinsames Element.
Gleiche Mengen
Zwei Mengen A, B heißen gleich (A=B), wenn beide dieselben Elemente besitzen, wobei es auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt. Sprich: „Menge A gleich der Menge B, sodass für alle x gilt: Wenn x Element von A, dann muss x auch Element von B sein und umgekehrt.“
\(A = B \Leftrightarrow \forall x:x \in A \Leftrightarrow x \in B;\)
Gleichmächtige Mengen
Endliche Mengen sind gleichmächtig, wenn sie eine idente Anzahl an Elementen haben, sodass man diese 1:1 einander zuordnen kann.
\(A \sim B\)
Teilmenge
Eine Menge A heißt Teilmenge von der Menge B , wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Die Menge B kann zusätzliche Elemente gegenüber der Menge A haben, muss aber nicht unbedingt mehr Elemente haben. Weniger Elemente als A kann B freilich nicht haben.
\(\left( {A \subseteq B} \right)\)
Echte Teilmenge
Eine Menge A heißt echte Teilmenge von der Menge B, wenn A eine Teilmenge von B ist und die beiden Mengen ungleich sind, d.h. die Menge B muss auf jeden Fall zusätzliche Elemente enthalten, die nicht in A sind.
\(\left( {A \subset B} \right)\)
Potenzmenge
Die Potenzmenge P(A) ist jene Menge, die alle Teilmengen von A umfasst.
\(P\left( A \right) = \left\{ {M\left| {M \subseteq A} \right.} \right\}\)
Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2} \right\} \cr & P\left( A \right) = \left\{ {\left\{ {} \right\},\left\{ 1 \right\},\left\{ 2 \right\},\left\{ {1,2} \right\}} \right\} \cr} \)
Disjunkte Mengen
Die disjunkten Mengen A und B besitzen kein gemeinsames Element. Der Durchschnitt / die Schnittmenge von A und B ist die leere Menge.
\(A \cap B = \emptyset\)
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Aufgaben
Aufgabe 257
Aufgaben zur Mengenlehre
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Elemente an, die in den jeweiligen Mengen enthalten sind.
\(\eqalign{ & {M_1} = \left\{ {x \in {N^ + }|x < 7} \right\} \cr & {M_2} = \left\{ {x \in N|7 < x \leqslant 9} \right\} \cr & {M_3} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x < 2} \right\} \cr & {M_4} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x} \right\} \cr & {M_5} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x < - 2} \right\} \cr & {M_6} = \left\{ {x \in N|8 \leqslant x \leqslant 9} \right\} \cr} \)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Setze das gegebene Element in Beziehung zur Menge unter Verwendung von \( \in ,\,\, \notin ,\,\, \subset ,\,\, \subseteq \)
\(\eqalign{ & 2\_?\_{M_1} \cr & 7\_?\_{M_1} \cr & 2\_?\_{M_5} \cr & {M_3}\_?\_{M_4} \cr & {M_2}\_?\_{M_6} \cr} \)
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Durchschnittsmenge an
\(\eqalign{ & {M_1} \cap {M_2} \cr & {M_1} \cap {M_3} \cr & {M_1} \cap {M_4} \cr & {M_3} \cap {M_4} \cr & {M_4} \cap {M_6} \cr} \)
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Vereinigungsmenge an
\(\eqalign{ & {M_1} \cup {M_2} \cr & {M_2} \cup {M_3} \cr & {M_5} \cup {M_6} \cr & {M_4} \cup {M_6} \cr & {M_1} \cup {M_4} \cr} \)
5. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Differenzmenge an
\(\eqalign{ & {M_1}\backslash {M_2} \cr & {M_1}\backslash {M_3} \cr & {M_3}\backslash {M_1} \cr & {M_2}\backslash {M_5} \cr & {M_4}\backslash {M_3} \cr} \)
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Aufgabe 4448
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kinderlieder - Aufgabe B_511
Eine Pädagogin fragt die 26 Kinder ihrer Gruppe, ob sie das Kinderlied "Aramsamsam" und ob sie das Kinderlied "Backe, backe Kuchen" kennen.
- 7 Kinder kennen beide Kinderlieder.
- Insgesamt 13 Kinder kennen das Kinderlied Aramsamsam.
- 3 Kinder kennen keines der beiden Kinderlieder.
Teil c
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Vervollständigen Sie das nachstehende Venn-Diagramm durch Eintragen aller Anzahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen.
[0 / 1 P.]
G | Menge aller Kinder der Gruppe |
A | Menge der Kinder, die das Kinderlied Aramsamsam kennen |
B | Menge der Kinder, die das Kinderlied Backe, backe Kuchen kennen |
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die Anzahl der Elemente der Menge \(\left( {A \cup B} \right)\backslash \left( {A \cap B} \right)\)
[0 / 1 P.]
Mit den Kindern, denen beide Kinderlieder bekannt sind, singt die Pädagogin das bis dahin allen Kindern der Gruppe unbekannte Kinderlied "Twinkle, twinkle, little star".
T | Menge der Kinder, die das Kinderlied "Twinkle, twinkle, little star" mit der Pädagogin singen |
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie die nicht zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]
- Aussage 1: \(T \subseteq \left( {A \cup B} \right)\)
- Aussage 2: \(T \subseteq \left( {A \cap B} \right)\)
- Aussage 3: \(T \subseteq \left( {G\backslash B} \right)\)
- Aussage 4: \(T{\not \subseteq }\left( {B\backslash A} \right)\)
- Aussage 5: \(T{\not \subseteq }\left( {A\backslash B} \right)\)