nicht Element einer Menge

Menge

Eine Menge M ist die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten {x₁, x₂, …, x_n} aus der Grundmenge G. Für jedes Objekt muss man eindeutig entscheiden können, ob es zur Menge M gehört, dann nennt man es Element der Menge, oder ob es kein Teil der Menge ist. Eine Menge ist also durch ihre Elemente vollständig beschrieben. Jedes Element kann nur einmal in der Menge enthalten sein. Das mehrfache Anschreiben von ein und demselben Element einer Menge ist daher nicht sinnvoll. {1,1,2,2,3,3}={1,2,3}. Es ist egal, in welcher Reihenfolge die Elemente aufgezählt werden. Wenn es hingegen auf die Aufzählreihenfolge ankommt, dann spricht man von einem Tupel, nicht von einer Menge.

\(M = \left\{ {x \in {\Bbb N}\left| {E(x)} \right.} \right\}\)

Schreibweise für Mengen in der Mengenlehre:

• aufzählende Darstellung. \(M = \left\{ {3,4,5,...\infty } \right\}\)
  Man verwendet geschwungene Klammern und separiert die einzelnen Elemente durch Beistriche. Die Reihenfolge in der die Elemente angeschrieben werden spielt keine Rolle. {1,2,3}={3,1,2}}={2,3,1}.
• beschreibende Darstellung: \(M = \left\{ {x\left| {x \geqslant 3} \right.} \right\}\)
  Man verwendet geschwungene Klammern. Dazwischen steht dann eine mathematische Formulierung vom Typ: "Variable für die gilt" + "mathematischer Term".

Grundmenge

Die Grundmenge G setzt sich aus allen, in einem konkreten mathematischen Zusammenhang betrachteten Objekten zusammen. Ihr Symbol sieht wie folgt aus: \(G\)

Element einer Menge

Um anzugeben ob ein Objekt zu einer Menge gehört verwendet man das "Element von" Symbol ∈

• x ist Element der Menge M: \(x \in M\)

Nicht Element einer Menge

Um anzugeben, dass ein Objekt nicht zu einer Menge gehört, verwendet man das "kein Element von" Symbol ∉

• x ist kein Element der Menge M: \(x \notin M\)

Mächtigkeit oder die Kardinalität einer Menge

Die Mächtigkeit oder die Kardinalität einer endlichen Menge, ist gleich der (abzählbaren) Anzahl n ihrer Elemente.

\(\left| M \right| = n\)

Beispiel:

\(\eqalign{ & M = \left\{ {a,b,c,d,e} \right\} \cr & \left| M \right| = 5 \cr} \)

Leere Menge

Die leere Menge enthält kein Element, also auch nicht die „Null“. Die leere Menge ist Teilmenge von jeder Menge. Die leere Menge hat wiederum die leere Menge als einzige Teilmenge.

\(M = \left\{ {} \right\}\)

Endliche Menge

Eine endliche Menge enthält endlich viele Elemente.

Genauer: Eine nichtleere Menge M heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, und nachfolgende bijektive Abbildung gilt.

\(\eqalign{ & f:M \to \left\{ {1,2,3,...,n} \right\} \cr & n = \left| M \right| \cr}\)

Unendliche Menge

Eine unendliche Menge enthält unendlich viele Elemente.

Genauer: Eine nichtleere Menge M heißt unendlich, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, und nachfolgende bijektive Abbildung gilt.

\(\eqalign{ & f:M \to \left\{ {1,2,3,...,\infty } \right\} \cr & \infty = \left| M \right| \cr}\)