Elektrotechnik und Physik
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Aufbau des Atoms
Jedes Atom besteht aus einem Atomkern und einer Atomhülle. Die Nuklide (p, n) des Kerns bestehen aus je 3 elementaren und stabilen u und d Quarks, das Elektron der Hülle ist ebenfalls elementar und stabil. Außerhalb des Atoms gibt es nur noch ein 4-tes elementares und stabiles Teilchen, das Elektron-Neutrino.
Abmessungen im Atom
Ein Atom ist solange elektrisch neutral, solange es aus gleich vielen Protonen im Kern wie Elektronen in der Hülle besteht. Die elektrische Kraft bindet die negativ geladenen Elektronen an den positiv geladenen Atomkern. Die Eigenschaften der Atomhülle bestimmen die chemischen Eigenschaften eines Elements. Die starke Kernkraft klebt die Quarks in den Hadronen zusammen und überwindet die abstossende elektromagnetische Kraft zwischen den positiv geladenen Protonen im Kern. Das Atom besteht im Wesentlichen aus "Nichts", denn der Durchmesser vom "soliden" Atomkern betragt nur ein - hunderttausendstel vom Durchmesser der Atomhülle, in der sich sonst nur noch die Elektronen befinden.
Durchmesser von Quarks | unklar, aber < 10-18 m |
Durchmesser des Atomkerns | 10-15 m |
Durchmesser der Atomhülle | 10-10 m |
Atomare Masseneinheit
Die atomare Masseneinheit u ist definiert als 1/12 der Massen des Kohlenstoff Isotops C-12. Sie dient dazu anzugeben, um das wieviel fache die Masse des betrachteten Atoms schwerer ist, als 1/12 der Masse von C-12.
\(u = \dfrac{{{}^{12}C}}{{12}} = 1,66 \cdot {10^{ - 27}}kg\)
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Blende
Das menschliche Auge kann durch eine Veränderung des Pupillendurchmessers, im Bereich von 1,5 bis 8 mm, die Lichtmenge steuern, die auf die Netzhaut fällt.
In einer Kamera steuert die Blende mit Hilfe von beweglichen Lamellen am Ende des Objektivs, wie viel vom Durchmesser des Objektivs für den Lichteinfall tatsächlich geöffnet wird. Die Blende steuert aber nicht stufenlos wie viel Licht auf den Sensor fällt, sondern in diskreten Blendenschritten bzw. den zugehörigen Lichtwerten.
Die Öffnung der Blende ist jener Wert in mm, der sich ergibt, wenn man die Brennweite des Objektivs durch den gewählten Blendenwert dividiert. Lichtstarke, aber teure Objektive, haben einen kleinsten Blendenwert von f/1,2 oder f/1,4. Ändert man die Blende um eine Blendenstufe, so fällt doppelt oder halb so viel Licht auf den Sensor.
Um die Fläche eines Kreises, der durch die Lamellen der Blende gebildet wird, und damit den durchgelassenen Lichtstrom zu halbieren, muss man den Durchmesser durch \(\sqrt 2 \approx 1,414\) dividieren. Die Blendenwerte ergeben sich dabei durch Multiplikation von 1 mit dem Faktor \(\sqrt 2 \approx 1,414\)
\(1 - \sqrt 2 - 2 - 2 \cdot \sqrt 2 - 4 - 4 \cdot \sqrt 2 - 8 - 8 \cdot \sqrt 2 - 16 - 16 \cdot \sqrt 2 - 32\)
Im Modus "Blendenautomatik" gibt der Fotograf die Belichtungszeit vor und die Kameraautomatik wählt die richtige Blende. Dabei werden die Blenden in Drittelstufen eingestellt. Die Blendenwerte ergeben sich dabei durch Multiplikation von 1 mit dem Faktor \(\sqrt[6]{2} \approx 1,122\)
1 - 1,1 - 1,2 - 1,4 - 1,6 - 1,8 - 2 - 2,2 - 2,5 - 2,8 - 3,2 - 3,5 - 4 - 4,5 - 5 - 5,6 - 6,3 - 7,1 - 8 - 9 - 10 - 11 - 13 - 14 - 16 - 18 - 20 - 22 - 25 - 28 - 32
Über den obigen Zusammenhang hängt der minimale Durchmesser eines Objektivs von dessen Brennweite ab.
- Bei einem 50 mm Normalobjektiv muss für Blende 2 der Durchmesser mindestens 50/2=25 mm = 2,5 cm betragen. Kein Problem!
- Bei einem 500 mm Teleobjektiv muss für Blende 2 der Durchmesser mindestens 500/2=250 mm = 25 cm betragen. Das würde einem Zylinder von 0,5 m Länge und einem Durchmesser von 25 cm entsprechen. So ein Objekt will man nicht unbedingt besitzen...
- Bei einem 500 mm Teleobjektiv muss für Blende 4 der Durchmesser mindestens 500/4=125 mm = 12,5 cm betragen. So ein Objektiv liegt in der 10.000 € Preisklasse und wiegt über 4 kg.
Die Blendenreihe im Abstand von einem Lichtwert (Brennweite dividiert durch Blendenwert) lautet somit:
f/1 - f/1,4 – f/2 – f/2,8 – f/4 – f/5,6 – f/8 – f/11- f/16 – f/22 – f/32.
- Verkleinert man die Blende um eine Blendenstufe (z.B.: von f/2,8 auf f/4) so kommt nur mehr halb so viel Licht auf den Sensor.
- Vergrößert man die Blende um eine Blendenstufe (z.B. von f/2 auf f/1,4) so kommt doppelt so viel Licht auf den Sensor.
→ Merksatz: Kleine Blendenzahl (f/2,8), große Blendenöffnung, viel Licht fällt auf den Sensor, bei geringer Schärfentiefe.
Das bedeutet bei einem 50mm Normalobjektiv und f/1,2 dass der offene Durchmesser 42 mm beträgt, also sehr viel Licht durch das Objektiv in Richtung des Sensors gelangt. Mit diesem Objektiv kann man auch dann noch richtige Belichtungen erzielen, wenn es schon dunkel ist.
→ Merksatz: Große Blendenzahl (f/16), kleine Blendenöffnung, wenig Licht fällt auf den Sensor, bei großer Schärfentiefe.
Das bedeutet bei einem 50mm Normalobjektiv und f/8 dass der offene Durchmesser 6,25 mm beträgt, also sehr wenig Licht durch das Objektiv in Richtung des Sensors gelangt. Mit diesem Objektiv kann man nur dann noch richtige Belichtungen erzielen, wenn das Motiv relativ gut beleuchtet ist.
Tiefenschärfe
Mit der Wahl der Blende geht die sogenannte Tiefenschärfe auch Schärfentiefe genannt, einher. Die Tiefenschärfe bezeichnet jenen Bereich vor und hinter dem Fokuspunkt, auf den am Objektiv scharf gestellt wurde, der im Bild noch hinreichend scharf abgebildet wird. Die Tiefenschärfe ist neben der Blendenöffnung auch noch von der Brennweite, der Entfernung zum Motiv und der Sensorgröße wie folgt abhängig:
- Kleine Blendenzahl (f/2,8), große Blendenöffnung → geringe Tiefenschärfe
- Nahe am Motiv → geringe Tiefenschärfe
- Große Brennweite → geringe Tiefenschärfe
- Großer Sensor → geringe Tiefenschärfe
Bokeh
Die Tiefenschärfe ist zwar technisch bedingt, wird aber gerne als fotografisches Gestaltungselement eingesetzt. Dann spricht man von Freistellung, Unschärfe-Look oder Bokeh. Ein Anwendungsfall ist etwa ein Portrait, bei dem der Vorder- und der Hintergrund im Unterschied zur Person absichtlich unscharf abgebildet werden, damit die ganze Aufmerksamkeit auf die Person gerichtet wird.
Scharfe Wahrnehmung
Die Wahrnehmung wird als scharf empfunden, wenn ein Punkt im Motiv als Punkt auf der Netzhaut, am Kamerasensor oder am Bild bzw. Monitor wieder als Punkt und nicht als Zerstreuungskreis abgebildet wird. Physikalisch gesehen ist dies für gegebene optische Parameter nur für eine einzige Gegenstandsweite möglich. Punkte vor und hinter dieser Gegenstandsweite zerstreuen.
- Der Fokus bzw. die Scharfstellung des Auges erfolgt kontinuierlich, wodurch das Auge scheinbar nie unscharf sieht. Bei dieser sogenannten Akkommodation verwendet das Auge folgenden Trick:
- Schaut man auf einen nahen Bildteil, so spannt sich der Ringmuskel, die Wölbung der Linse nimmt zu und auf der Netzhaut entsteht für die nahen Bildteile ein scharfes Bild.
- Schaut man auf einen fernen Bildteil, so entspannt sich der Ringmuskel, die Wölbung der Linse nimmt ab und auf der Netzhaut entsteht für ferne Bildteile ein scharfes Bild.
Durch die dynamische Änderung der Dicke und somit der Brechkraft der Augenlinse, zufolge anspannen oder erschlaffen des Ziliarmuskels, entsteht im Gehirn der Eindruck eines durchgängig scharfen Bildes auch für unterschiedliche Entfernungen.
- Die Fokussierung bzw. die Scharfstellung bei einem Objektiv funktioniert, indem der Entfernungsring am Objektiv gedreht wird, wodurch der Abstand zwischen den Linsen im Objektiv und dem Sensor im Gehäuse verändert wird. Erfolgt diese Drehbewegung durch einen Motor und wird sie elektronisch gesteuert, so spricht man von Autofokus.
- Wird der Abstand zwischen Objektiv und Sensor kürzer, werden ferne Motivteile scharf, wird der Abstand zwischen Objektiv und Sensor länger, werden nahe Motivteile scharf.
