Geometrie ebener Figuren und von Körpern
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Drehkegel
Ein Drehkegel ist ein Körper, dessen Grundfläche ein Kreis ist. Der Mittelpunkt des Kreises, ist zugleich der Fußpunkt der Kegelhöhe h. Bei einem geraden Kegel befindet sich dessen Spitze lotrecht über dem Mittelpunkt vom Kreis, der die Grundfläche bildet.
Mantellinie vom geraden Drehkegel
Die Mantellinie vom geraden Drehkegel errechnet sich mit Hilfe vom Satz des Pythagoras aus der Wurzel der Summe der Quadrate vom Kreisradius und der Kegelhöhe.
\(\eqalign{ & s = \sqrt {{r^2} + {h^2}} \cr & h = \sqrt {{s^2} - {r^2}} \cr} \)
Volumen vom geraden Drehkegel
Das Volumen eines Drehkegels ist ein Drittel vom Volumen eines Zylinders, welcher die selbe kreisförmige Grundfläche und die selbe Höhe hat.
\(V = G \cdot \dfrac{h}{3} = {r^2} \cdot \pi \cdot \dfrac{h}{3}\)
Oberfläche vom geraden Drehkegel
Die Oberfläche eines Drehkegels setzt sich aus der kreisförmigen Grundfläche und der kreissektorförmigen Mantelfläche zusammen
\(O = G + M = {r^2}\pi + r\pi s = r\pi (r + s)\)
Netz vom Drehkegel
Die Grundfläche vom Drehkegel ist ein Kreis. Die Mantelfläche lässt sich zu einem Kreissektor abwickeln.
Illustration vom Drehkegel
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Kegelstumpf
Ein Kegelstumpf ist der verbleibende Körper, nachdem man von einem Kegel die Spitze abgeschnitten hat. Er besitzt also eine kreisförmige Grund- und Deck- bzw. Schnittfläche. Die Mantelfläche hat das Aussehen wie der Sektor von einem Kreisring.
O | Oberfläche |
G | Grundfläche |
D | Deckfläche |
M | Mantel |
Mantellinie vom Kegelstumpf
Die Höhe h entspricht der Strecke zwischen dem Mittelpunkt der Grund- und der Deckfläche. Die Mantellinie s vom Kegelstumpf entspricht dessen Seitenlänge.
\(\eqalign{ & s = \sqrt {{{\left( {{r_1} - {r_2}} \right)}^2} + {h^2}} \cr & h = \sqrt {{s^2} - {{\left( {{r_1} - {r_2}} \right)}^2}} \cr} \)
Oberfläche vom Kegelstumpf
Die Oberfläche vom Kegelstumpf setzt sich aus der Grund- und Deckfläche, sowie der Mantelfläche zusammen.
\(O = G + D + M = r_1^2\pi + r_2^2\pi + ({r_1} + {r_2})\pi s\)
Volumen vom Kegelstumpf
Das Volumen vom Kegelstumpf kann aus den Radien der Grund- bzw. Deckfläche und der verbleibenden Höhe errechnet werden
\(V = \dfrac{{h\pi }}{3} \cdot (r_1^2 + {r_1}.{r_2} + r_2^2)\)
Illustration vom Kegelstumpf
Kreis und Gerade
Liegen ein Kreis und eine Gerade in einer Ebene, so gibt es, abhängig von der Lage der Geraden zum Kreis, unterschiedliche Bezeichnungen für die Gerade. Konkret unterscheidet man Sehne, Sekante, Tangente und Passante.
Kreissehne
Eine Sehne verbindet zwei beliebige Punkte, die auf der Kreislinie liegen. Sie ist somit der im Kreisinneren liegende Teil einer Sekante. Die längste Sehne muss durch den Kreismittelpunkt laufen und entspricht somit dem Kreisdurchmesser.
\(\eqalign{ & g \cap k = \left\{ {{P_1},{P_2}} \right\} \cr & S = \overline {{P_1}{P_2}} \cr & \left| {{S_{\max }}} \right| = \left| {\overline {{P_1}M{P_2}} } \right| = d \cr} \)
Sekante
Eine Sekante ist eine Gerade, die einen Kreis in 2 Punkten schneidet.
\(g \cap k = \left\{ {{P_1},{P_2}} \right\}\)
Tangente
Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis in 1 Punkt berührt.
\(g \cap k = \left\{ {{P_1}} \right\}\)
Passante
Eine Passante ist eine Gerade, die einen Kreis weder schneidet noch berührt.
\(g \cap k = \left\{ {} \right\}\)
Zylinderkoordinaten
Die Zylinderkoordinaten bestimmen die Position eines Punktes P(r, φ,h) im Raum mit Hilfe von drei Koordinaten, dem Abstand r vom Ursprung, dem Winkel φ und der Höhe h. Es handelt sich dabei um die Erweiterung der Polarkoordinaten um die dritte Dimension, also die Höhe.
