Elektrotechnik und Physik
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Relativitätstheorien
Newtonsche Theorien
Die Newtonsche Mechanik berücksichtigt die Gravitation als eine Kraft wie jede andere Kraft. Die Gravitationskraft hängt von der Masse der beteiligten Objekte, dem Quadrat ihres Abstands und von einer Gravitationskonstante ab. Die Newtonsche Gravitation gilt nur für Geschwindigkeiten die sehr viel kleiner sind als die Lichtgeschwindigkeit. Die Lichtgeschwindigkeit wird bei Newton als „unendlich“ angesehen.
Spezielle Relativitätstheorie (SRT - 1905)
Ausgehend vom Experiment von Michelson und Morley, welches zeigte, dass das Licht - anders als Schall - kein Medium (namentlich den Lichtäther als bevorzugtes Bezugssystem) zu seiner Ausbreitung und zum damit verbundenen Energietransport benötigt, basiert die SRT auf dem Prinzip der Konstanz der (endlichen) Lichtgeschwindigkeit. Aus der rein theoretischen Betrachtung von gegeneinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegter Bezugssysteme, leiten sich Phänomene wie die Längenkontraktion und die Zeitdilation ab, die erst Jahrzehnte später experimentell bewiesen werden konnten. In der SRT sind Ort, Zeit und Geschwindigkeit relativ, nur die Beschleunigung und die Lichtgeschwindigkeit sind absolut. Auf Grund des späten experimentellen Nachweises hat Einstein auch nie einen Nobelpreis für die Relativitätstheorien erhalten! Weiters wurde im Rahmen der SRT die Äquivalenz von Energie und Masse gemäß \(E = m \cdot {c^2}\) hergeleitet.
Allgemeine Relativitätstheorie (ART - 1915)
Beinhaltet vollständig die SRT und geht weit darüber hinaus und zwar durch die Betrachtung von gegeneinander beschleunigten Bezugssysteme und der Einbeziehung der Gravitation unter relativistischen Gesichtspunkten. Betrachtet wird die 4-dimensionale Raumzeit (x,y,z und t). Masse krümmt alle 4 Dimensionen der Raumzeit. Körper sowie Lichtstrahlen bewegen sich entlang von Geodäten, die den kürzesten Weg in dieser gekrümmten Raumzeit darstellen. Die Formeln der ART basieren mathematisch auf Tensoren. In der ART sind Ort, Zeit, Geschwindigkeit und Beschleunigung relativ, nur die Lichtgeschwindigkeit ist endlich und absolut. Die Gültigkeit der ART wurde durch die Lichtablenkung von Sternenlicht durch die Sonne nachgewiesen, durch die Laufzeitverzögerung von Radarsignalen, durch die Frequenzänderung von Licht zufolge des Gravitationsfeldes der Erde, durch den Nachweis von Gravitationswellen, die durch den Zusammenprall von schwarzen Löchern entstanden sind und die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten.
Grundidee der Allgemeinen Relativitätstheorie
Körper und Lichtstrahlen bewegen sich entlang von Geodäten in einer gekrümmten Raumzeit. Einstein beschreibt die Gravitation nicht mehr als Kraft (wie bei Newton), sondern als geometrische Eigenschaft von Raum und Zeit. Materie, die keiner Kraft ausgesetzt ist, bewegt sich durch die Raumzeit entlang von Geodäten. Die Bewegung entlang der Geodäten nehmen wir als Gravitation wahr.
Die Beschreibung der Raumzeitkrümmung baut auf folgenden Prinzipien auf
- Starkes Äquivalenzprinzip, demzufolge „träge Masse“ und „schwere Masse“ äquivalent sind bzw. es keinen Unterschied zwischen Schwerkraft und Kräften zufolge von Beschleunigung gibt
- Kovarianzprinzip, demzufolge in allen Bezugssystemen dieselben physikalischen Gesetze gelten. Die Anwesenheit von Materie oder Energie verursacht eine Krümmung der Raumzeit. Raum, Zeit und Materie sind untrennbar mit einander verbunden.
Die ART gilt als grundsätzlich richtige aber unvollständige Theorie, ähnlich wie man Newtons Theorien als grundsätzlich richtig aber doch nur ein Spezialfall der SRT bzw. ART verstehen kann.
Unvollständigkeit der ART
Sosehr sich die Allgemeine Relativitätstheorie ART auch bewährt, so versagt sie doch an zwei wichtigen Stellen.
Einerseits an den beiden Krümmungssingularitäten der Astronomie, weil sie dort keine Verknüpfung zwischen Energie bzw. Masse und der Krümmung der Raumzeit machen kann:
- Raumzeit-Singularität: Im Zentrum eines schwarzen Lochs
- Urknall-Singularität: Im unendlich kleinen Universum zum Zeitpunkt des Urknalls
Hier treten mathematisch nicht definierte Zustände (Division durch Null) auf und führen zu den beiden genannten Singularitäten.
Andererseits ist es bis heute noch nicht gelungen, die ART in Einklang mit der Quantenphysik zu bringen und eine Theorie der Quantengravitation zu schaffen.
1960 wurde Stephen Hawking berühmt für den Beweis der notwendigen Existenz von Singularitäten in der ART, und dass die ART daher unvollständig ist und in irgend einer Weise nachgebessert werden muss. Seit 1970 beschäftigte sich Stephen Hawking damit, diese Unzulänglichkeiten der ART durch eine Quantentheorie der Gravitation, also einer Quantisierung der Gravitation, die ohne Singularitäten auskommt, zu beheben.
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Kameraobjektiv
Das Objektiv sammelt das Licht, welches vom Motiv kommt, mit Hilfe von einer oder mehreren Linsen, um ein Bild davon auf die Sensorebene abzubilden. Die wichtigsten Kenngrößen von Objektiven sind
- Brennweite in mm gemessen und
- größte Blende, als Verhältniszahl zwischen der Brennweite in mm und dem maximal möglichen Durchmessers des Objektivs in mm, welcher für den Lichteinfall zufolge der Öffnung der Blendenlamellen zur Verfügung steht.
Weitere wichtige Kriterien bei der Auswahl vom Objektiv sind: Autofokus bzw Möglichkeit der manuelle Fokussierung, Bildstabilisierung und Filtergewinde
Am Objektiv muss die Entfernung zwischen Motiv und Filmebene eingestellt werden und wie weit sich die Blende im Verhältnis zum Durchmesser des Objektivs öffnen soll.
Brennweite
Unter der Brennweite eines Objektivs versteht man die Entfernung des Brennpunkts der auf die Sensoroberfläche fallen sollte, von der Mitte der Linse. Die Brennweite bestimmt bei gegebener Sensorgröße den Bildwinkel vom Objektiv. Je nach Brennweite unterscheidet man
- Fisheye-Objektive, mit einer Brennweite unter 10mm, erzeugen ein kreisförmiges Bild
- Weitwinkel-Objektive, mit einer Brennweite zwischen 10 und 40mm
- Normalobjektive, mit einer Brennweite zwischen 40 und 55 mm
- Teleobjektive, mit einer Brennweite über 55 mm
Bildausschnitte
Durch die Wahl der Brennweite und durch die gewählte Entfernung zum Motiv, hat man bereits bei der Aufnahme die Möglichkeit, den am Foto letztendlich sichtbaren Bildausschnitt aus der gesamten Szenerie am Aufnahmeort festzulegen.
- Weitwinkel: Ein weit gefasster Bildausschnitt eignet sich für Landschaften oder Architekturaufnahmen, bei denen das Hauptmotiv in einem großen Kontext gezeigt wird. Abgebildete Personen gehen im Panorama unter. Die englischen Bezeichnung ist "Extrem Wide Shot"
- Totale: Eine totale Aufnahme zeigt das eigentliche Motiv und dessen Umgebung. Es wird ein weiter Bildausschnitt verwendet, um das Motiv in seinem gesamten Umfang darzustellen. Eine Person ist mit Vorder- und Hintergrund sichtbar. Die englischen Bezeichnungen lauten "Establishing Shot" oder "Wide Shot"
- Halbtotale: Bei einer halbtotalen Aufnahme wird das Motiv in einem mittleren Ausschnitt gezeigt. Es wird ein Teil der Umgebung sichtbar, aber der Blick wird auf das Motiv gelenkt. Eine Person nimmt die volle Höhe vom Bild ein und ist vom Kopf bis zu den Füßen sichtbar. Entsprechend lauten die englischen Bezeichnungen "Full Shot" oder "Complete View"
- Amerikanische Einstellung: Unter American Cut versteht man einen Bildausschnitt, wie er in Western für Cowboys beim Duell üblich ist. Die Person ist vom Kopf bis einschließlich der Oberschenkel sichtbar, wo sich die Hände und der Colt befinden. Die englischsprachige Bezeichnung lautet "American Cut".