- In der Fotografie wird die Schärfe als Gestaltungsmittel eingesetzt, um die Aufmerksamkeit des Betrachters auf ausgewählte Bildteile zu lenken. Unter Bokeh versteht man jene Bildanteile, speziell im Bildhintergrund, die gewollt zunehmend unschärfer werden. Die Form der Zerstreuungskreise hängt dabei von der gewählten Brennweite, der Blendenöffnung und der Anzahl der Lamellen ab, welche die Blende bilden.
Beispiel:
Zeige, dass für eine Verdoppelung der Kreisfläche deren Durchmesser mit dem Faktor \(\sqrt 2 \approx 1,414\) zu multiplizieren ist
\(\begin{array}{l} A = \dfrac{{{d_1}^2}}{4} \cdot \pi \to {d_1} = 2 \cdot \sqrt {A \cdot \pi } \\ 2 \cdot A = 2 \cdot \dfrac{{{d_1}^2}}{4} \cdot \pi = \dfrac{{{d_2}^2}}{4} \cdot \pi \to 2 \cdot {d_1}^2 = {d_2}^2 \to {d_2} = \sqrt 2 \cdot {d_1} \end{array}\)
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Elektrostatik
Die Elektrostatik ist der einfachste Fall der Elektrodynamik. Sie beschreibt die Felder, die von ruhenden elektrischen Ladungen ausgehen, sowie die Kräfte, die zwischen ruhenden elektrischen Ladungen wirken.
Drei fundamentale Arten von Ladung
Gemäß dem Standardmodell der Elementarteilchen ist Ladung eine fundamentale Eigenschaft von Teilchen. Zusammen mit der Masse des Teilchens, bestimmen die 3 Arten von Ladung, welcher der 4 Wechselwirkungen ein Teilchen unterliegt. Alle drei Arten von Ladungen treten quantisiert auf, d.h. sie können nur bestimmte, diskrete Werte annehmen. Die Ladung eines zusammengesetzten Teilchens, z.B. eines Atoms, setzt sich aus der Summe der Ladungen seiner Einzelteilchen (Elektronen, Quarks) zusammen. Die Summe der Ladung aller Teilchen eines Systems bleibt über alle ablaufenden Prozesse hinweg erhalten.
Es gibt 3 fundamentale Arten von Ladung, die bestimmen welcher Wechselwirkung ein Teilchen unterliegt:
- die elektrische Ladung der elektromagnetischen Wechselwirkung
- den schwachen Isospin der schwachen Wechselwirkung
- die Farbladung der starken Wechselwirkung
- zur vierten Wechselwirkung, der Gravitation, gibt es keine Ladung, die Masse hat aber eine vergleichbare Bedeutung, sie unterliegt aber (noch) nicht der Quantentheorie
- es gibt keine magnetische Ladung, somit keine magnetische Monopole
Elektrische Elementarladung e
Elektrische Elementarladung → Elektrostatik; Elementarmagnetismus → Magnetostatik;
Die Elementarladung ist eine fundamentale Eigenschaft von elektrisch geladenen Teilchen und Ausgangspunkt der Elektrostatik. "Fundamentale" Eigenschaft bedeutet, dass die elektrische Ladung durch keine andere physikalische Größe erklärbar ist. Die Elementarladung ist daher eine Naturkonstante, deren Wert exakt \(e = 1,602\,176\,634 \cdot {10^{ - 19}}C\) beträgt. Das Coulomb ist also die Einheit der elektrischen Elementarladung.
Folgende subatomaren Teilchen tragen negative elektrische Ladung:
- Elektronen: -1e
- Myonen: -1e
- Tauonen: -1e
- down-Quark: -1/3 e
- strange Quark: -1/3 e
- bottom-Quark: -1/3 e
Folgende subatomaren Teilchen tragen positive elektrische Ladung:
- up-Quark: +2/3 e
- charm Quark: +2/3 e
- top-Quark: +2/3 e
Nicht alle subatomaren Teilchen tragen Ladung.
- Elektron-Neutrino, Myon-Neutrino, Tau-Neutrino, Photonen, ... sind keine Träger elektrischer Elementarladung
Die elektrische Ladung des Protons ist exakt gleich groß wie die elektrische Ladung des Elektrons. Die Ladung des Protons ist positiv, die Ladung des Elektrons ist negativ. Die beiden Ladungen sind einander entgegengesetzt. Das Neutron ist elektrisch neutral, also nicht geladen.
Während das Elektron fundamental, also unteilbar ist, setzt sich das Proton und das Neutron seinerseits aus 3 ihrerseits fundamentalen Quarks zusammen, welche die eigentlichen Träger der elektrischen Ladung im Proton bzw. Neutron sind. Quarks können aber auf Grund eines quantenmechanischen Effekts, der „Confinement“ genannt wird, nicht allein sondern nur als Zusammensetzung aus 2, 3 oder 5 Quarks existieren. Lediglich Protonen und im Atomkern gebundene Neutronen sind stabil.
- Das Elektron ist fundamental, also aus keinen weiteren subatomaren Teilchen aufgebaut. Es ist mit -e negativ geladen.
- Ein Proton besteht aus zwei up-Quarks (+2/3) und einem down-Quark (-1/3). Es ist positiv geladen. Für die elektrische Ladung des Protons ergibt sich:
\(\left( {2 \cdot \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3}} \right) \cdot e = \dfrac{{4 - 1}}{3} \cdot e = e\)
- Ein Neutron besteht aus einem up-Quark (+2/3) und zwei down-Quarks (-1/3) . Es ist elektrisch neutral. Für die elektrische Ladung des Neutrons ergibt sich:
\(\left( {\dfrac{2}{3} - 2 \cdot \dfrac{1}{3}} \right) \cdot e = \dfrac{{2 - 2}}{3} \cdot e = 0\)
Elektrische Ladung Q
Elektrische Ladung → Elektrostatik; Polstärke → Magnetostatik;
Die elektrische Ladung Q ist immer ein ganzzahliges, positives oder negatives Vielfaches der Elementarladung e. Die elektrische Ladung Q ist also die Summe der Elementarladungen e. Das Coulomb ist also die Einheit der elektrischen Ladung.
\(\eqalign{ & Q = n \cdot e{\text{ mit n}} \in {\Bbb Z}{\text{ (Menge der ganzen Zahlen)}} \cr & {\text{Q = }}{{\text{Q}}_ + } + {Q_ - } \cr} \)
Wobei Q+ für Protonen und Q- für Elektronen steht.
Alle Ladungen Q sind von einem elektrischen Feld \(\overrightarrow E \) umgeben. Die elektrische Ladung verändert nämlich den umgebenden Raum, indem sie dort ein elektrisches Feld erzeugt.
Coulomb C
Coulomb → Elektrostatik; Weber → Magnetostatik;
Das Coulomb C ist die Einheit der elektrischen Ladung. 1 Coulomb ist jene elektrische Ladung, die innerhalb von einer Sekunde durch den Querschnitt eines Leiters transportiert wird, in dem ein Strom von 1 Ampere fließt.
Die Einheit der Ladung Q ergibt sich gemäß folgender Einheitengleichung
\(\left[ Q \right] = \left[ I \right] \cdot \left[ t \right] = A \cdot s = C = \dfrac{{Nm}}{V}\)
Wenn elektrischer Strom fließt, bewegen sich elektrische Ladungsträger
\(\eqalign{ & 1{\text{C}} = 1{\text{A}} \cdot 1{\text{s}} \cr & {\text{Q = n}} \cdot {\text{e}} \cr & {\text{n = }}\dfrac{Q}{e} = \dfrac{{1\operatorname{C} }}{{1,602{\mkern 1mu} 176{\mkern 1mu} 634 \cdot {{10}^{ - 19}}C}} \approx 6,2415 \cdot {10^{18}} \cr} \)
Damit ein Strom von 1A für die Dauer von 1 Sekunde fließt, müssen sich in dieser Zeitspanne 6,2 Trillionen Elektronen durch den Leiterquerschnitt bewegen.
Bei Gleichstrom bewegen sich die Elektronen physikalisch vom Minus- zum Pluspol, bei Wechselstrom schwingen die Elektronen im Leiter abhängig von der Frequenz hin und her, ohne sich makroskopisch über die Amplitude der Schwingung hinaus zu bewegen.
Coulombsche Kraft zwischen zwei punktförmigen ruhenden Ladungen
Coulombsches Gesetz → Elektrostatik; Magnetisches Kraftgesetz → Magnetostatik;
Das Coulombsche Gesetz stellt einen Zusammenhang zwischen den elektrischen Größen „Ladung bzw. elektrisches Feld“ und der mechanischen Größe „Kraft“ her. Es ist daher die Basis für den Bau von elektrischen Maschinen.
Mit dem coulombschen Gesetz kann die Kraft zwischen 2 punktförmigen ruhenden Ladungen berechnet werden. Die Kraft die 2 punktförmige Ladungen im Vakuum auf einander ausüben, ist indirekt proportional zum Quadrat des Abstands der beiden Ladungen und direkt proportional zum Produkt der beiden Ladungen. Umgekehrt formuliert nimmt die Kraftwirkung sehr rasch, nämlich quadratisch mit der Entfernung, ab.
Das coulombsche Gesetz gilt für gleich- und ungleichnamige Ladungen. Gleichnamige Ladungen stoßen einander ab, ungleichnamige Ladungen ziehen einander an.