- dem Abstand r vom Koordinatenursprung
- dem Winkel φ in der Basisebene und
- der Höhe h des Punktes P über der Basisebene.
\(P\left( {r,\varphi ,h} \right)\)
Umrechnung von Zylinder- auf kartesische Koordinaten
Bei der Umrechnung von Zylinder- auf kartesische Koordinate errechnet sich die x-Koordinate aus dem Produkt vom Abstand r und dem Kosinus vom Winkel Phi und die y-Koordinate aus dem Produkt vom Abstand r und dem Sinus vom Winkel Phi, wobei die x-Achse bei φ=0 liegt, und die h- bzw. z-Achsen zusammenfallen
\(\eqalign{ & x = r \cdot \cos \varphi \cr & y = r \cdot \sin \varphi \cr & z = h \cr}\)
Umrechnung von kartesischen Koordinaten auf Zylinderkoordinaten
Bei der Umrechnung von kartesischen auf Zylinderkoordinaten errechnet sich der Abstand r mit Hilfe vom Satz des Pythagoras aus der x- bzw. y-Koordinate, und der Winkel Phi aus dem Arkustangens vom Quotienten aus y- und x-Koordinate, wobei die x-Achse bei φ=0 liegt, und die h- bzw. z-Achsen zusammenfallen
\(\eqalign{ & r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \cr & \varphi = \arctan \left( {\frac{y}{x}} \right) \cr & h = z \cr} \)
Kugelkoordinaten
Die Position eines Punktes im 3 dimensionalen Raum wird durch 3 Werte, dem Abstand r vom Ursprung, dem Winkel φ in der xy-Ebene und dem Winkel ϑ in der rz-Ebene dargestellt.
\(P\left( {r,\varphi ,\vartheta } \right)\)
Es gelten dabei folgende Konventionen:
- r ist der Ortsvektor , also der Vektor vom Koordinatenursprung bis zum Punkt P
- \(\varphi\) ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Ortsvektor r wobei \(0 \le \varphi \le 360^\circ \buildrel \wedge \over = 2 \cdot \pi \)
- \(\vartheta\) ist der Winkel zwischen der positiven z-Achse und dem Ortsvektor r wobei \(0 \le \vartheta \le 180^\circ \buildrel \wedge \over = \pi \)
Einordung der Bestimmungsgrößen in den drei gängigen dreidimensionalen Koordinatensystemen
- Kartesische Koordinaten: 3 Abstände
- Kugelkoordinaten: 1 Abstand + 2 Winkel
- Zylinderkoordinaten: 2 Abstände + 1 Winkel
Breitenkreise in Kugelkoordinaten
Breitenkreise verlaufen parallel zum Äquator, bei der Erde spricht man von nördlicher Breite oder südlicher Breite, es gibt 90+90=180 Breitenkreise. Dabei entsprechen 0° nördlicher und südlicher Breite dem Äquator. Bei der Schreibweise mit Kugelkoordinaten gilt r=konstant, ϑ=konstant,
Längenkreise in Kugelkoordinaten
Längenkreise, auch Meridiane genannt, verlaufen durch N und S-Pol, bei der Erde spricht man von westlicher Länge oder östlicher Länge, es gibt 90+90=180 Längenkreise. Bei der Schreibweise mit Kugelkoordinaten gilt r= konstant, φ = konstant,
Umrechnung von Kugel- auf kartesische Koordinaten
Die Umrechnung von Kugel- auf kartesische Koordinaten erfordert die Länge vom Ortsvektor und den Sinus bzw. Kosinus vom jeweiligen Winkel zwischen dem Ortsvektor und der x- bzw. z- Achse
\(\begin{array}{l}
x = r \cdot \sin \vartheta \cdot \cos \varphi \\
y = r \cdot \sin \vartheta \cdot \sin \varphi \\
z = r \cdot \cos \vartheta
\end{array}\)
Umrechnung von kartesischen Koordinaten auf Kugelkoordinaten
Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten auf Kugelkoordinaten erfordert die x, y und z-Koordinaten vom Punkt und erfolgt unter Verwendung von ArkusKosinus bzw. ArkusTangens und dem Satz des Pythagoras
\(\begin{array}{l} r = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \\ \varphi = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\arccos \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{\rm{ \text{ für y}}} \ge {\rm{0}}}\\ {2 \cdot \pi - \arccos \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{\rm{ \text{ für y} < 0}}} \end{array}} \right.\\ \vartheta = {\mathop{\rm arctan}\nolimits} \dfrac{z}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} \end{array}\)
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