- Halbnah: Eine halbnahe Aufnahme zeigt das Motiv von etwa der Taille oder dem Hüftbereich aufwärts, es werden aber immer noch Teile der Umgebung sichtbar. Sie entspricht der Wahrnehmung eines einem gegenüber stehenden Gesprächspartners. Die englische Bezeichnung lautet "Medium Cut". Diese Einstellung ist auf Sozial-Media sehr beliebt. Der "Influencer" ist halbnah zu sehen, der einzigartige, beeindruckende, fotogene "Instagrammable Place" ist im Hintergrund erkennbar.
- Nahaufname: Die Naheinstellung zeigt das Motiv in einem sehr engen Bildausschnitt. Menschen werden vom Kopf bis unterhalb der Brust dargestellt, so als würden sie von einem Bildhauer als Büste modelliert werden. Der Fokus liegt auf dem Gesicht. Die englische Bezeichnung lautet "Shoulder Close-Up".
- Großaufnahme: Eine Person ist vom Kopf bis zu den Schultern sichtbar, bzw. werden nur einzelne Körperteile, wie etwa die Hände sichtbar. Großaufnahmen eignen sich natürlich auch sehr gut für Gegenstände wie Blumenvasen. Die englische Bezeichnung lautet "Close-Up".
- Detailaufnahme: Ein Detailausschnitt zeigt einen sehr engen Blick auf ein bestimmtes Detail oder einen kleinen Teil des Motivs, etwa die Armbanduhr eines Darstellers oder ein kleines Motiv auf einer bemalten Blumenvase. Die englische Bezeichnung lautet "Extreme Close Up".
- Italienische Einstellung: Unter Italien Cut versteht man eine aus dem Film "Spiel mir das Lied vom Tod" bekannte Detailaufnahme, bei der ausschließlich die Augenpartie der Darsteller zu sehen ist. Die englische Bezeichnung lautet "Italian Shot".
Sehwinkel des Auges
Der Sehwinkel ist derjenige Winkel, unter dem ein Objekt in der Ferne von einem Beobachter wahrgenommen wird. Der Bildwinkel beim Sehen mit beiden Augen, samt des Bereichs des unscharfen, peripheren Sehens, beträgt ca. 170° horizontal und 110° vertikal. Das Auge sieht gleich weit entfernte Gegenstände dennoch nicht im ganzen Bildfeld gleichzeitig scharf, sondern nur in einem Bildwinkel von ca. 2°, die jedoch durch kleinste Augenbewegungen im Gehirn zu einem Winkel von 10° bis 35° in der Horizontalen zusammengesetzt werden.
- An einem 36x24 mm Bildsensor entspricht ein f=40…50...55 mm Objektiv den vertrauten Sichtverhältnissen, man spricht daher beim f=50 mm Objektiv auch vom „Normalobjektiv“.
- Ein f=50mm Objektiv an einem 36x24 mm Bildsensor weist einen horizontalen Bildwinkel von 39,6°, einen vertikalen Bildwinkel von 27° und einen diagonalen Bildwinkel von 46,8° auf
Zoom- bzw. Festbrennweiten-Objektive
Entsprechend der Bauform unterscheidet man Objektive mit fester uns solche mit verstellbarer Brennweite, sogenannte Zoom-Objektive. Der wichtigste Vorteil von Zoom-Objektiven ist, dass man den Bildausschnitt verändern kann, ohne den Standort zu ändern und ohne mehrere Objektive mit Festbrennweite mitzutragen. Dem stehen als Nachteile gegenüber, dass mehr Linsen benötigt werden, wodurch Zoom-Objektive konstruktionsbedingt lichtschwächer, schwerer und weniger hoch auflösend sind, als Objektive mit fester Brennweite.
Abbildungsqualität eines Objektivs
Für die Qualität eines Objektivs ist entscheidend, wie weit es die folgenden Abbildungsfehler, auf Grund der Anordnung von mehreren Linsen hintereinander, kompensieren kann.
- Verzeichnung
Verzeichnungen sind Bildfehler deren Ursache unerwünschte Veränderungen des Abbildungsmaßstabs innerhalb der Bildebene sind. Dadurch werden rechte Winkel im Motiv nicht wieder auf rechte Winkel im Bild abgebildet. Man unterscheidet kissen- und tonnenförmige Verzeichnungen. Die Verzeichnung nimmt vom Bildmittelpunkt in Richtung der Bildecken zu und wird sichtbar, sobald die Verzeichnung größer ist als der Abstand zweier Pixel. Dieser Fehler tritt vor allem bei Weitwinkelobjektiven auf und wird durch kostspielige Linsenkonstruktionen möglichst kompensiert. - Aberration
- Bei der sphärischen Aberration treffen parallel einfallende monochromatische Lichtstrahlen, nicht an einen einzigen Brennpunkt zusammen, sondern an mehreren Brennpunkten entlang der optischen Achse, wodurch ein unscharfes Bild entsteht. Dieser Effekt wird kleiner, wenn man die Blende etwas schließt, also abblendet (f/1,4 → f/2,8)
- Bei der chromatischen Aberration treten Farbsäume an Konturen auf, da parallel einfallende farbige Lichtstrahlen, einander abhängig von ihrer Wellenlänge, an mehreren Brennpunkten entlang der optischen Achse schneiden. Die chromatische Aberration kann man in der ‚Foto-Nachbearbeitung, von im RAW-Format aufgenommenen Bildern, korrigieren.
- Vignettierung
Darunter versteht man eine Verdunkelung bzw. einen Lichtabfall, in Richtung der Ecken und Ränder des Bildes. Dieser Effekt wird kleiner, wenn man die Blende etwas schließt, also abblendet (f/1,4 → f/2,8). Je größer der Bildsensor ist, um so aufwendiger ist, es Objektive mit geringem Randlichtabfall herzustellen. - Koma und Astigmatismus
Das sind Abbildungsfehler bei geneigten Linsen. Dabei handelt es sich um Bildfehler, die entstehen, wenn parallele Lichtstrahlen schräg, also nicht parallel zur optischen Achse, auf eine sphärische Linse auftreffen und sich nach dem Durchlaufen der Linse nicht in einem Bildpunkt treffen,- Koma: … sondern abseits der optischen Achse abgebildet werden, wodurch ein Punkt auf einen Beistrich („Koma“) abgebildet wird.
- Astigmatismus: … sondern auf zwei Bildlinien abgebildet werden, weshalb man auch von Punktlosigkeit spricht.
Elektrische Stromstärke
Unter elektrischem Strom versteht man die Bewegung von elektrischer Ladung. Damit elektrische Ladungen fließen können, muss ein geschlossener Stromkreis vorliegen, an dem eine Spannung anliegt. Die elektrische Stromstärke hat das Formelzeichen I und als SI-Basiseinheit das Ampere A.
\(I\) | elektrische Stromstärke in A |
\({\Delta Q}\) | die durch den Leiter fließende Ladungsmenge in Coulomb, wobei: 1C = 1As |
\({\Delta t}\) | die dafür benötigte Zeit |
Die Stärke des Stroms gibt an, wie viele elektrische Ladungen pro Zeiteinheit durch einen Stromleiter fließen.
zeitunabhängige Darstellung (Großbuchstaben)
\(I = \dfrac{{\Delta Q}}{{\Delta t}}\)
zeitabhängige Darstellung (Kleinbuchstaben)
\(i\left( t \right) = \dfrac{{dq}}{{dt}}\)
Ampere A
Das Ampere A ist die Basiseinheit der elektrischen Stromstärke. Die Stromstärke beträgt 1A wenn eine Ladung Q von 1C je Sekunde durch einen Leiterquerschnitt fließt. Die Elektronen fließen real vom Minuspol zum Pluspol, leider ist die technische Stromrichtung genau umgekehrt. D.h. Strom vom Pluspol zum Minuspol wird positiv gezählt.
\(\left[ I \right] = A = \dfrac{C}{s}\)
Zusammensetzung des Universums gemäß dem Standardmodell der Kosmologie
Gemäß dem Standardmodell der Kosmologie setzt sich das Universum aus 4 Komponenten zusammen. Lediglich über 4% der gewöhnlichen Materie haben wir physikalische Theorien, die auch einer experimentellen Überprüfung standgehalten haben.