\({F_{12}} = k \cdot \dfrac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{{r^2}}} = \dfrac{1}{{4\pi \varepsilon_r {\varepsilon _0}}} \cdot \dfrac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{{r^2}}}\)
mit \(\varepsilon = {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r}\) und der Coulomb-Konstante \(k = 8,99 \cdot {10^9}\dfrac{{{\text{Vm}}}}{{{\text{As}}}}\)
Beispiel: Überprüfen wir das Coulombsche Gesetz mittels einer Einheitengleichung:
\(\begin{array}{l} {F_C} = \dfrac{1}{{4\pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r}}} \cdot \dfrac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{{r^2}}}\\ N = \dfrac{1}{{\dfrac{{As}}{{Vm}}}} \cdot \dfrac{{{C^2}}}{{{m^2}}} = \dfrac{{Vm \cdot {C^2}}}{{As \cdot {m^2}}} = \dfrac{{V \cdot {C^2}}}{{As \cdot m}} = \\ {\rm{mit }}C = As = \dfrac{{Nm}}{V} \to V = \dfrac{{Nm}}{C}\\ = \dfrac{{\dfrac{{Nm}}{C} \cdot {C^2}}}{{C \cdot m}} = \dfrac{{Nm \cdot C}}{{C \cdot m}} = N\,\,\,\,{\rm{wzbw}}{\rm{.}} \end{array}\)
Das coulombsche Gesetz gibt ein Maß / eine Formel für jene Kraft an, die 2 punktförmige Ladungen im Vakuum auf einander ausüben und zwar zufolge der fundamentalen elektromagnetischen Wechselwirkung. Der Raum um und zwischen den beiden Ladungen ist von einem elektromagnetischen Feld erfüllt. Das elektrische Feld ist eine Folge des Vorhandenseins von elektrischer Ladung (und einer allfällig zusätzlich vorhandenen zeitlichen Änderung eines Magnetfeldes).
Das Quant / das Boson der fundamentalen elektromagnetischen Wechselwirkung ist das Photon, welches daher der Vermittler der anziehenden oder abstoßenden Kräfte zwischen den beiden punktförmigen Ladungen ist.
Unterschied coulombsche Kraft, Lorentzkraft und elektromagnetische Kraft bzw. Urspannung
Man unterscheidet 3 Arten von Kräften, die auf elektrische Ladungen wirken
- Die coulombsche Kraft wirkt zwischen 2 punktförmigen ruhenden Ladungen, ihre Ursache ist das elektrische Feld. Sie ist daher ein Phänomen der Elektrostatik und bewirkt Spannung zufolge von Potentialunterschieden.
- Die elektromagnetische Kraft (EMK) entspricht der Fähigkeit eines Systems eine Spannung – die „Urspannung“ - zu erzeugen. Konkret ist die Urspannung jene Spannung, die in einem elektrischen Leiter induziert wird, wenn sich der magnetische Fluss durch den Leiter ändert. Es handelt sich dabei um ein Phänomen der Elektrodynamik.
- Die Lorentzkraft wirkt auf bewegte Ladungen im Magnetfeld und ist daher ein Phänomen der Elektrodynamik. Diese Kraft wirkt senkrecht zur Bewegungsrichtung des geladenen Teilchens und senkrecht zur Richtung vom Magnetfeld. Die Lorentzkraft führt dazu, dass sich Elektronen in einem Magnetfeld auf gekrümmten Bahnen bewegen.
Das elektrische Feld
Elektrisches Feld → Elektrostatik; Magnetisches Feld → Magnetostatik;
Sind in einem Raum ruhende oder bewegte elektrische Ladungen Q vorhanden, so verursachen diese Ladungen die Ausbildung eines elektrischen Feldes \(\overrightarrow E \). Zufolge des elektrischen Feldes wirken zwischen gleichnamigen oder ungleichnamigen Ladungen die abstoßende oder anziehende Coulombsche Kraft \(\overrightarrow {{F_C}} \)
Elektrische Feldlinien
Elektrische Feldlinien → Elektrostatik; Magnetische Feldlinien → Magnetostatik;
Alle Ladungen Q sind von einem elektrischen Feld \(\overrightarrow E \) umgeben. Die elektrische Ladung verändert nämlich den umgebenden Raum, indem sie dort ein elektrisches Feld erzeugt.
Elektrische Feldlinien zeigen den Verlauf des Feldes, wobei sie bei positiven Ladungen beginnen und bei negativen Ladungen enden, sich nie schneiden und senkrecht zu den Ladungen stehen. Man spricht daher von einem Quellenfeld. Die positiven Ladungen sind dabei die Quellen, die negativen Ladungen sind die Senken.
Die Dichte der Feldlinien (also wie eng oder weit die Feldlinien auseinander liegen) ist ein Maß für die Feldstärke. Die Feldstärke ist nahe einer Ladung hoch, entsprechend liegen die Feldlinien dicht beieinander und dünnt dann mit zunehmender Entfernung aus. Die Richtung der Coulombschen Kraft auf eine Ladung im Feld wirkt tangential zu den Feldlinien. In einem homogenen Feld liegen die Feldlinien parallel zueinander.
Elektrische Feldstärke
Elektrische Feldstärke → Elektrostatik; Magnetische Feldstärke → Magnetostatik;
Die elektrische Feldstärke \(\overrightarrow E \) ist eine vektorielle Größe, welche die Stärke und die Richtung eines elektrischen Feldes und somit die Fähigkeit des elektrischen Feldes, eine Kraft auf eine darin enthaltene Ladung auszuüben, angibt. Die elektrische Feldstärke entspricht der auf die Längeneinheit der Feldlinie bezogenen Potentialdifferenz. Ihre Ursache sind elektrische Ladungen. Ihre Einheit ist entsprechend Volt pro Meter \(\left[ E \right] = \dfrac{{\text{V}}}{{\text{m}}}\). Die elektrische Feldstärke ist von der Potentialdifferenz, somit also der Spannung (in Volt) und dem Abstand der geladenen Körper (in Meter) abhängig.
\(\vec E = - \dfrac{{\Delta \varphi }}{{\Delta l}}\)
Zwischen zwei benachbarten Potentialflächen muss stets der konstante Potentialwert \(\vartriangle \varphi \) liegen, das bedeutet jedoch noch lange nicht, dass die Potentialflächen auch immer gleich weit voneinander entfernt liegen. Um anzeigen zu können, wo Potentialflächen näher und wo sie weiter voneinander entfernt liegen, wurde die elektrische Feldstärke \(\overrightarrow E \) definiert. Vereinfacht ausgedrückt gibt sie an, wie viele Potentialflächen gerichtet durchstoßen werden, wenn wir in eine bestimmte Richtung um die Wegstrecke \(\Delta l\) weit gehen.
Elektrische Feldstärke einer Punktladung
Die elektrische Feldstärke, die durch eine endliche punktförmig idealisierte Ladung Q ausgeht, nimmt mit dem Quadrat der Entfernung ab. Die Feldlinien stehen radial auf die kugelförmig gedachte Punktladung, die kugelschichtförmig von Äquipotentialflächen umgeben ist.
Die elektrische Feldstärke einer Punktladung Q verläuft radialsymmetrisch. Ihre Stärke nimmt mit 1/r² mit zunehmender Entfernung gemäß folgender Gleichung ab:
\(\left| {\vec E} \right| = \dfrac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r}}} \cdot \dfrac{Q}{{{r^2}}}\)
mit Q als punktförmige Ladung in Coulomb, etwa ein Elektron oder Proton, r als Abstand von der punktförmigen Ladung und \({\varepsilon _0},\,\,{\varepsilon _r}\) als der elektrische Feldkonstante, einer Naturkonstante bzw. Materialkonstante für den vom Feld erfüllten Raum.
Elektrische Flussdichte
Elektrische Flussdichte → Elektrostatik; Magnetische Flussdichte → Magnetostatik;
Die elektrische Flussdichte \(\overrightarrow D \) ist ein vektorielles Maß für die Dichte der elektrischen Feldlinien in Relation zu einer Fläche. Die elektrische Feldstärke \(\overrightarrow E \) ist mit der elektrischen Flussdichte \(\overrightarrow D \) über die elektrische Feldkonstante \(\varepsilon \) verknüpft.
\(\eqalign{ & \overrightarrow D = {\varepsilon _r} \cdot {\varepsilon _0} \cdot \overrightarrow E \cr & \left[ {\overrightarrow D } \right] = \dfrac{{\text{C}}}{{{{\text{m}}^{\text{2}}}}} \cr} \)
Elektrischer Fluss Psi
Elektrische Fluss → Elektrostatik; Magnetische Fluss → Magnetostatik;
Allgemein bezeichnet man jedes Flächenintegral über eine Vektorgröße als Fluss.
Der elektrische Fluss \(\Psi \) (sprich "Psi") ist ein Maß für die Anzahl der elektrischen Feldlinien, die durch ein Flächenelement laufen.
\(\Psi = \iint {\vec D}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} d\vec A = \oint {\vec D{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} d\vec A} \)
Zusammenhang elektrische Feldkonstante, magnetische Feldkonstante und Lichtgeschwindigkeit
Die Lichtgeschwindigkeit verknüpft die elektrischer Feldkonstante und magnetischer Feldkonstante wie folgt:
\({c_0} = \dfrac{1}{{\sqrt {{\varepsilon _0} \cdot {\mu _0}} }}\)
Elektrische Feldkonstante (Permittivität)
Elektrische Feldkonstante → Elektrostatik; Magnetische Feldkonstante → Magnetostatik;
Unterschiedliche Materialien haben eine unterschiedliche Durchlässigkeit für elektrische Felder. Das Maß dafür ist die elektrische Feldkonstante bzw. Permittivität \(\varepsilon \) (bzw. veraltet Dielektrizitätskonstante). Die elektrische Durchlässigkeit eines Stoffs \(\varepsilon \) (sprich "Epsilon"), ist das Produkt aus der elektrischen Feldkonstante die im Vakuum \({\varepsilon _0}\) gilt und einem materialspezifischen dimensionslosen Faktor \({\varepsilon _r}\).
\(\begin{array}{l} \varepsilon = {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r}\\ \left[ {{\varepsilon _0}} \right] = \left[ \varepsilon \right] = \frac{{As}}{{Vm}}\\ \left[ {{\varepsilon _r}} \right] = 1\\ {\varepsilon _0} = \dfrac{1}{{{c^2} \cdot {\mu _0}}} = 4 \cdot \pi \cdot {10^{ - 7}}\dfrac{{As}}{{Vm}} \end{array}\)
Für das Vakuum gilt:
\({\varepsilon _0} = 8,8542 \cdot {10^{12}}\dfrac{{{\text{As}}}}{{{\text{Vm}}}} = 8,8542 \cdot {10^{12}}\dfrac{F}{m}\)
Da sich Luft nur geringfügig polarisieren lässt, gilt für Luft: \({\varepsilon _r} \approx 1\). Wasser hat eine relative Permittivität von \({\varepsilon _r} \approx 80\). Mit steigender Temperatur nimmt die relative Permittivität ab, was auf die steigende Unordnung der Ladungsträger zurückzuführen ist.
Die relative Permittivität \({\varepsilon _r}\) von Dielektrika ist > 1, jene vom Vakuum ist exakt 1, jene von Leiter ist <1. Die relative Permittivität ist mitunter stark frequenzabhängig.
Ideale Stromquelle
Eine ideale Stromquelle liefert stets eine konstante Stromstärke. Die zum Liefern dieser Stromstärke nötige Spannung wird abhängig vom Widerstand der Verbrauchers von der Stromquelle automatisch eingeregelt. Der Innenwiderstand einer idealen Stromquelle ist unendlich groß. D.h. jeder in Serie dazu geschaltete Lastwiderstand erhöht den (ohnehin schon unendlich großen) Summenwiderstand nicht weiter.
Aus einer idealen Stromquelle fließt immer ein konstanter Strom IK = I0.
Welche Spannung am Lastwiderstand abfällt, hängt ausschließlich von der Höhe vom Lastwiderstand selbst ab. D.h.: RL steigt → U0 steigt, aber I0 bleibt konstant. Damit würde aber die von der idealen Stromquelle abgegebene Leistung \(P = U_0 \cdot I_0\) ins Unendliche steigen, würde man nur den Lastwiderstand kontinuierlich vergrößern. Es gibt daher keine „ideale“ Stromquelle, es gibt eigentlich auch keine „reale“ Stromquelle.
Reale Stromquelle
Um die Eigenschaften einer realen Stromquelle nachzubilden, schaltet man im Schaltbild einen inneren Widerstand Ri parallel zur Stromquelle.
\({I_L} = {I_k} - \dfrac{U_0}{{{R_i}}}\)
Je größer der Innenwiderstand Ri ist, um so idealer wird die Stromquelle. Stromquellen gibt es eigentlich gar nicht, da in der Praxis immer eine Spannung vorgegeben ist, die dann den Strom „treibt“.
Praktische Ausnahme: Elektroschweißen, dort wird auf einen konstanten Strom Wert gelegt, damit der Lichtbogen beim Schweißen in gleichmäßiger Stärke aufrecht erhalten bleibt.
Masse (gemäß Einstein, 1905)
Masse ist, so wie auch schon bei Newton, eine Eigenschaft eines Teilchens. Im Unterschied zur Masse gemäß Newton ist die Masse bei Einstein von der Geschwindigkeit abhängig, mit der sich der Körper bewegt. Zudem ist Masse eine andere Erscheinungsform von Energie und kann in diese umgerechnet werden, indem sie mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit multipliziert wird. Erst bei Higgs ist Masse das Resultat der elektroschwachen Wechselwirkung zwischen dem Teilchen über ein Higgs-Boson mit dem Higgs-Feld.
Ruhemasse
Alle Elementarteilchen, außer jene Bosonen die nicht schwach wechselwirken (Gluonen, Photonen), haben eine charakteristische Masse, die sogenannte Ruhemasse. Diese Masse wird in eV also ElektronenVolt gemessen. Die Ruhemasse in eV der verschiedenen Elementarteilchen unterscheiden sich um mehr als10 Zehnerpotenzen.
Teilchen mit Ruhemasse null, werden als (ruhe)masselos bezeichnet. Ein derartiges Teilchen muss sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen.
Masseäquivalent von ruhemasselosen Teilchen, zufolge der Energie-Masseäquivalenz
Für Teilchen die keine Ruhemasse haben, wie etwa die Photonen, kann man dennoch ein Masseäquivalent errechnen. Jeder Körper, der eine Temperatur hat, die über dem absoluten Nullpunkt liegt, sendet eine elektromagnetische Wärmestrahlung aus, die einen Energietransport - sogar durchs Vakuum - ermöglicht. Die Energie E die dabei transportiert wird, ist proportional der Frequenz f des Photons gemäß \(E = h \cdot f\), wobei die Proportionalitätskonstante h das Planck’sche Wirkungsquantum ist.
Durch Einsetzen in die Einstein’sche Formel für die Umrechnung von Energie und Masse \(E = m \cdot {c^2}\) erhält man:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {E = h \cdot f}\\ {f = \dfrac{c}{\lambda }}\\ {E = m \cdot {c^2}}\\ { \to m = \dfrac{E}{{{c^2}}} = \dfrac{{h \cdot f}}{{{c^2}}} = \dfrac{h}{{{c^2} \cdot \lambda }}} \end{array}\)
Da h und c Naturkonstanten sind, ist die Masse eines „ruhemasselosen“ Photons proportional zu seiner Frequenz, bzw. indirekt proportional zur Wellenlänge des Lichts. Auf Grund dieses Masseäquivalents werden Photonen von der Gravitationskraft beeinflusst bzw. abgelenkt.
Relativistische Massenzunahme einer Ruhemasse m0, bzw. geschwindigkeitsabhängige Masse m=m(v) zufolge Beschleunigung einer Masse auf sehr hohe Geschwindigkeiten
Die Bezugsmasse m0 ist jene Masse, die ein Beobachter mit Hilfe einer Waage feststellen kann, wobei sich der Beobachter und die Masse nicht gegen einander bewegen. D.h. Beobachter und Masse sind zu einander in Ruhe. Man spricht daher auch hier von einer Ruhemasse. Damit ist aber nicht die Masse zufolge der Wechselwirkung eines Teilchens mit dem Higgsfeld gemeint, sondern die klassische "newtonsche Masse".
Beschleunigt man diese Bezugs- bzw. Ruhe- bzw. newtonsche Masse, sodass sie nicht mehr ruhend gegenüber dem Beobachter ist, sondern sich mit zunehmender Geschwindigkeit gegenüber dem Beobachter bewegt, so nimmt die Masse aus Sicht des Beobachters exponentiell zu. (Aus Sicht eines Beobachters der sich parallel und somit gleichschnell zur der Masse bewegt, ändert sich an deren Masse natürlich nichts). Nähert sich die Geschwindigkeit der bewegten Masse gegenüber dem ruhenden Beobachter der Lichtgeschwindigkeit, so steigert sich ihre geschwindigkeitsabhängige Masse gegen unendlich. Das ist aber nicht möglich, da man dazu der bewegten Masse unendlich viel Energie zuführen müßte. Daher kann ein ruhemassebehaftetes Teilchen nie die Lichtgeschwindigkeit erreichen.
\({m(v)} = \dfrac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \dfrac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)
Für ein zusammengesetztes Teilchen ergibt sich seine newtonsche Masse aus
- der Ruhemasse seiner Bestandteile (Quarks, Leptonen, W- und Z-Bosonen) zufolge dem Higgs Mechanismus (in Summe ein sehr kleiner Anteil)
- dem Masseäquivalent seiner kinetischer Energie (die Quarks wirbeln im Proton und Neutron nur so herum); Das Masseäquivalent zufolge der kinetische Energie der Quarks und der Gluonen ist viel größer, als die Ruhemasse der einzelnen Quarks zufolge dem Higgs Mechanismus)
- dem Masseäquivalent seiner potentiellen Energie (die sich aus ihren Wechselwirkungen ergibt)
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Eichgruppen und der Symmetriebruch
Dem Standardmodell der Elementarteilchen liegt die Symmetrische Eichtheorie zugrunde
Das Standardmodell der Elementarteilchen wird mathematisch durch eine Eichtheorie mit 3 Eichgruppen SU(3) + SU(2) + U(1) beschrieben. Die Eichgruppe SU(3) beschreibt die starke Wechselwirkung, die Eichgruppen SU(2) und U(1) beschreiben die elektroschwache Wechselwirkung, also die Vereinigung der elektromagnetischen Wechselwirkung und der schwachen Wechselwirkung.
Das Eichprinzip beschreibt die Invarianz einer Gleichung gegen Transformationen. Der Nachteil der Eichtheorie ist die Notwendigkeit masseloser Bosonen und masseloser Fermionen.
Die Eichtheorie ist eine symmetrische Theorie. Damit diese Theorie funktioniert, dürften die Elementarteilchen keine Ruhemasse haben. Haben sie Masse, tritt nämlich ein sogenannter Symmetriebruch auf. Experimente zeigten aber, dass z.B. die Fermionen und die 3 Bosonen der schwachen Wechselwirkung (W+, W-, Z0) sehr wohl Masse haben! Um dieses Problem zu lösen wurde der Higgs Mechanismus postuliert und Jahrzehnte später experimentell nachgewiesen, durch den die Fermionen und jene Bosonen die den schwachen Isospin tragen, ihre Ruhemasse beziehen.
Higgs Boson
Das Higgs-Boson entsteht, wenn das Higgs Feld von schweren, energiereichen Teilchen stark zum Schwingen angeregt wird. Das Higgs Boson stellt also den Anregungszustand vom Higgs Feld dar.
Um den Symmetriebruch der schwachen Wechselwirkung zu erklären, postulierten 1964 einige Forscher ein neues - skalares - Feld und da Higgs als erster auch das zugehörige Boson postulierte, erhielten das Feld und das Boson seinen Namen.