- ca. 73% Dunkler Energie
- ca. 23% Dunkler Materie
- ca. 4% Gewöhnliche Materie
- ca. 0,3% Neutrinos
Gewöhnliche Materie im Standardmodell der Kosmologie
Wenn man heute von Materieteilchen spricht, also von den 4% alltäglicher Materie, dann meint man damit die
- 6 Leptonen: Elektron + Elektron-Neutrino, Myon + Myon-Neutrino, Tau + Tau-Neutrino
- 6 Quarks (mit den "Flavors"): Up + Down, Charm + Strange, Top + Bottom, welche die Protonen und Neutronen aufbauen
Lediglich die beiden leichtesten Quarks „up“ und „down“ und die beiden leichtesten Leptonen „Elektron“ und „Elektron-Neutrino“ sind stabil. D.h. es gibt 6+6=12 Materieteilchen, nur 4 davon sind stabil und nur 3 davon bauen die Elemente auf, aus denen unsere Welt besteht.
Unser physikalisches Wissen über die gewöhnliche Materie ist in der
- klassischen Mechanik (Gallilei, Newton) samt Elektrodynamik (Maxwell) und der Thermodynamik (Carnot)
- Allgemeinen Relativitätstheorie (Einstein)
- Quantenphysik (Planck, Heisenberg, Schrödinger, Feynman, Higgs)
zusammengefasst.
Alle Objekte die aus gewöhnlicher Materie bestehen, üben eine Anziehungskraft auf einander aus. Im Zentrum unserer Galaxie befindet sich das super massereiche Schwarze Loch Sagittarisu A, welches 4 Millionen Mal die Masse unserer Sonne hat, aber nur deren 17-fachen Durchmesser. Es wird von Sternen umkreist, die es durch seine Gravitation an sich bindet.
Dunkle Materie im Standardmodell der Kosmologie
Die beobachtbare gewöhnliche Materie, also inklusive der Schwarzen Löcher, reicht aber nicht aus, um einerseits die Geschwindigkeit zu erklären, mit welcher die Sterne um das Zentrum der Galaxien kreisen und andererseits den Gravitationslinseneffekt zu erklären.
Es wird daher eine zusätzliche - dunkle - Materie mit einer positiv wirkenden Gravitationskraft postuliert. Die dunkle Materie unterstützt dabei die Bildung von Strukturen im Universum, wie Sonnensysteme, Galaxien, Galaxienhaufen und Galaxien-Superhaufen bis hin zu den größten bekannten Strukturen im Universum, den Großen Quasargruppen mit einer Ausdehnung von 4 Milliarden Lichtjahren, zwischen denen sich große Leerräume erstrecken.
Die Dunkle Materie stammt von Teilchen mit Masse, setzt sich aber nicht aus Teilchen der gewöhnlichen Materie des Standardmodells der Teilchenphysik zusammen.
Die aussichtsreichsten Kandidaten sind die im supersymmetrischen Standardmodell postulierten „leichten Superpartner“, deren Masse bei 100 Protonenmassen liegen dürfte. Ihre Masse stammt aus Mechanismen jenseits des Higgs-Mechanismus. D.h. es handelt sich hier nicht um Schwarze Löcher oder um ausgebrannte Sonnen, die erkaltet sind.
Die Dunkle Materie, wäre neben den 6 Leptonen und den 6 Quarks eine dritte Materieteilchenart. Auf ihre Existenz schließt man auf Grund der Wirkung ihrer Gravitation auf sichtbare Himmelsobjekte. Sie muss aus Materieteilchen bestehen, da sie Klumpen in der Größe von Galaxien bildet.
Dunkle Energie im Standardmodell der Kosmologie
Messungen der Rotverschiebung von Galaxien haben gezeigt, dass die Geschwindigkeit mit der sich das Universum ausdehnt, nicht wie erwartet, zufolge der Wirkung der Gravitation abnimmt, sondern im Gegenteil zunimmt, als würde zwischen den Strukturen (Galaxien) eine Anti-Gravitation wirken.
Die dunkle Energie stellt ein verteiltes Energiefeld dar, welches auf Grund einer negativ wirkenden Gravitationskraft die Expansion vom Universum beschleunigt.
Die dunkle Energie scheint strukturlos, gleichmäßig im Raum verteilt und zeitlich konstant zu sein. D.h.: Sie besteht aus keinen Teilchen, die sich etwa zu Galaxien zusammenklumpen könnten. Sie könnte, ähnlich dem Higgs Feld ein skalares Feld sein, das zur inflationären Ausdehnung des Universums beigetragen hat, und im Unterschied zum Higgs-Feld zwischenzeitlich stark ausgedünnt ist. Ein solches Feld wird „Quintessenz“ genannt.
Das wichtigste Indiz für ihre Existenz ist die Tatsache, dass sich die Expansion des Universums, nicht wie erwartet unter der Wirkung der Gravitation verlangsamt, sonder im Gegenteil, beschleunigt.
Während die physikalische Natur der dunklen Energie unklar ist, hat sie bereits Einstein in seiner ART (1915) als „Lambda-Term oder kosmologische Konstante“ eingeführt.
Ein negatives Lambda verstärkt die Gravitation, ein positives Lambda wirkt in Form einer „Anti-Gravitation“, ebenso wie die dunkle Energie.
Neutrinos im Standardmodell der Kosmologie
Neutrinos sind elektrisch neutrale Teilchen, die eine sehr kleine, von null verschiedene, Ruhemasse besitzen.
1930 postulierte sie der Physiker Pauli, um den Energie- und Drehimpulserhaltungssatz im Beta-Zerfall aufrecht erhalten zu können. Neutrinos galten ursprünglich als masselos. 1967 gelang im Davis-Experiment (Nobelpreis 2002) der Nachweis der Existenz von Elektronneutrinos. Seit den 1990er belegten Experimente, dass Neutrinos eine Masse haben (Nobelpreis 2015), wobei die Neutrinomasse weniger als ein Millionstel der nächstgrößeren Masse, der des Elektrons, entspricht. Die Neutrinos sind somit die leichtesten Teilchen im Standardmodell. 2022 geht man von einer Masse von unter 0,8 Elektronenvolt aus. Auch die Neutrinomasse erklärt sich aus dem Higgs-Mechanismus, da auch sie den schwachen Isospin als Ladung tragen. Neutrinos sind die bei weitem häufigsten massetragenden Teilchen im Universum. Alleine von unserer Sonne stammend, durchdringen ca. 70 Milliarden Neutrinos pro Sekunde die Fläche von 1 cm2.
Masse (gemäß Isaac Newton, 1687)
Masse ist eine scheinbar alltägliche Eigenschaft der Materie. Die Größe der Masse wird durch ihre Dichtigkeit und ihr Volumen vereint gemessen.
Schwere Masse
Die "Schwere Masse" ist ein Maß für die Gravitationskraft die von einem Körper ausgeht. Masse ist jene Eigenschaft von Materie, die für den Aufbau eines Schwerefeldes verantwortlich ist. Man spricht von der „Schweren Masse“. Zwei Körper haben die gleiche (schwere) Massen, wenn sie auf je einer Seite einer Balkenwaage liegend diese nicht aus der Gleichgewichtslage bewegen.
Äquivalente Anziehungskräfte zwischen 2 Massen, gemäß dem newtonschen Gravitationsgesetz:
\({F_1} = {F_2} = G \cdot \dfrac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{r^2}}}\)
Träge Masse
Die "Träge Masse" ist ein Maß dafür, wie sehr sich ein Körper einer Bewegungsänderung widersetzt. Masse ist aber auch jene Eigenschaft von Materie, die das Einwirken einer äußeren Kraft erfordert, um die Bewegung eines Objekts in Richtung und/oder Geschwindigkeit zu ändern. Man spricht von der „Trägen Masse“. Zwei Körper haben die gleiche (träge) Masse, wenn sie durch die gleiche Kraft gleich beschleunigt werden.
\(\overrightarrow F = m \cdot \overrightarrow a \)
Äquivalenzprinzip von träger und schwerer Masse
Zunächst einmal gibt es keinen Grund für die Annahme, dass ein Körper, der zweimal so viel Krafteinwirkung für eine Änderung seines Bewegungszustands erfordert, auch ein zweimal so großes Gravitationsfeld aufbaut. Dennoch ist es so! "Träge Masse" (als Maß wie sehr sich ein Körper einer Bewegungsänderung widersetzt) ist gleichwertig der "Schwere Masse" (als Maß für die Gravitationskraft die von einem Körper ausgeht). Man nennt dies das Äquivalenzprinzip von träger und schwerer Masse. Es ist ein wichtiger Aspekt in Einsteins Weiterentwicklung von der Speziellen zur Allgemeinen Relativitätstheorie.