Das Higgs-Boson ist nicht selbst der Lieferant der Masse, sondern nur eine kurzlebige Begleiterscheinung des Higgs-Feldes, ein sogenannter angeregter Zustand des Higgs-Feldes. Das Higgs-Boson als Skalarboson hat den Spin 0, also keinen Eigendrehimpuls;
Das Higgs-Boson ist mit m=125 GeV/c2 das massereichste aller Bosonen, also schwerer als das Z-Boson mit seinen 91 GeV/c2. Auf Grund seiner Masse hat es eine extrem kurze Lebensdauer, durch die es nur extrem kurze Distanzen zurücklegen kann, ehe es zerfällt. Das Higgs Boson ist also nicht stabil. Am CERN wurden die Zerfallsprodukte des Higgs Bosons nachgewiesen, damit das Higgs Boson und damit indirekt das Higgs Feld. Die Bosonen und Fermionen erhalten ihre Ruhemasse durch die Wechselwirkung über das Higgs-Boson, mit dem allgegenwärtigen Higgs-Feld. Je stärker die Wechselwirkung, desto größer die Ruhemasse des Teilchens.
Vakuumerwartungswert eines Feldes
Der Vakuumerwartungswert ist ein Begriff aus der Quantenfeldtheorie. Der Vakuumerwartungswert eines Feldes ist zunächst einmal Null. Das bedeutet, dass im Quantenvakuum kein Feld existiert und sich das System im Zustand niedrigster Energie befindet.
\(\left\langle {{\phi _0}} \right\rangle = 0\)
Higgs Feld
(Nur) Teilchen die den schwachen Isospin als Ladung tragen, koppeln neben der schwachen Wechselwirkung noch an ein weiteres Feld - Higgs Feld - genannt an. Sie tun dies durch den Austausch von Higgs Bosonen.
Da der stabile Zustand eines Teilchens immer derjenige der niedrigsten Energie ist, setzt die Existenz eines Higgsfeldes eine Abhängigkeit der potentiellen Energie vom Higgsfeld voraus. Das ganze Universum ist von einem konstanten, durch Expansion des Universums sich nicht weiter verdünnendem Higgs-Feld erfüllt, dessen Vakuumserwartungswert ungleich Null ist, das aber nirgends verschwindet, weil so der niedrigste Energiezustand im Universum hergestellt wird. Nur Teilchen die den schwachen Isospin tragen, wechselwirken mit dem Higgsfeld, werden langsamer als Lichtgeschwindigkeit und erhalten so ihre Ruhemasse.
\(\left\langle \phi \right\rangle = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\phi ^ + }} \\ {{\phi ^0}} \end{array}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {\sqrt {\dfrac{{{\mu ^2}}}{\lambda }} } \end{array}} \right) \ne 0\)
Das Higgs-Feld ist ein skalares Quantenfeld, seine Quanten sind die (5) Higgs-Bosonen. Das Higgs-Feld selbst und nicht die Masse der Teilchen bricht die Symmetrie der schwachen Wechselwirkung. Teilchen die nicht mit dem Higgs-Feld wechselwirken sind masselos.
Teilchen die schwache Ladung tragen, also die W und Z-Bosonen sowie das Higgs-Boson selbst, werden durch „Anregungen“ des Higgs-Feldes massiv, werden langsamer als die Lichtgeschwindigkeit und erhalten so ihre Higgs-Masse. Das Higgs-Feld ist Teil des „Vakuum Grundzustands“ des Universums geworden. Das Vakuum ist überall gleich und daher dünnt sich das Higgs-Feld trotz der Ausdehnung des Universums nicht aus, sonder hat den konstanten Vakuumerwartungswert von v=246 GeV.
Higgs Mechanismus für Träger der schwachen Wechselwirkung
Da das Higgs-Feld nur die schwache (Isospin) Ladung, nicht aber die starke (Farb-) Ladung und auch nicht die elektrische Ladung trägt, merken deren Austauschteilchen (Gluonen bzw. die Photonen) nichts vom Higgs-Feld und bleiben masselos. Das Higgs-Boson, als Anregung des Higgs-Feldes wechselwirkt also weder stark noch elektromagnetisch.
Lediglich für die 3 Träger der schwachen Wechselwirkung kann man die Ruhemassen bzw. die damit verbundene Koppelungsstärke mit einer Genauigkeit von 0,5 Promille innerhalb des Standardmodells der Elementarteilchen herleiten bzw. vorhersagen. Der Grund dafür ist, dass die Ladung des Higgs-Feldes ebenfalls der schwache Isospin ist, genauso wie für die schwache Wechselwirkung, deren Austauschteilchen eben die W+ , W- und Z0 Boson sind.
Das erklärt, woher jene Bosonen, die der schwachen Wechselwirkung unterliegen, ihre Ruhemasse erhalten.
Higgs Mechanismus für Fermionen
Im Standardmodell der Elementarteilchen gibt es keine Erklärung warum unterschiedliche Fermionen (Quarks und Leptonen) das Higgs Feld unterschiedlich stark spüren.
Yukawa Kopplungsstärke für fermionische Teilchen
Man kann die Yukawa Kopplung nicht theoretisch herleiten, sondern sie wird aus gemessenen Massen zurückgerechnet. Konkret rechnet man aus den Massen der Teilchen auf deren „Kopplungsstärke“ zurück. Umgekehrt gesagt: Die Masse der Fermionen ist proportional der Yukawa-Kopplung. Erst dieser fermionische Higgs-Mechanismus ermöglicht die Existenz von Atomen.
Zeit t
Die Zeit ist eine die physikalische Basisgröße mit der Einheit Sekunde. Man unterscheidet zwischen Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft, wobei der Fortschritt in der Zeit nur in Richtung Zukunft aber nicht in Richtung Vergangenheit laufen muss. Uhren messen periodische Vorgänge. Eine Sekunde entspricht 9 192 632 770 Perioden der Strahlung des Überganges zwischen den beiden Hyperfeinstruktur-Niveaus des Grundzustandes von Atomen des ElementsCäsium-133. In der klassischen Physik sind diese periodischen Vorgänge gleichförmig. In der relativistischen Physik hängt der Gang der Uhren von der relativen Bewegung zwischen Beobachter und Uhr zueinander ab. Mit zunehmender Geschwindigkeit gehen Uhren, genauer gesagt vergeht die Zeit selbst langsamer und kommt bei Lichtgeschwindigkeit zum Stillstand. D.h. je weiter man sich der Lichtgeschwindigkeit annähert, um so weniger altert man. Dieser Effekt wird aber erst bei mehr als 90% der Lichtgeschwindigkeit signifikant.
Sekunde s - Zeiteinheit
Sekunde s ist die Basiseinheit der Zeit im internationalen Einheitensystem.
Zeiteinheiten umrechnen:
- 1 Erdenjahr: 1a = 365,24 d (astronomisches Jahr) bzw. 365 d (Kalenderjahr) bzw. 366 d (Schaltjahr)
- 1 Kalenderjahr: 1.1 bis 31.12
- 1 Geschäftsjahr: Zeitraum zwischen 2 aufeinander folgenden Bilanzstichtagen (z.B.: 1.10 - 30.9)
- 1 Jahr: 1a = 12m Monate
- 1 Monat: 1m = 28, 29, 30 bzw. 31d Tage bzw 4 Wochen
- 1 Woche: 1 Woche = 7d Tage
- 1 Tag: 1d = 24h Stunden
- 1 Stunde: 1h = 60min Minuten
- 1 Minute: 1m = 60s Sekunden
Schreibweisen:
- 3:40 min entspricht 3 Minuten und 40 Sekunden
- 3,40 min entspricht 3 Minuten und 24 Sekunden (60 x 0,4 = 24)
- 220 min entspricht 3,667 Minuten (220:60=3,667) bzw. 3:40 min (220-3*60=3min plus 40s) bzw. 3,667min= 3min plus 0,667min = 3min plus 0,667*60=40s)
Weg s
Der Weg s gibt an, wie weit 2 Punkte entlang einer gegebenen Bahn voneinander entfernt sind.
s=s(t)
Die Einheit vom Weg bzw. von der Länge ist das Meter. Ursprünglich war das Pariser Urmeter die Basis der Längenmessung. Heute ist das Meter über die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (das ist eine Naturkonstante) definiert, die auf exakt 299 792 458 m/s festgelegt wurde. Ein Meter ist somit jene Länge / jener Weg, den das Licht im Vakuum in einem 299 792 458-stel Bruchteil von einer Sekunde zurücklegt.
Meter m - Längeneinheit
Meter m ist die Basiseinheit der Länge im internationalen Einheitensystem.
Längeneinheiten umrechnen:
- Kilometer: 1.000m = 1 km
- Dezimeter: 10dm = 1m; 10cm=1dm
- Zentimeter: 100cm = 1m; 10mm=1cm
- Millimeter: 1.000mm = 1m;
Auch das Lichtjahr ist eine Längeneinheit, denn es entspricht der Strecke von \(9,461 \cdot {10^{12}}{\text{km}}\), welche das Licht im Vakuum innerhalb eines Jahres zurücklegt. Die zu unserer Sonne nächstgelegene Sonnensystem namens Alpha Centauri liegt 4,246 Lichtjahre, das sind \(4,246 \cdot 9,461 \cdot {10^{12}}{\text{km}}\) entfernt.
Geschwindigkeit v
Die Geschwindigkeit gibt an, wie schnell sich ein Körper gegenüber einem Bezugssystem bewegt. Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe, d.h. sie hat einen Betrag, eine Richtung und eine Orientierung. Etwa wie schnell sich ein Zug auf einem Gleis von Westen nach Osten gegenüber dem Bahnhof bewegt.
\(\overrightarrow v = \overrightarrow v \left( t \right) = {\overrightarrow s ^\prime }\left( t \right)\)
Wird in gleichen aufeinander folgenden Zeiteinheiten immer auch der gleiche Weg zurückgelegt, so bewegt sich der Körper mit konstanter Geschwindigkeit. Man spricht auch von einer gleichförmigen Translation. Die konstante Geschwindigkeit ist der Quotient aus zurückgelegtem Weg und der dafür benötigten Zeit. Die Geschwindigkeit gibt also den zurückgelegten Weg in Relation zur dafür benötigten Zeitspanne an.
\(\overrightarrow v = \dfrac{{\overrightarrow s }}{t}\)
\(\eqalign{ & {\text{Geschwindigkeit}} = \dfrac{{{\text{zurückgelegter Weg}}}}{{{\text{Zeit}}}} \cr & \left[ v \right] = \frac{m}{s} \cr} \)
\(\overrightarrow v = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{{\Delta \overrightarrow s }}{{\Delta t}} = \dfrac{{d\overrightarrow s }}{{dt}} = \mathop {\overrightarrow s }\limits^ \cdot\)
Die Momentangeschwindigkeit gibt an, wie schnell sich ein Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt bewegt. In einem fahrenden Auto wird die Momentangeschwindigkeit Mittels des Tachometers angezeigt. Durch Verkehr, Ampeln und die Beschaffenheit der Fahrtstrecke ändert sich die Geschwindigkeit im Zuge einer Autofahrt jedoch immer wieder. Die Durchschnittsgeschwindigkeit gibt den Mittelwert aller Momentangeschwindigkeiten an. Sie ist ein Rechenwert, den man erhält, wenn man die gefahrene Strecke durch die dafür benötigte Zeitdauer dividiert. Tachometer messen den zurückgelegten Weg indirekt, indem sie zählen wie oft sich die Radachse in einer bestimmten Zeit gedreht hat. Dh sie messen eine Drehzahl und multiplizieren diese mit dem Abrollumfang des Rades. Montiert man ein Rad mit einem größeren Radius muss der Tacho neu justiert werden.
Werden in gleichen aufeinander folgenden Zeiteinheiten unterschiedliche weite Weg zurückgelegt, so liegt eine beschleunigte Bewegung vor, wodurch die Geschwindigkeit des Körpers zu- oder abnimmt, sich dessen Geschwindigkeit also erhöht oder verlangsamt.
- Eine positive Beschleunigung bewirkt eine Zunahme der Geschwindigkeit und erfordert eine Kraft die auf den Körper in Richtung seiner Bewegung einwirkt.
- Eine negative Beschleunigung bewirkt eine Abnahme der Geschwindigkeit und erfordert eine Kraft die auf den Körper entgegen seiner Bewegungsrichtung einwirkt.
Die Geschwindigkeit wird in der täglichen Praxis in Meter pro Sekunde (m/s) oder in Kilometer pro Stunde (km/h) angegeben. Wichtige Geschwindigkeiten sind
- Schallgeschwindigkeit ca. 1.234,8 km/h
- Fluchtgeschwindigkeit der Erde ca. 11,2 km/s
- Geschwindigkeit der Erde um die Sonne ca. 30 km/s
- Lichtgeschwindigkeit und somit die maximale Geschwindigkeit für Materie ca 299.792 km/s
Meter pro Sekunde
Meter pro Sekunde ist die Einheit der Geschwindigkeit. Ein Körper welcher sich mit konstanter Geschwindigkeit von 1 m/s bewegt, legt in einer Sekunde die Entfernung von einem Meter zurück. Das entspricht der Geschwindigkeit mit der sich ein Fußgänger fortbewegt.
\(1 \cdot \dfrac{m}{s} = 1 \cdot \dfrac{m}{s} \cdot \dfrac{{1 \cdot km}}{{1000 \cdot m}} \cdot \dfrac{{3600 \cdot s}}{{1 \cdot h}} = \dfrac{{3600}}{{1000}} \cdot \dfrac{{m \cdot km \cdot s}}{{s \cdot m \cdot h}} = 3,6\dfrac{{km}}{h}\)
Beschleunigung a
Die Beschleunigung gibt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit eines Körpers ändert.
a=a(t)=v'(t)=s''(t)
Die Beschleunigung ist eine gerichtete Größe (mathematisch ein Vektor), d.h. sie hat eine Richtung und einen Betrag.
\(\overrightarrow a = \dfrac{{\overrightarrow v }}{t}\)
\(\eqalign{ & {\text{Beschleunigung}} = \dfrac{{{\text{Änderung der Geschwindigkeit}}}}{{{\text{Zeit}}}} \cr & \left[ a \right] = \frac{m}{{{s^2}}} \cr} \)
\(\overrightarrow a = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{{\Delta \overrightarrow v }}{{\Delta t}} = \dfrac{{d\overrightarrow v \left( t \right)}}{{dt}} = \dfrac{{{d^2}\overrightarrow s }}{{d{t^2}}} = \mathop {\overrightarrow s }\limits^{ \cdot \cdot } = \mathop {\overrightarrow v }\limits^ \cdot \left( t \right)\)
Meter pro Sekundenquadrat
Meter pro Sekundenquadrat ms-2 ist die Einheit der Beschleunigung im internationalen Einheitensystem.
\({\text{Einheit: }}1\dfrac{m}{{{s^2}}}\)
Damit ein Fahrzeug innerhalb von 10 Sekunden von 0 auf 100 km/h Geschwindigkeit kommt, muss es mit 2,778 m/s² beschleunigt werden.
Geschwindigkeit einer Internetverbindung
Die Geschwindigkeit einer Internetverbindung, also ihre Datenübertragungsrate, wird in Megabit pro Sekunde (Mbit/s) gemessen. Sie ist ein Maß dafür, wie viele Daten pro Sekunde von einem Server zum Nutzer (Download-Geschwindigkeit) bzw vom Nutzer zu anderen Nutzern (Upload-Geschwindigkeit) übertragen werden können.
- 1 Megabit pro Sekunde Mbps entspricht 1 Million Bit pro Sekunde oder 125.000 Byte (1 Byte = 8 Bit) pro Sekunde.
- 1 MegaByte pro Sekunde MBps entspricht 1 Million Byte pro Sekunde oder 8 Millionen Bit pro Sekunde; 1 MBps = 8 Mbps
Übliche kabelgebundene Internet-Download-Geschwindigkeiten liegen zwischen 100 Mbit/s und 1 Gbit/s. Die Upload-Geschwindigkeiten sind meist wesentlich geringer, da Haushalte viele Daten, besonders Videos vom Internet als Stream beziehen und nur wenige Daten (etwa Mails, Chats, Bilder) ins Internet hochladen. Professionelle Webseiten wie maths2mind.com sind Upstream mit 1 GBit/s an das Backbone Internet angebunden.
Die tatsächliche Geschwindigkeit einer Internetverbindung wird mit sogenannten Speedtest-Tools gemessen. Hier ein Link auf die Datenratenmessung der deutschen Bundesnetzagentur.
Über einen Transponder eines TV-Satelliten können bei Mietkosten von ca. 2 Millionen € pro Jahr ca. 40 Mbps übertragen werden. Das bietet Platz für 16 SDTV-Kanäle oder 4 HDTV Kanäle mit 5-8 Mbps je Kanal oder einem einzigen 4k-TV-Kanal. Für ein 8k-TV-Signal wären bereits 4 Transponder parallel erforderlich.
Die erforderliche Datenübertragungsrate für ein Full-HD-Video (1920 x 1080 Pixel) liegt je nach Codec zwischen 3 Mbps (H.265) und 6 Mbps (H.264). Für ein UHD-Video (3840 x 2160 Pixel) liegt die Datenübertragungsrate etwa 4-Mal so hoch.
Die erforderliche dauerhafte Speichergeschwindigkeit für ein 6k-RAW-Video beträgt 2600 Mbit/s, die eines 4k-H.264-Slow-Motion-Videos mit 120 fps beträgt 1.880 Mbit/s. Auf einem 100 GB großen Speicherplatz kann man ca. 5 Minuten 6k-RAW-Video oder 10 Minuten 4k-Slow-Motion-Video aufzeichnen.
Sichtbares Licht
Das sichtbare Licht ist eine elektromagnetische Welle, die durch ihre Frequenz f bzw. ihre Wellenlänge \(\lambda\) charakterisiert wird und durch das menschliche Auge erfasst werden kann. Es umfasst nur den kleinen Ausschnitt des elektromagnetischen Spektrums, der von 380 nm (violett) bis 780 nm (tiefrot) reicht.
Monochromatisches Licht
Monochromatisches Licht besteht nur aus einer Wellenlänge.
Zusammenhang Wellenlänge - Frequenz - Phasengeschwindigkeit - Periodendauer
Der Zusammenhang zwischen Wellenlänge, Frequenz, Phasengeschwindigkeit und Periodendauer lautet:
\(c = \lambda \cdot f = \dfrac{\lambda }{T}\)
\(c\) | Phasengeschwindigkeit einer monochromatischen Welle |
\(\lambda\) | Wellenlänge, als Abstand zweier benachbarter Wellenberge |
\(f\) | Frequenz, als Anzahl der periodischen Vorgänge pro Sekunde |
T | Periodendauer, als zeitlicher Abstand benachbarter Wellenberge |
Farbtemperatur
Die Farbe des reflektierten Lichts, die ein schwarzer Körper bei Erwärmung abgibt, ändert sich mit dessen Temperatur (gemessen in Kelvin).
Für das sichtbare Licht gilt:
- kurzen Wellenlängen: haben einen hohen Blauanteil (Farbtemperatur 7.500K / bewölkter Himmel)
- neutral weißes Licht: Licht mit einer Farbtemperatur von 4.000 K wird als kalt bis neutralweiß wahrgenommen
- Mittagssonne: liegt bei einer Farbtemperatur von etwa 5.500 K, welche subjektiv als neutrales Tageslicht empfunden wird
- langen Wellenlängen: haben einen hohen Rotanteil (Farbtemperatur 3.000 K / 60W Glühlampe)
Lichtstrom \(\phi\)
Der Lichtstrom \(\phi\) "Phi" beschreibt die von einer Lichtquelle insgesamt abgegebene Lichtmenge, unabhängig von der Richtung. Er wird in Lumen (lm) gemessen.