Weitere Sichtweisen auf die Masse findest du auf maths2mind unter folgenden Tags:
- Masse (gemäß Einstein)
- Masse (gemäß Higgs)
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Elementarteilchen bzw. Fundamentalteilchen
Elementarteilchen sind im Standardmodell der Teilchenphysik die kleinsten bekannten Bauteile der Materie. Sie haben keine Ausdehnung, sind also punktförmig bzw. Null-dimensional. In der Stringtheorie werden sie durch „Strings“ ersetzt, die man sich als eindimensionale vibrierende Objekte vorstellen kann.
Die sogenannte „gewöhnliche Materie“ besteht aus 2 Teilchenarten
- 12 materie-bildende Fermionen
- 7(11) Austauschteilchen, den Bosonen
D.h. jedes Elementarteilchen ist entweder ein Fermion, dann hat es den Spin 1/2 oder ein Boson, dann hat es einen ganzzahligen Spin (0, 1 oder 2).
12 Fermionen
Die "gewöhnliche Materie" besteht neben den Bosonen noch aus 12 Fermionen. Sie alle haben einen halbzahligen Spin, das ist der quantisierte Eigendrehimpuls, einer der sogenannten Quantenzustände. Fermionen unterliegen dem paulischen Ausschlussprinzip, demzufolge zwei Fermionen am gleichen Ort, also bei sich überlagernden Wellenfunktionen, nicht den identen Quantenzustand annehmen können.
- 6 Leptonen
- 6 Quarks
Lediglich die beiden leichtesten Leptonen „Elektron“ und „Elektron-Neutrino“ und die beiden leichtesten Quarks „up“ und „down“ sind stabil. D.h. es gibt 6+6=12 Materieteilchen, nur 4 davon sind stabil!
6 Leptonen
Die "gewöhnliche Materie" besteht aus 12 Fermionen. 6 davon sind die Leptonen. Sie sind einzelne, nicht weiter zerlegbare Elementarteilchen.
- Elektron + Elektron-Neutrino,
- Myon + Myon-Neutrino, Die Masse der Myonen ist ca. 200 mal so groß wie die des Elektrons
- Tauon + Tauon-Neutrino), Die Masse der Tauonen ist ca. 1700 mal so groß wie die des Elektrons
- Das Elektron, Myon, Tauon und die Neutrinos unterliegen vor allem der schwachen Wechselwirkung, die für ihren Zerfall verantwortlich ist und der Gravitation, da sie massebehaftet sind. Sie unterliegen aber nicht der starken Wechselwirkung.
- Der elektromagnetischen Wechselwirkung unterliegen das Elektron, Myon und Tauon, da sie geladen sind, nicht jedoch die ungeladenen Neutrinos.
6 Quarks
Die "gewöhnliche Materie" besteht aus 12 Fermionen. 6 davon sind die Quarks. Eigentlich sind es 3 Quarkpaare, die je eine Eigenschaft - „Flavor“ genannt - haben:
- Up + Down;
- Charm + Strange;
- Top + Bottom;
- Quarks tragen die Ladung der starken Wechselwirkung, die sogenannte Farbladung („rot“, „grün“, „blau“) und Bruchteile der elektrischen Elementarladung (2/3) e oder (1/3) e. Sie sind in den Hadronen so kombiniert, dass diese nach außen eine ganzzahlige elektrische Ladung tragen.
- Quarks unterliegen vor allem der starken Wechselwirkung. Sie können aber zufolge der schwachen Wechselwirkung in andere Quarks zerfallen. Quarks unterliegen der elektromagnetischen Wechselwirkung sowie der Gravitation, da sie massebehaftet sind. Somit unterliegen Quarks allen 4. Wechselwirkung.
Hadronen aus 2, 3 oder 4 Quarks
Eine Zusammensetzung von mehreren Quarks nennt man Hadron.
Die 6 Quarks können nicht einzeln existieren, sondern nur in Zusammensetzungen von mehreren (2, 3, 5) Quarks, einem Effekt den man Confinement („Gefangenschaft“) nennt. Versucht man Hadronen durch Zufuhr von hoher Energie zu trennen, entsteht spontan ein Quark-Antiquark Paar, entsprechend der Äquivalenz von Masse und Energie (E=mc2).
Hadronen sind grundsätzlich instabil,
- mit Ausnahme des Protons (bestehend aus 2 Up Quarks und 1 Down Quark), von dem noch kein Zerfall nachgewiesen ist (Einige Theorien leiten eine Halbwertszeit von 1036 Jahren her) .
- Freie Neutronen, die also nicht in einem Atomkern gebunden sind, (bestehend aus 2 Down Quarks und 1 Up Quark), zerfallen im Betazerfall innerhalb von ca. 15 Minuten in ein Proton, ein Elektron und ein Antineutrino, sowie in kinetische Energie.
Hadronen setzen sich aus 2, 3 oder 5 Quarks zusammen
- Mesonen: Hadron aus 2 Quarks
1 Quark + 1 Antiquark, ganzzahliger Spin, Farbe und Antifarbe -> farbneutral - Baryonen: Hadron aus 3 Quarks:
halbzahliger Spin, 3 verschiedene Farben-> farbneutral. Dazu gehören das Proton und das Neutron, die zusammen den Atomkern bilden. - Pentaquarks: Hadron aus 5 Quarks:
4 Quarks + 1 Antiquark, sie wurden erst 2015 entdeckt
7 (11) Bosonen (Austauschteilchen)
Die "gewöhnliche Materie" besteht neben den Fermionen noch aus 7 (11) Bosonen. Die 5 Vektorbosnen als Vermittler der schwachen, der starken und der elektromagnetischen Wechselwirkung sind nachgewiesen. Das Tensorboson der Gravitation ist noch nicht nachgewiesen. Von den 5 erwarteten Skalarbosonen, gemäß dem Higgs'schen Mechanismus, ist erst das 1. von 5 Higgsbosonen nachgewiesen
Die Bosonen vermitteln die Kräfte der 4 Wechselwirkungen und den Higgs-Mechanismus zwischen den Fermionen und den Feldern.
Die mit den Wechselwirkungen verbundenen Kräfte werden nicht „sofort“ übertragen, sondern unterliegen auch den Aussagen der Relativitätstheorie und werden mit Lichtgeschwindigkeit oder langsamer übertragen.
Die Bosonen werden nach ihrem Spin, der im Unterschied zu den Fermionen, ganzzahlig ist, eingeteilt in
- Spin = 0: 1 (5) Skalarboson h0 Higg-Boson(en) Das / die Higgs-Boson(en) hat / haben als Skalarboson(en) den Spin= 0, also keinen Eigendrehimpuls.
- Spin = 1: 1+3+1=5 Vektor oder Eich-Bosonen
- Gluon - 8 Träger der starken Wechselwirkung - Eichgruppe SU(3)
- W+, W- und Z0 Bosonen - 3 Träger der schwachen Wechselwirkung - Eichgruppe SU(2)
- Photon - 1 Träger der elektromagnetischen Wechselwirkung - Eichgruppe U(1)
- Spin = 2: 1 Tensorboson (hypothetische Graviton)
Spektrum elektromagnetischer Wellen
Das elektromagnetische Spektrum ist eine Einteilung der elektromagnetischen Wellen nach deren Wellenlänge bzw. deren Frequenz.