Lichtausbeute - "Eta"
Die Lichtausbeute ist das Verhältnis des Lichtstroms zur aufgenommen elektrischen Leistung der Lichtquelle. Die Lichtausbeute ist somit ein Maß für die Wirtschaftlichkeit einer Lampe. Ihr theoretisches Maximum liegt bei 683 lm/W. Da aber stets ein Teil der Energie als Wärme verloren geht, bewegen sich die meisten Lichtquellen im Bereich von 10 .. 135 lm/W.
\(\eta = \dfrac{\phi }{P}\)
\(\eta \) | Lichtausbeute, gesprochen "Eta" in lm/W |
\(\phi \) | Lichtstrom, gesprochen "Phi" in Lumen lm |
\(P\) | elektrische Leistung in Watt W |
Lichtstärke I
Lichtstärke ist der Lichtstrom bezogen auf den Raumwinkel. Er beschreibt die Menge des Lichts, dass in eine bestimmte Richtung, sinnvoller Weise die Richtung des zu beleuchtenden Objekts, ausgestrahlt wird.
\(\eqalign{ & I = \dfrac{\phi }{\Omega } \cr & \Omega = \dfrac{A}{{{r^2}}} \cr}\)
I | Lichtstärke in Candela |
\(\phi \) | Lichtstrom in Lumen |
\(\Omega \) | Raumwinkel in Sterad (ganze Kugeloberfläche = 4π sr |
A | Fläche der beleuchteten Kugelkalotte |
r | Radius der Kugel |
Die Lichtstärke kann durch lichtlenkende Elemente beeinflusst werden. Sie gibt die, in einen unendlich kleinen Raumwinkel, abgestrahlte Lichtleistung an. 1cd liegt vor, wenn in 1m Entfernung von einer Lichtquelle 1 lx gemessen wird und in 2m Entfernung 1/4 lx gemessen wird.
Candela (cd)
Candela (cd) ist die Einheit der Lichtstärke. Es ist ein Maß dafür, mit welcher Stärke eine Lichtquelle stahlt. Eine Kerze sendet einen Lichtstrom von ca. 12 Lumen aus, die sich kugelförmig vom Docht aus ausbreiten. Eine derartige Lichtquelle gibt eine Lichtstärke von 1 cd ab.
\(I = \dfrac{\Phi }{\Omega } = \dfrac{{12,566 \cdot lm}}{{4 \cdot \pi \cdot sr}} \approx 1\dfrac{{lm}}{{sr}} = 1cd\)
Leuchtdichte (Helligkeit) - L
Die Leuchtdichte ist die Lichtstärke pro Fläche. Die Leuchtdichte L beschreibt den Helligkeitseindruck (Hell / Dunkel), den eine bestrahlte oder selbstleuchtende Fläche dem Beobachter vermittelt. Ihre Einheit ist \(1nt = \dfrac{{1cd}}{{{m^2}}}\). 1 Nit entspricht also einem Candela pro Quadratmeter.
\(\left[ L \right] = \dfrac{{cd}}{{{m^2}}}{\rm{ bzw}}{\rm{. Nit}}\)
L | Leuchtdichte |
I | Lichtstärke |
A | Fläche |
- Bei bestrahlten Flächen ist sie stark vom Reflexionsgrad abhängig. Der für Innenräume bevorzugte Wert liegt zwischen 50 und 500 cd/m2.
- Bei selbstleuchtenden Flächen (Monitore, TV- bzw. Smartphone-Bildschirme) liegen typische Werte bei 300 bis 500 cd/m2.
- Bei Standard Definition Range (SDR) liegt die Leuchtdichte zwischen 0,05 und 300 cd/m2.
- Bei High Definition Range (HDR) liegt sie zwischen 0,0005 und 10.000 cd/m2, wobei OLED-Displays ihre Stärke bei Schwarz (0,0005 Nits) haben, während LED-LCD Displays ihre Stärke bei den Weißwerten (>1.000 Nits) haben. Als Dynamikumfang bezeichnet man den darstellbaren Bereich zwischen dem dunkelsten und dem hellsten Wert. Damit einher geht bei der Digitalisierung / Bilderfassung auch eine höhere Quantisierung der Helligkeit, die bei SDR bei 8 Bit, bei HDR-10 bei 10 Bit und bei Dolby-Vision® bei 12 Bit liegt.
Lambertsches Kosinusgesetz
Das lambertsche Kosinusgesetz besagt, dass die Lichtstärke I eines flächenhaften Strahls mit dem Kosinus des Winkels zur Flächennormalen variiert. Da der Mensch jedoch mit dem Auge nur die Leuchtdichte L wahrnehmen kann, erscheint der bestrahlte Körper dennoch unabhängig vom Betrachtungswinkel als gleich hell.
Gilt das Lambert Gesetz für jedes Oberflächenelement der Lichtquelle, so wird der reflektierende Körper als Lambert-Strahler bezeichnet. Ein Lambert-Strahler ist ein diffus reflektierender Körper, der kein Licht absorbiert, sonder das einfallende Licht komplett reflektiert. Das sind vollkommen raue, diffuse Flächen, wie die Oberfläche der Sonne, raues Papier oder eine Leuchtdiode. Alle schwarzen Körper sind Lambert-Strahler.
\(I\left( \varphi \right) = L \cdot {A_{Str}} \cdot \cos \left( \varphi \right)\)
\(I\) | Lichtstärke |
\(L\) | Leuchtdichte (Helligkeit) |
\({A_{Str}}\) | Fläche des Strahls |
Beleuchtungsstärke E
Die Beleuchtungsstärke ist der Lichtstrom pro Fläche, gemessen in Lux. Ein Lux ist die Beleuchtungsstärke, die von einem Lichtstrom von 1 Lumen auf einer Fläche von 1 Quadratmeter erzeugt wird.
\(E\left( {lx} \right) = \dfrac{{\phi \left( {lm} \right)}}{{A\left( {{m^2}} \right)}}\)
E | Beleuchtungsstärke in Lux (lx) |
\(\phi \) | Lichtstrom |
A | Fläche |
Sie gibt an, wie hell ein Gegenstand beleuchtet ist, sie beschreibt also die Menge des Lichtstroms, der auf eine Fläche auftrifft, jedoch nicht, wie viel Licht zurückgeworfen wird. Sie nimmt mit dem Quadrat der Entfernung ab.
Für sinnvolle Beleuchtungsstärke gibt es Normen, da sie großen Einfluss darauf hat, wie gut wir etwas sehen können. So sollte ein Arbeitsplatz mit mindestens 500 Lux und der Umgebungsbereich mit mindestens 300 Lux beleuchtet sein. Die photometrischen Daten einer Lampe führen die Beleuchtungsstärke in Lux an, abhängig von der Entfernung und vom Abstrahlwinkel (Floodlight/ Spotlight).
Strahlungsleistung P
Die Strahlungsleistung ist die von der Lichtquelle als Strahlung abgegebene bzw. transportierte Energie pro Zeit. Ihre Einheit ist das Watt.
\(\begin{array}{l} \Phi = \dfrac{{dQ}}{{dt}}\\ \left[ \Phi \right] = W \end{array}\)
\(\Phi \) | Strahlungsleistung in Watt |
Q | Strahlungsenergie in Ws |
dt | Zeitspanne in s |
Heisenbergsche Unschärferelation für Ort und Impuls
Die heisenbergsche Unschärferelation stellt einen Zusammenhang zwischen Unschärfe bei der Bestimmung des Ortes und der Unschärfe bei der Bestimmung des Impulses für eine Ortsdimension (x-Achse) dar. Jede Verringerung der Messung des Ortes erhöht prinzipiell die Ungenauigkeit der Bestimmung des Impulses und umgekehrt. Dies ist ein Naturgesetz und hat nichts mit Messungenauigkeit zu tun.
\(\eqalign{ & \Delta x \cdot \Delta {p_x} \geqslant \dfrac{\hbar }{2} \cr & \Delta x \cdot \Delta {p_x} \geqslant \dfrac{h}{{4\pi }} \cr}\)
Heisenbergsche Unschärferelation für Energie und Zeit
Die heisenbergsche Unschärferelation stellt einen Zusammenhang zwischen Unschärfe bei der Bestimmung der Energie und der Unschärfe bei der Bestimmung des Zeit dar. Jede Messung der Energie erhöht prinzipiell die Ungenauigkeit der Bestimmung der Zeit und umgekehrt. Dies ist ein Naturgesetz und hat nichts mit Messungenauigkeit zu tun.
\(\eqalign{ & \Delta E \cdot \Delta t \geqslant \dfrac{\hbar }{2} \cr & \Delta E \cdot \Delta t \geqslant \dfrac{h}{{4\pi }} \cr}\)
\(\hbar\) | Drehimpulsquantum |
\(h\) | Plancksches Wirkungsquantum |
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Kosmische Hintergrundstrahlung
Bevor sich die nach außen elektrisch neutralen Atome bildeten, war das Universum im thermischen Gleichgewicht, bei einer Temperatur von ca. 3.000 K, da es von einem elektrisch geladenen heißen Gas (Plasma aus freien Elektronen und Protonen) und von Photonen erfüllt war, die sich in der GUT Ära bei der Annihilation von Materie und Antimaterie gebildet hatten. GUT steht für Grand Unified Theory, sie vereinigt die starke und die schwache Wechselwirkung mit der elektromagnetischen Wechselwirkung. Die GUT Ära liegt zeitlich nach der Planck-Ära und vor der Inflation des Universums.