Frequenz in Hz | Wellenlänge in m | |
>0 .. 104 | Wechselströme (elektrischer Strom) |
107 .. 104 |
104 .. 109 | Rundfunk (Radio, TV) |
104 .. 10-1 |
109 .. 1011 | Mikrowelle (GPS, Radar) |
10-1 .. 10-3 |
1011 .. 1013 | Terahertzstrahlung (Spektroskopische Untersuchung von Festkörpern) |
10-3 .. 10-5 |
1013 .. 1014 | Infrarot / Temperaturstrahlung (wird als Wärme empfunden) |
10-5 .. 10-6 |
1014 | Sichtbares Licht | (0,38..0,78).10-6 |
1014 .. 1016 | Ultraviolettstrahlung (Sonnenbräune) |
10-6 .. 10-8 |
1016 .. 1019 | Röntgenstrahlung (Projektionsradiographie) |
10-8 .. 10-11 |
1019 .. 1021 | Gammastrahlung (Kernzerfall) |
10-11 .. 10-13 |
1021 .. 1023 | Kosmische Strahlung (Sonnenwind, galaktische Strahlung, überwiegend Protonen aber auch Alphateilchen) |
10-13 .. 10-15 |
Messtechnische physikalische Darstellung von Farben
Nachfolgende Tabelle stellt den Bereich des sichtbaren Lichts nach messtechnisch, physikalischen Parametern dar:
Farbe |
Wellenlänge |
Frequenz in Teraherz (1012) Hz |
Photonenenergie |
Energie |
Rot | 780 nm - 640 nm | 384 THz - 468 THz | 1,59 eV - 1,94 eV | 255 zJ - 310 zJ |
Orange | 640 nm - 600 nm | 468 THz - 500 THz | 1,94 eV - 2,07 eV | 310 zJ - 331 zJ |
Gelb | 600 nm - 570 nm | 500 THz - 526 THz | 2,07 eV - 2,18 eV | 331 zJ - 349 zJ |
Grün | 570 nm - 490 nm | 526 THz - 612 THz | 2,18 eV - 2,53 eV | 349 zJ - 405 zJ |
Blau | 490 nm - 430 nm | 612 THz - 697 THz | 2,53 eV - 2,88 eV | 405 zJ - 462 zJ |
Violett | 430 nm - 380 nm | 697 THz - 789 THz | 2,88 eV - 3,26 eV | 462 zJ - 523 zJ |
Quelle: https://rechneronline.de/spektrum/ (09.01.2023)
Farbsysteme
Additive Farbmischung
Unter additiver Farbmischung versteht man die Aufsummierung des gesamten sichtbaren Lichtspektrums im Auge des Betrachters zur Farbe Weiß. Wenn weißes Licht auf einen Gegenstand trifft, dann wird ein Teil des Lichts absorbiert und ein Teil des Lichts reflektiert. Der Gegenstand erscheint daher in der Farbe des reflektierten Lichts im Auge oder auf dem Fotosensor. Das RGB - Farbmodell ist ein addditives Farbsystem und wird bei Bildschirmen verwendet, wo man Farben durch die Addition von roten, grünen und blauen Pixeln zur Anzeige bringt. Addiert man 2 Grundfarben des additiven RGB - Farbsystems, so erhält man eine Grundfarbe des subtraktiven Farbsystems.
- Rot + Grün = Gelb
- Grün + Blau = Cyan
- Blau + Rot = Magenta
- Rot + Grün + Blau = Weiß
Subtraktive Farbmischung
Bei der subtraktiven Farbmischen werden auf eine weiße opake Grundfläche Pigmente in den Farben Rot, Blau und Gelb aufgebracht. Jedes Pigment absorbiert einen Spektralbereich des einfallenden Lichts. Je mehr Pigmente aufgebracht werden, um so dunkler wird die Fläche, weil zunehmend alle Spektralbereiche absorbiert und nichts mehr reflektiert wird. Keine Pigemente, also 0%, 0%, 0% entspricht daher der unbedruckten weißen Grundfläche. Das CMYK - Farbmodell ist ein subtraktives Farbsystem und wird beim Farbdrucken angewendet. Zusätzlich zu den drei Grundfarben ist als vierte "Farbe" Schwarz - als "Key" abgekürzt - erforderlich.
- Gelb + Magenta = Rot
- Magenta + Cyan = Blau
- Cyan + Gelb = Grün
- Gelb + Magenta + Cyan = Schwarz
Farbmodelle
Das RGB und das CMYK Farbmodell basieren auf den Mischverhältnissen von Grundfarben und eignen sich optimal zur Ausgabe auf Bildschirmen und mit Druckern, auf Grund der bei diesen technischen Geräten eingesetzten physikalischen Prinzipien der Farbreproduktion.
RGB - Farbmodell
- Rot, Grün, Blau
- additive Farbmischung
- Darstellung von Farben am Monitor
CMYK - Farbmodell
- Cyan, Magenta, Yellow, Back (als "Key", daher kommt das "K")
- subtraktive Farbmischung
- Darstellung von Farben beim Druck
HSL - Farbmodell
Das HSL - Farbmodell basiert nicht wie das RGB und das CMYK - Farbmodell auf Mischverhältnissen von 3 Grundfarben, sondern auf allen Grundfarben und jeweils einem Set von zwei weiteren Parametern, die dem menschlichen Sehen intuitiv zugänglich sind. Beim HSL-Farbmodell werden die einzelnen Farbtöne über deren Lage in Grad am 360° umfassenden Farbkreis als reine Grundfarbe (Hue), als Sättigungswert (Saturation) in Prozent, sowie als Helligkeitswert (Lightness) in Prozent beschrieben. Es ist daher ein dreidimensionales Koordinatensystem zur Beschreibung erforderlich. Vom HSL - Farbmodell gibt es zwei Varianten, die sich jeweils im 3. Parameter unterscheiden. Wir gehen im weiteren nur auf das HSL - Farbmodell ein.
- HSL Farbmodell mit Hue, Saturation, Lightness
- HSB mit Hue, Saturation, Brightness
- HSV mit Hue, Saturation, Value
- H: Grundfarbe Hue
- Grundfarbe in Nanometer oder Hz gemessen
- Farbton, auch Buntton, in Grad Position auf dem Farbkreis
- S: Sättigung Saturation
- Sättigung als Leuchtkraft einer Farbe in %;
- Je geringer die Sättigung, umso matter erscheint die Farbe
- 0% = Grau, 100% voll gesättigte Farbe
- L: Helligkeit Lightness
- Helligkeit als subjektives Reflexionsvermögen einer Oberfläche, die nicht selbst leuchtet
- durch das Weber-Fechner-Gesetz beschrieben, demzufolge beim menschlichen Sehen kein linearer, sondern ein logarithmischer Zusammenhang zwischen der wahrgenommenen und der gemessenen Lichtintensität besteht
Umrechnung HSL – RGB – CMYK sowie Darstellung als Hex-Code
Die nachfolgende Tabelle ist nach der Lage der Grundfarben (Hue), in 60° Abstufungen, entlang vom 360° Farbkreis, sortiert. Die Sättigung ist gleichbleibend mit 100% gewählt. Bei der Helligkeit wird zwischen 50% und 25% unterschieden.
Farbe | HSL | RGB | CMYK | Hex-Code |
Rot | 0°,100%,50% | 255,0,0 | 0,100,100,50 | #FF0000 |
Kastanienbraun | 0°,100%,25% | 128,0,0 | 0,100,100,50 | #800000 |
Gelb | 60°,100%,50% | 255,255,0 | 0,0,100,0 | #FFFF00 |
Olivgrün | 60°,100%,25% | 0,128,0 | 100,0,100,50 | #808000 |
Hellgrün | 120°,100%,50% | 0,255,0 | 100,0,100,0 | #00FF00 |
Grün | 120°,100%,25% | 0,128,0 | 100,0,100,50 | #008000 |
Cyan | 180°,100%,50% | 0,255,255 | 100,0,0,0 | #00FFFF |
Aquamarin | 180°,100%,25% | 0,128,128 | 100,0,0,50 | #008080 |
Blau | 240°,100%,50% | 0,0,255 | 100,100,0,0 | #0000FF |
Marineblau | 240°,100%,25% | 0,0,128 | 100,100,0,50 | #000080 |
Magenta | 300°,100%,50% | 255,0,255 | 0,100,0,0 | #FF00FF |
Purpur | 300°,100%,25% | 128,0,128 | 0,100,0,50 | #800080 |
Weiß | 360°,0%,100% | 255,255,255 | 0,0,0,0 | #FFFFFF |
Mittelgrau | 360°,0%,50% | 128,128,128 | 0,0,0,50 | #808080 |
Schwarz | 360,0%,0% | 0,0,0 | 0,0,0,100 | #000000 |
Illustration HSL-Farbsystem
Grunderkenntnise der Quantenphysik
Das plancksche Strahlungsgesetz fasst die beiden zuvor bekannten empirischen Strahlungsgesetze von Rayleigh-Jeans und Wien zusammen, die jeweils nur für eingeschränkte Wellenlängen gelten.
Wärme kann durch
- Wärmeleitung (Wärmetransport erfolgt von warm nach kalt, ohne Teilchenstrom)
- Konvektion (Wärmetransport erfolgt über Teilchen, die ihre Energie mitnehmen)
- Wärmestrahlung (Wärmetransport mittels elektromagnetischer Strahlung
übertragen werden.
Plancksches Strahlungsgesetz
Das plancksche Strahlungsgesetz besagt, dass elektromagnetische Strahlung nicht kontinuierlich sonder diskret, und zwar in Form von Quanten, also in Vielfachen von h vorliegt. Diese Erkenntnis hat die Quantenphysik begründet. Photonen sind die Quanten der elektromagnetischen Strahlung. Jeder Körper strahlt elektromagnetische (Wärme-)Strahlung einer bestimmten Wellenlänge ab, die ausschließlich von seiner Temperatur abhängig ist. \(L\left( {\lambda ,T} \right)\) ist die spektrale Strahlendichte und \(U\left( {\lambda ,T} \right)\) ist die spektrale Energiedichte jener Temperaturstrahlung im gesamten elektromagnetischen Bereich, welche bei einer Temperatur \(T\) und der Wellenlänge \(\lambda\) abgestrahlt wird. Wärmestrahlung funktioniert auch im Vakuum
\(L\left( {\lambda ,T} \right) = \dfrac{{2{c_0}^2h{\lambda ^{ - 5}}}}{{{e^{\left( {\dfrac{{hc}}{{\lambda kT}}} \right)}} - 1}} = \dfrac{{2h \cdot {c_0}^2}}{{{\lambda ^5}}} \cdot \dfrac{1}{{{e^{\left( {\dfrac{{h{c_0}}}{{\lambda kT}}} \right)}} - 1}}\)
\(U\left( {\lambda ,T} \right) = \dfrac{{8\pi h{c_0}}}{{{\lambda ^5}}} \cdot \dfrac{1}{{{e^{\left( {\dfrac{{h{c_0}}}{{\lambda kT}}} \right)}} - 1}}\)
\({c_0} = 2,99792458 \cdot {10^8}m/s\) | Vakuumlichtgeschwindigkeit |
\(k = 1,380658 \cdot {10^{ - 23}}J/K\) | Bolzmann-Konstante |
\(T\) | Temperatur in Kelvin |
\(\lambda\) | Wellenlänge |
\(h = 2\pi \hbar = 6,626 \cdot {10^{ - 34}}Js\) | plancksches Wirkungsquantum, das Verhältnis von der Energie zur Frequenz eines Photons, gemäß \(E = h \cdot f\) |
E | Energie des Photon |
f | Frequenz des Photons |
p | Impuls des Photons |
Plancksches Wirkungsquantum
Das plancksche Wirkungsquantum ist eine universelle Naturkonstante die Max Planck experimentell im Rahmen der Formulierung des planckschen Strahlungsgesetzes bestimmte. Es hat die Dimension Energie mal Zeit. Es ergibt sich als Quotient der Energie eines Photons und dessen Frequenz. Damit legte er den Grundstein für einen völlig neuen Zweig der Physik - die Quantenphysik.
\(h = \dfrac{{{E_{{\rm{Photon}}}}}}{f} = {6,626.10^{ - 34}}Js\)
Erst Albert Einstein erkannte bei seiner Arbeit an der Lichtquantenhypothese, für die er den Nobelpreis erhielt, die fundamentale Bedeutung vom planckschen Wirkungsquantum.
Lichtquantenhypothese von Einstein
Nachdem der Wert des planckschen Wirkungsquantums bereits experimentell durch Max Planck bestimmt worden war, setzte Einstein das Produkt von h und der Frequenz f eines Protons mit dessen Energie gleich. Die Energie eines Photons ist immer gleich dem planckschen Wirkungsquantum mal der Frequenz des Photons. Umgekehrt formuliert: Bei einer bestimmten Wellenlänge kann es kein Photon mit einem Bruchteil oder Vielfachen der Energie gleich h.f geben. Nur Licht als Photonenstrom konnte den äußeren photoelektrischen Effekt erklären.
Einstein zeigte damit, dass Licht bzw. das elektromagnetische Feld nicht kontinuierlich im Raum verteilt ist, sondern dass es in kleinen Paketen, den Photonen, quantisiert ist. Für diesen wichtigen Zusammenhang der Quantenphysik - und nicht für die Relativitätstheorie, erhielt er 1921 den Physik-Nobelpreis. Die Quantenphysik und die Relativitätstheorie stehen heute einander noch unvereinbar gegenüber.
\(\eqalign{ & {E_{{\text{Photon}}}} = h \cdot f \cr & p = \dfrac{h}{\lambda } \cr}\)
Photoelektrischer Effekt
Elektronen können aus einem Metall befreit werden, wenn man dessen Oberfläche mit Licht (Photonen) bestrahlt.
Äußerer photoelektrischer Effekt
Ist die Energie hf des Photons größer als die Bindungsenergie EB des Elektrons, so wird das Elektron mit der kinetischen Energie Ekin aus der Atomhülle emittiert. Man nennt dies den äußeren photoelektrischen Effekt. Die Energie des Photons geht dabei auf eines der Elektronen in der Atomhülle über, das dadurch in einen angeregten Zustand übergeht oder das Atom sogar vollständig verlässt.
Innerer photoelektrischer Effekt
Ist die Energie hf des Protons kleiner als die Bindungsenergie EB des Elektrons, so ist sie nicht ausreichend um das Elektron in einen angeregten Zustand zu versetzen. Es werden aber Elektronen vom Valenzband in das Leitungsband gehoben, sodass ein Strom fließt. Die Leitfähigkeit eines Halbleiters nimmt bei Beleuchtung zu. Man nennt dies den inneren photoelektrischen Effekt. Eine Anwendung des inneren photoelektrischen Effekts ist die Solarzelle.
\({E_{kin}} = hf - {E_B}\)
Kovarianzprinzip
Das Kovarianzprinzip besagt, dass die Naturgesetze in allen Bezugssystemen gleich sind. Es gibt kein „ausgezeichnetes“ Inertialsystem, keine Physik die von Koordinatensystemen abhängig ist.
Die Umrechnung von einem zu einem anderen Bezugssystem erfolgt über die
- Galilei-Transformation für die Newton’sche Mechanik
- Lorentz-Transformation gemäß der speziellen Relativitätstheorie
- Transformationsgesetze von Tensoren gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie
Galilei - Transformation
Translationen dienen der Umrechnung von Vorgängen, die in zwei gegeneinander verschobenen Bezugssystemen stattfinden. Der Newtonschen Mechanik liegt die Galilei Transformation zu Grunde. Sie gilt für unbeschleunigte Inertialsysteme, also für Koordinatensysteme die sich mit konstanter Geschwindigkeit zu einander bewegen, bei \(v \ll {c_0}\) . Solche Koordinatensysteme kann man durch Messungen nicht von einander unterscheiden, man nennt sie daher Inertialsysteme.
Zum Zeitpunkt t=0 habe ein nur in Richtung der x-Achse bewegtes Koordinatensystem S' und ein ruhendes Koordinatensystem S deckungsgleiche Ursprünge. Nach der Zeit t hat S' in x-Richtung den Weg v.t zurückgelegt. Es geben sich somit folgenden Transformationsgleichungen für die 3 Ortskoordinaten und die Zeitkoordinate:
\({x' = x - v \cdot t}\) | \({x = x' + v \cdot t}\) |
\({y' = y}\) | \(y = y'\) |
\(z' = z\) | \(z = z'\) |
\({t' = t}\) | \({t = t'}\) |
Lorentz-Transformation
Translationen dienen der Umrechnung von Vorgängen, die in zwei gegeneinander verschobenen Bezugssystemen stattfinden. Der speziellen Relativitätstheorie liegt die Lorenz Transformation zu Grunde. Sie gilt für unbeschleunigte Systeme, die sich mit konstanter aber im Verhältnis zur Lichtgeschwindigkeit sehr hoher Geschwindigkeit zu einander bewegen, bei \(v \le {c_0}\). In jedem der beiden Systeme breitet sich das Licht mit der konstanten Lichtgeschwindigkeit aus, unabhängig davon wie schnell sich die beiden Bezugssysteme zu einander bewegen. Die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Systemen kann nie die Lichtgeschwindigkeit übersteigen.
\(x' = \gamma \cdot \left( {x - v \cdot t} \right)\) | \(x = \gamma \cdot \left( {x' + v \cdot t} \right)\) |
\(t' = \gamma \cdot \left( {t - \dfrac{{v \cdot x}}{{{c_0}^2}}} \right)\) | \(t = \gamma \cdot \left( {t' + \dfrac{{v \cdot x'}}{{{c_0}^2}}} \right)\) |
Die Lorentztransformation bedingt, dass die Längen und die Zeit nicht invariant sind.
Längenkontraktion
Unter der relativistischen Längenkontraktion versteht man, dass alle in Bewegungsrichtung liegenden Längen von einem Objekt, aus einem anderen bewegten Bezugssystem aus betrachtet, verkürzt erscheinen. Strecken senkrecht zur Bewegungsrichtung behalten ihre Länge unverändert bei.