In der Epoche der Rekombination, also ca. 380.000 Jahre nach dem Urknall fangen die ionisierten Atomkerne die freien Elektronen ein und bilden Atome. Dadurch werden Strahlung und Materie entkoppelt, und die Photonen der GUT-Ära fliegen nun ungehindert durch das „durchsichtig“ gewordene Universum.
Die Strahlung die damals bei 3000 K ins Universum ausgesendet wurde, hat sich durch die zwischenzeitliche Expansion des Universums auf eine Schwarzkörperstrahlung von 2,7 K abgekühlt und wurde rotverschoben.
\(T = 2,725\,\,K\)
Die damals entstandene „kosmische Hintergrundstrahlung“ kann seit dem Jahr 1964 als Mikrowellenstrahlung gemessen werden
Obwohl die Strahlung hochgradig gleichförmig aus allen Richtungen des Universums ist, gibt es dennoch kleinste Schwankungen im Bereich von 10-6 K , deren Ursache in der unterschiedlichen Dichte des Universums in der Epoche der Rekombination gesehen wird. In Regionen aus denen die Hintergrundstrahlung geringfügig stärker ist, findet sich auch eine höhere Massendichte (Galaxien,..) als in Regionen niederer Temperatur.
Elektrische Leistung in Drehstromsystemen
Unabhängig davon, ob Verbraucher in Stern- oder in Dreieckschaltung an ein Drehstromsystem angeschlossen sind, errechnet sich ihre Leistungsaufnahme in beiden Fällen mit den selben Formeln. Die Höhe der aufgenommenen Leistung ist bei ein und dem selben Verbraucher aber in der Sternschaltung 2/3 niedriger als in der Dreieckschaltung. Deshalb bediente man sich bei Asynchronmotoren mit hohem Anlaufstrom (Kurzschlussläufer) einer Stern-Dreiecks-Anlaufschaltung. Der Motor läuft in Sternschaltung an und nimmt nur 1/3 seiner maximalen Leistung auf und wird für den eigentlichen Betrieb in Dreiecksschaltung umgeschaltet. Heute kommen Frequenzumrichter zum Einsatz.
Wirkleistung von Drehstromsystemen
Die Wirkleistung im Drehstromnetz ist das dreifache vom Produkt aus Strangspannung, Strangstrom und dem Kosinus von Winkel zwischen Strom und Spannung bzw. das Wurzeldreifache vom Produkt aus Phasen-Phasen Spannung mal Außenleiterstrom mal dem Kosinus von Winkel zwischen Strom und Spannung
\(P = 3 \cdot \overrightarrow {{U_{Str}}} \cdot \overrightarrow {{I_{Str}}} \cdot \cos \varphi = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_L}} \cdot \overrightarrow {{I_L}} \cdot \cos \varphi \)
Blindleistung von Drehstromsystemen
Die Blindleistung im Drehstromnetz ist das dreifache vom Produkt aus Strangspannung, Strangstrom und dem Sinus von Winkel zwischen Strom und Spannung bzw. das Wurzeldreifache vom Produkt aus Phasen-Phasen Spannung mal Außenleiterstrom mal dem Sinus von Winkel zwischen Strom und Spannung
\(Q = 3 \cdot \overrightarrow {{U_{Str}}} \cdot \overrightarrow {{I_{Str}}} \cdot \sin \varphi = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_L}} \cdot \overrightarrow {{I_L}} \cdot \sin \varphi \)
Scheinleistung von Drehstromsystemen
Die Scheinleistung im Drehstromnetz ist das dreifache vom Produkt aus Strangspannung und Strangstrom bzw. das Wurzeldreifache vom Produkt aus Phasen-Phasen Spannung mal Außenleiterstrom
\(S = 3 \cdot \overrightarrow {{U_{Str}}} \cdot \overrightarrow {{I_{Str}}} = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_{L}}} \cdot \overrightarrow {{I_L}} \)
Frequenz im Wechselstromkreis
Die in Herz gemessene Frequenz gibt an, wie viele Perioden eine Wechselgröße in einer Sekunde durchläuft. Eine Periode entspricht einer positiven plus einer negativen Halbwelle einer sinusförmigen Schwingung. Die Zeit, die zum Durchlaufen einer Periode benötigt wird, nennt man die Periodendauer. In Nordamerika (Kanada, USA, Mexiko) und in wenigen andern Ländern wie Brasilien beträgt die Netzfrequenz 60Hz. Im Großteil der Welt beträgt die Netzfrequenz 50Hz.
\(f = \dfrac{1}{T}\)
f | Frequenz in Hz |
T | Schwingungs- oder Periodendauer in Sekunden |
\(\omega\) | Kreisfrequenz in 1/s |
Praktische Bedeutung der Netzfrequenz von 50 Hz
Elektrische Energie wird vorwiegend mittels Synchrongeneratoren - alternativ auch mittels Wechselrichter aus Gleichstrom etwa von Photovoltaikanlagen - erzeugt. Die Netzfrequenz beträgt in den 3 europäischen Verbundnetzen UCTE, NORDEL und IPS/UPS einheitlich 50 Hz.
Elektrische Leistung muss immer im selben Augenblick wo sie verbraucht wird auch erzeugt werden. Ist das nicht der Fall, hat das Auswirkungen auf die Netzfrequenz, was sich in der Praxis sogar in der Genauigkeit der Uhrzeit bei netzsynchronen Uhren mit bis zu 6 Minuten Anzeigeungenauigkeit niederschlagen kann.
- Übersteigt der Verbrauch kurzzeitig die Erzeugung, so sinkt die Netzfrequenz. Die fehlende Energie stammt aus der rotierenden Masse aller beteiligten Synchrongeneratoren, die so Rotationsenergie verlieren und demzufolge langsamer drehen, was wiederum zu einem Absinken der Netzfrequenz führt. Eine lokale Abweichung in Form von einem Totband von +/- 20 mHz ist zulässig, ohne dass Regelleistung eingesetzt wird.
- Im normalen Netzbetrieb darf die Frequenz um +/- 200 mHz vom Sollwert 50 Hz abweichen. Derartige Abweichungen (49,8 bzw. 50,2 Hz) werden durch den Einsatz der Primär-, Sekundär- und Tertiärregelung ausgeregelt.
- Übersteigt die Abweichung +/- 800 mHz, entsprechend 49,2 bzw. 50,8 Hz auch nur kurzfristig, werden Verbraucher oder Erzeuger abgeworfen, d.h. von Netz getrennt.
- Die größte Gefahr für ein Übertragungsnetz geht aber durch den ungeplanten Ausfall von großen Kraftwerken aus, denn sinkt die Frequenz auf unter 47,7 Hz trennen sich die Kraftwerke automatisch von Netz ab. Die Folge davon ist der Zerfall des Verbundnetzes in Inselnetze bzw. der Netzzusammenbruch.
Kreisfrequenz im Wechselstromkreis
Die Kreisfrequenz ist das 2π -fache der Frequenz. Die Kreisfrequenz \(\omega\) entspricht dem in 1 Sekunde vom einem Zeiger der Länge 1 überstrichenem Winkel. Da die Kreisfrequenz das Produkt von \(2 \cdot \pi\) und der Frequenz f ist, wird bei einer Frequenz von 50 Hz der Kreis vom zugehörigen Zeiger 50 mal pro Sekunde umlaufen.
\(\omega = 2 \cdot \pi \cdot f = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\)
Aufgaben
Aufgabe 221
Leistungsberechnung im Wechselstromkreis
Berechne für \(u\left( t \right) = U \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)\) und für \(i\left( t \right) = I \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)\) den Wirk- und den Blindleistungsanteil und interpretiere deren Mittelwerte.
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Aufgabe 245
Fourier Analyse einer \(2\pi \) periodischen Rechteckspannung
Gegeben ist folgende Rechteckspannung
\(u\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { + U\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,0 < t < \dfrac{T}{2}}\\ { - U\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,\dfrac{T}{2} < t < T} \end{array}} \right.\)
Aufgabenstellung:
Ermittle für obige Rechteckspannung die zugehörige Fourierreihe
Aufgabe 255
In einem Einfamilienhaus soll der Bezug von Strom und Gas aus dem öffentlichen Netz durch den Einsatz von Wärmepumpen und Photovoltaikanlagen reduziert werden.
1. Teilaufgabe:
Die spezifische Wärmekapazität von flüssigem Wasser beträgt \(4,190\dfrac{{kJ}}{{kg \cdot K}}\). Es soll ein 270 Liter Brauchwasserboiler eingesetzt werden. Das zufließende Wasser aus der öffentlichen Wasserleitung hat eine Temperatur von 7°C, das Brauchwasser (Abwasch, Dusche, Bad,...) soll 45°C haben.
Berechne, wie viel Energie in kWh pro Jahr erforderlich sind, um das Wasser zu erwärmen.
2. Teilaufgabe:
- Eine kWh Gas kostet inkl. MWST 4,8374 Cent bzw. 0,0484 €.
- Eine kWh Nachtstrom kostet inkl. MWST 14,21 Cent bzw. 0,1421 €
- Eine kWh Tagstrom kostet inkl. MWST 17,20 Cent bzw. 0,1720 €
Berechne die jährlichen Energiekosten des Brauchwasserboilers für jede der 3 Heizformen.
3. Teilaufgabe:
An dem Brauchwasserboilder soll eine Luft-Luft Wärmepumpe angebracht werden, die dem Raum Wärme entzieht und damit das Brauchwasser erwärmt. Die Brauchwasser-Wärmepumpe hat einen Effizienzfaktor COP = 3. D.h. sie nimmt 500 W elektrische Leistung aus dem Stromnetz auf und erzeugt 1.500 Heizleistung.
Berechne die jährlichen Stromkosten für den Betriev der Brauchwasser-Wärmepumpe.