\(\Delta x' = \Delta x \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{v}{{{c_0}}}} \right)}^2}} \)
Zeitdilatation
Unter der relativistischen Zeitdilatation versteht man, dass in jedem Bezugssystem, die Zeit eines anderen bewegten Bezugssystems gedehnt erscheint. „Bewegte Uhren gehen langsamer“
\(\Delta t' = \dfrac{{\Delta t}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{v}{{{c_0}}}} \right)}^2}} }}\)
Relativistische Massenzunahme
Die relativistische Massenzunahme besagt, dass die Masse eines Teilchens geschwindigkeitsabhängig ist. Je mehr sich die Geschwindigkeit v des Körpers der Lichtgeschwindigkeit c nähert, umso mehr nimmt seine Masse bzw. nimmt seine Trägheit zu und geht schließlich gegen Unendlich. Masselose Teilchen fliegen stets mit Lichtgeschwindigkeit.
\({m_v} = \dfrac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \dfrac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = \gamma .{m_0}\)
Für v=0 wird der Ausdruck unter der Wurzel gleich 1 und mv=m0. Man spricht von der Ruhemasse.
Lorentzfaktor
In vielen Formeln der speziellen Relativitätstheorie findet man einen Faktor, der auf Grund der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ausschließlich von der Relativgeschwindigkeit v zweier Inertialsysteme abhängt. Der Lorentzfaktor "Gamma" ist dimensionslos.
\(\gamma = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - \dfrac{{{v^2}}}{{{c_0}^2}}} }};\)
- Für v=0 wird der Ausdruck unter der Wurzel und somit der Lorentzfaktor selbst zu 1.
- Nähert sich v der Lichtgeschwindigkeit, so geht der Ausdruck unter der Wurzel gegen unendlich.
- Faustformel: Beträgt die Relativgeschwindigkeit der Systeme 10% von der Lichtgeschwindigkeit, so beträgt der Translationsfaktor ca. 1%. Umgekehrt formuliert: Rechnet man bei 10% der Lichtgeschwindigkeit nicht relativistisch, so beträgt der Fehler ca. 1%.
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Zusammenhang zwischen Außenleitergrößen und Stranggrößen
Mit „Strang“ bezeichnet man immer die Größe die direkt an der Generatorspule, also im Inneren des Generators anliegt, unabhängig davon ob die Generatorspulen nach außen hin im Stern oder im Dreieck zusammengeschaltet bzw. "verkettet" werden. Die verketteten Spannungen werden als Nennspannung eines Drehstromnetzes verwendet. D.h. die Höhe der verketteten Spannung ist unabhängig davon, ob es sich um eine Stern- oder Dreiecksschaltung, oder bei Verteilnetztrafos auf der Niederspannungsseite um eine Zickzackschaltung handelt. Zickzackschaltungen werden eingesetzt, um eine unsymmetrischer Last auf der Sekundärseite besser auf die Außenleiter auf der Primärseite eines Trafos aufzuteilen. Sie vertragen die Schieflast einer Dreieckschaltung verfügen aber über den in Verteilnetzen erforderlichen Sternpunktleiter.
Außenleitergrößen und Stranggrößen bei Sternschaltung
Bei der Sternschaltung wird von jeder Spule jeweils 1 Spulenanschluss zu einem Sternpunkt verbunden. An diesen Sternpunkt kann ein für alle Stränge gemeinsamer Rückleiter, der Neutral-, oder Sternpunktsleiter angeschlossen werden. Dadurch entsteht ein Vierleiternetz, mit den Leiterbezeichnungen L1, L2. L3 und N und zwei Spannungssysteme, eines zwischen je 2 Außenleitern und eines zwischen einem Außenleiter und dem Sternpunkt.
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{U_{12}}} = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_{LN}}} ; \cr & \overrightarrow I = \overrightarrow {{I_L}} = {\overrightarrow I _{LN}}; \cr};\)
- Außenleiterspannungen sind um den Wert \(\sqrt 3\) höher als die Strangspannungen
- Außenleiterströme sind gleich groß wie die Strangströme
400 V Netz in Sternschaltung bedeutet also:
- Verkettete Spannung = Spannung zwischen je zwei Außenleitern = 400 V
- Spannung zwischen jedem Außenleiter und dem Sternpunkt = 230 V
Zusammenspiel zwischen Neutralleiter, Schutzleiter und Erdung
- Durch den Neutral- oder Sternpunktleiter (in blauer Farbe ausgeführt) fließt die Summe der 3 Außenleiterströme vom Verbraucher zum Sternpunkt im Trafo zurück. Der Neutralleiter ist derjenige Leiter in einem Stromnetz, der den Strom von den Verbrauchern zurück zur Stromquelle führt. Bei symmetrischer Belastung der 3 Außenleiter und ohne Oberschwingungen ist der Strom in Neutralleiter null. Bei unsymmetrischer Belastung, was in der Praxis zu erwarten ist, fließt durch den Neutralleiter ein Strom, der zwischen null und einem Strom der sogar größer als ein Außenleiterstrom sein kann. Das ist bei der Berechnung vom Leiterquerschnitt zu beachten. Bei einer Unterbrechung vom Sternpunktleiter verschiebt sich der Sternpunkt. Der Sternpunkt kann niederohmig, hochohmig oder nicht geerdet sein. Man unterscheidet auch zwischen gelöschten Netzen, bei denen der Sternpunkt über eine regelbare Petersenspule geerdet ist und nicht gelöschten Netzen.
- Vom Neutralleiter zu unterscheiden ist der Schutz- oder PE-Leiter (in gelb-grüner Farbe ausgeführt). Der Schutzleiter dient dazu, Personen und Anlagen vor elektrischem Schlag zu schützen, er leitet Fehlerströme in die Erde ab. Er ist ein spezieller Leiter, der alle leitfähigen Teile von Geräten und Anlagen an einem Punkt, der Potenzialausgleichsschiene, innerhalb der zu schützenden Anlage, miteinander verbindet und ab dort mit der Erdung der Anlage verbunden ist. Bei einem Isolationsfehler, wenn stromführende Teile mit metallenen Gehäusen (Fehler: Phase - Erde) oder anderen leitenden Teilen (Fehler Phase - Phase) in Berührung kommen, wird der Fehlerstrom über den Schutzleiter und die Potentialausgleichsschiene sicher zur Erde abgeleitet. Dabei wird ein FI-Schutzschalter oder eine Sicherung ausgelöst, die dann den Stromkreis unterbricht.
- Durch die Erdung wird ein niederohmiger Pfad, für Blitzeinschlag- und Fehlerströme bereitgestellt, um diese von Blitz-Fangeinrichtung oder der Potentialausgleichsschiene sicher in die Erde abzuleiten.
- Als Nullung bezeichnet man eine bestimmte Art der elektrischen Verdrahtung, bei der der Neutralleiter (leitet den Summenstrom zum Trafo-Sternpunkt zurück) zugleich als Schutzleiter (leitet Fehlerströme in die Erde ab) verwendet wird. Anstatt einen separaten gelb-grünen Schutzleiter zu haben, wird dabei der Neutralleiter für die Schutzerdung verwendet. Selbstverständlich kommen auch bei Nullung FI-Schutzschalter zum Einsatz. Moderne elektrische Installationen erfordern jedoch eine getrennte Verlegung von Neutralleiter und Schutzleiter.
- Der Anlagenschutz eines Haushalts erfolgt entweder durch
- Nullung und einen FI-Schutzschalter mit einem Fehlerstrom von z.B. 0,03A je Stromkreis, oder durch
- Schutz durch selektive FI-Schalter. Ist der Schutz einer Anlage selektiv ausgeführt, verwendet man einen FI-Schutzschalter mit einem Fehlerstrom von z.B. 0,03A je Stromkreis und einem zusätzlichen FI-Schutzschalter mit einem Fehlerstrom von z.B.: 0,1A, der dann die gesamte Anlage abschaltet, wenn die stromkreis-spezifischen FI-Schutzschalter versagen.
Außenleitergrößen und Stranggrößen bei Dreieckschaltung
Bei der Dreieckschaltung werden die Spulenanschlüsse der Spulen direkt mit einander verbunden. Dadurch entsteht ein Dreileitersystem, mit den Leiterbezeichnungen L1, L2. L3 und ein Spannungssystem, da es keinen Neutralleiter gibt.
\(\eqalign{ & \overrightarrow U = \overrightarrow {{U_L}} = \overrightarrow {{U_{12}}} ; \cr & \overrightarrow {{I_{12}}} = \sqrt 3 \cdot {\overrightarrow I _L}; \cr}\)
- Außenleiterspannungen sind so groß wie die Strangspannungen
- Außenleiterströme sind um den Wert \(\sqrt 3 \) höher als die Strangströme
400 V Netz bei Dreieckschaltung bedeutet also:
- Verkettete Spannung = Spannung zwischen je zwei Außenleitern = 400 V
Phasenlage von Strom und Spannung im Wechselstromkreis
Unter der Phasenlage versteht man die unterschiedlichen Zeitpunkte der Nulldurchgänge von 2 Sinusschwingungen (Strom u. Spannung), obwohl sie die gleiche Frequenz (50 Hz) haben. Die Phasenverschiebung wird als Winkel angegeben, wobei einer vollen Periode der Winkel von 360° bzw. \(2\pi\) entspricht.
Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung im Wechselstromkreis
Der Phasenverschiebungswinkel \(\varphi\) ist ein Maß für den zeitlichen Abstand der Nulldurchgänge von Spannung und Strom.
\(\eqalign{ & {\varphi _{Str}} = {\varphi _{u,\,Str}} - {\varphi _{i,\,Str}}; \cr & \varphi = {\varphi _u} - {\varphi _i}; \cr}\)
- \(\varphi = 0^\circ\) Ohmscher Widerstand: Spannung und Strom liegen in Phase
- \(\varphi = 90^\circ\) Induktivität: Spannung eilt dem Strom um 90° voraus
- \(\varphi = - 90^\circ\) Kapazität: Spannung eilt dem Strom um 90° nach
Ohmscher Widerstand
Beim ohmschen Widerstand sind Strom und Spannung sind in Phase. Der komplexe Widerstand ZR hat nur einen Realteil aber keinen Imaginärteil
\(\eqalign{ & \dfrac{u}{R} = i \cr & {Z_R} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = R \cr & U{e^{j0}} = R{e^{j0}} \cdot I{e^{j0}} \cr} \)
Induktiver Widerstand
Beim induktiven Widerstand elt der Strom der Spannung nach. Die Spannung ist proportional zur Änderung der Stromstärke. Eine ideale Spule (R=0) bewirkt, dass die Spannung dem Strom um \(\dfrac{\pi }{2} = 90^\circ\) voreilt. Der komplexe Widerstand XL wird auf der positiven imaginären Achse aufgetragen.
\(\eqalign{ & \dfrac{{\underline u }}{L} = \dfrac{{di}}{{dt}} = \widehat i \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)}} \cdot j\omega = \underline i \cdot j\omega \cr & {Z_L} = {X_L} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = j \cdot \omega L = \omega L \cdot {e^{j\dfrac{\pi }{2}}} = \omega L \cdot {e^{j90^\circ }} \cr & U{e^{j0}} = \omega L{e^{j\varphi }} \cdot I{e^{ - j\varphi }} \cr} \)
Kapazitiver Widerstand
Beim kapazitiven Widerstand eilt der Strom der Spannung vor. Die Stromstärke ist proportional zur Änderung der Spannung. Ein idealer Kondensator (\(R = \infty \)) ) bewirkt dass die Spannung dem Strom um \(- \dfrac{\pi }{2} = - 90^\circ\) nacheilt. Der komplexe Widerstand XC wird auf der negativen imaginären Achse aufgetragen.
\(\eqalign{
& \dfrac{{\underline i }}{C} = d\frac{{du}}{{dt}} = \widehat u \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _U}} \right)}} \cdot j\omega = \underline u \cdot j\omega \cr
& {Z_C} = {X_C} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = \dfrac{1}{{j\omega C}} = - j\dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{\omega C}} \cdot {e^{ - j\dfrac{\pi }{2}}} = \dfrac{1}{{\omega C}} \cdot {e^{ - j90^\circ }} \cr
& U{e^{j0}} = \dfrac{1}{{\omega C}}{e^{ - j\varphi }} \cdot I{e^{j\varphi }} \cr} \)
Gravitation
Quantenfeld | Gravitationsfeld |
Austauschteilchen - Quant | Graviton (postuliert!) |
Ladung | neutral |
Spin - Eigendrehimpuls des Quants | s=2 - Tensorboson |
Reichweite | unendlich, nicht abschirmbar |
Masse | m=0 |
Relative Stärke (im Vergleich zur starken WW) | 10-41 |
wirkt auf | Quarks, Leptonen, Neutrinos und auf die hypothetische dunkle Materie |
Kraft | Anziehungskraft |
Theorie | Allgemeine Relativitätstheorie |
Die Gravitation wird in der Allgemeinen Relativitätstheorie erfolgreich beschrieben. Um auch die Quantentheorie einzubetten müsste man zunächst noch das Graviton als postuliertes Quant der Gravitation nachweisen und eine Theorie der Quantengravitation entwickeln.
Masse (gemäß Newton und Einstein)
Masse ist eine inhärente Eigenschaft eines Teilchens, wobei es aber auch masselose Teilchen gibt, die sich dann aber mit Lichtgeschwindigkeit bewegen müssen. Beschrieben wird sie in der Allgemeinen Relativitätstheorie
Masse (gemäß Higgs)
Masse ist keine Eigenschaft eines Teilchens, sonder das Resultat der elektroschwachen Wechselwirkung zwischen dem Teilchen über ein Higgs-Boson mit dem Higgs-Feld. Beschrieben wird sie im Standardmodell der Elementarteilchen, welches eine Quantentheorie ist.
Theorie der Quantengravitation
Obwohl das Graviton als Quant der Gravitation noch nicht nachgewiesen werden konnte, kann man sagen, dass es die Ruhemasse Null und den Spin = 2 haben muss. Versuche die Gravitation in die Quantentheorie einzubinden bedienen sich einer Supersymmetrie und erweitern die 4-dimensionale Raumzeit Einsteins auf 10 Dimensionen, wobei die 6 zusätzlichen Dimensionen klein und spiralförmig aufgewickelt und somit nicht experimentell erfassbar sind. Eventuell können mit Hilfe der Theorie der Quantengravitation so auch die rätselhafte Dunkle Energie und die Dunkle Materie erklärt werden.
Aufgaben
Aufgabe 221
Leistungsberechnung im Wechselstromkreis
Berechne für \(u\left( t \right) = U \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)\) und für \(i\left( t \right) = I \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)\) den Wirk- und den Blindleistungsanteil und interpretiere deren Mittelwerte.
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Aufgabe 245
Fourier Analyse einer \(2\pi \) periodischen Rechteckspannung
Gegeben ist folgende Rechteckspannung
\(u\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { + U\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,0 < t < \dfrac{T}{2}}\\ { - U\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,\dfrac{T}{2} < t < T} \end{array}} \right.\)
Aufgabenstellung:
Ermittle für obige Rechteckspannung die zugehörige Fourierreihe
Aufgabe 255
In einem Einfamilienhaus soll der Bezug von Strom und Gas aus dem öffentlichen Netz durch den Einsatz von Wärmepumpen und Photovoltaikanlagen reduziert werden.
1. Teilaufgabe:
Die spezifische Wärmekapazität von flüssigem Wasser beträgt \(4,190\dfrac{{kJ}}{{kg \cdot K}}\). Es soll ein 270 Liter Brauchwasserboiler eingesetzt werden. Das zufließende Wasser aus der öffentlichen Wasserleitung hat eine Temperatur von 7°C, das Brauchwasser (Abwasch, Dusche, Bad,...) soll 45°C haben.
Berechne, wie viel Energie in kWh pro Jahr erforderlich sind, um das Wasser zu erwärmen.
2. Teilaufgabe:
- Eine kWh Gas kostet inkl. MWST 4,8374 Cent bzw. 0,0484 €.
- Eine kWh Nachtstrom kostet inkl. MWST 14,21 Cent bzw. 0,1421 €
- Eine kWh Tagstrom kostet inkl. MWST 17,20 Cent bzw. 0,1720 €
Berechne die jährlichen Energiekosten des Brauchwasserboilers für jede der 3 Heizformen.
3. Teilaufgabe:
An dem Brauchwasserboilder soll eine Luft-Luft Wärmepumpe angebracht werden, die dem Raum Wärme entzieht und damit das Brauchwasser erwärmt. Die Brauchwasser-Wärmepumpe hat einen Effizienzfaktor COP = 3. D.h. sie nimmt 500 W elektrische Leistung aus dem Stromnetz auf und erzeugt 1.500 Heizleistung.
Berechne die jährlichen Stromkosten für den Betriev der Brauchwasser-Wärmepumpe.