Grundlagen der Elektrotechnik
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Formeln
Elektrische Leistung im Wechselstromkreis
Bei sinusförmigem Verlauf von Strom i(t) und Spannung u(t), die gegen einander im den Winkel φ phasenverschoben sind, muss man einen zeitlich konstanten Mittel- bzw. Effektivwert der Wechselstrom-Wirkleistung P und der Wechselstrom-Blindleistung Q separat angeben. Da P und Q um 90° phasenverschoben sind, kann man sie grafisch gemäß dem Pythagoräischen Lehrsatz zur Wechselstrom-Scheinleistung S addieren.
\(\begin{array}{l} P = U \cdot I \cdot \cos \varphi \\ Q = U \cdot I \cdot \sin \varphi \\ S = \sqrt {{P^2} + {Q^2}} = U \cdot I \end{array}\)
P | Wirkleistung in W (Watt) |
Q | Blindleistung in var (Volt-Ampere reaktiv) |
S | Scheinleistung in VA (Volt-Ampere) |
Für die zeitabhängige Scheinleistung ergibt sich
\(s\left( t \right) = u\left( t \right) \cdot i\left( t \right) = P \cdot \left[ {1 + \cos \left( {2\omega t} \right)} \right] - Q \cdot \sin \left( {2\omega t} \right)\)
(Details zur Herleitung siehe Lösungsweg zur Aufgabe 221)
Interpretation:
- Beide Terme haben jeweils die halbe Periode bzw. die doppelte Frequenz von u(t) bzw. i(t)
- Der 1. Term \(P\left[ {1 + \cos \left( {2\omega t} \right)} \right]\) schwingt um P und hat die Amplitude 2P. Über die Zeit wird physikalische Energie übertragen.
- Der 2. Term \(Q \cdot \sin \left( {2\omega t} \right)\) schwingt um 0 und hat die Amplitude Q. Der Mittelwert dieser Komponente ist Null. Es handelt sich um eine reine Pendelleistung, die nur die Leitungen belastet, die aber über die Zeit nichts zum Energietransport beiträgt. Energie wird in (Induktivitäten und Kapazitäten gegengleich) in einer Viertelperiode eingespeichert und in der nächsten Viertelperiode wieder abgegeben.
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Erster kirchhoffscher Satz bzw. Knotenregel
Der erste kirchhoffsche Satz beschreibt die Beziehung zwischen den zu- bzw. den abfließenden Strömen an einem Knotenpunkt. Ein Knotenpunkt ist ein Stromverzweigungspunkt, also eine Stelle in einem elektrischen Netzwerk, wo sich mehrere Leiter des Stromkreises verzweigen, um an anderen Stellen wieder zusammen zu führen und insgesamt einen geschlossenen Stromkreis bilden.
2 Formulierungen für die Beziehung zwischen den einzelnen Strömen: In jedem Knotenpunkt ist zu jedem Zeitpunkt
- die Summe der zufließenden Ströme ist gleich der Summe der abfließenden Ströme
\(\sum {{I_{zu}}} = \sum {{I_{ab}}}\)
- die Summe aller zu- und abfließenden Ströme ist gleich Null
\(\sum I = 0\)
Illustration vom 1. kirchhoffschen Satz
Für den Knotenpunkt ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & {I_1} + {I_2} = {I_3} + {I_4} + {I_5} \cr & {I_1} + {I_2} - {I_2} + {I_4} - {I_5} = 0 \cr} \)
Zweiter kirchhoffscher Satz bzw. Maschenregel
Der zweite kirchhoffsche Satz beschreibt die Beziehung zwischen den Spannungen entlang einer Masche. Eine Masche ist jeder geschlossene Stromkreis innerhalb eines elektrischen Netzwerks. Den Umlaufsinn der Masche kann man willkürlichwählen, z.B. im Uhrzeigersinn, danach gilt aber die verbindliche Regel, dass alle Spannungen im zuvor festgelegten Umlaufsinn ein positives Vorzeichen und alle Spannungen entgegen dem Umlaufsinn ein negatives Vorzeichen erhalten. Wäre dem nicht so, wäre die erzeugte Energie \(W = Q \cdot U\) nicht gleich groß der verbrauchten Energie, was auf Grund vom Energieerhaltungssatz nicht sein kann.
In jedem Stromkreis bzw. in jeder Masche eines Stromkreises, ist die Summe aller Spannungen gleich Null. In einem Stromkreis ist die Summe der Quellenspannungen (Batterie) gleich der Summe aller Spannungsabfälle (an den Widerständen)
\(\sum U = 0\)
Illustration vom 2. kirchhoffschen Satz
Für die zwei inneren und die äußere Masche ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & {U_1} + {U_2} - U = 0 \cr & {U_3} - {U_2} = 0 \cr & {U_1} + {U_3} - U = 0 \cr} \)
Bei der Berechnung elektrischer Netze sind Widerstände mitunter so angeordnet, dass man sie gemäß den Regeln für Serien- bzw. Parallelschaltungen nicht auf einen einzelnen Ersatzwiderstand umrechnen kann. In solchen Fällen kann die Dreieck-Stern-Transformation bzw. die Stern-Dreieck-Transformation helfen.Das Zielnetzwerk und das Ausgangsnetzwerk sollen gleiches Klemmenverhalten haben. D.h.: Misst man den Widerstand an einem beliebigen Klemmenpaar, so gibt es keinen Unterschied zwischen den beiden Schaltungen. Nachfolgende Transformationen macht natürlich nur dann Sinn, wenn anschließend das gesamte Netzwerk einfacher zu berechnen ist.
Stern-Dreieck-Umwandlung
Es soll die gegebene Sternschaltung in eine äquivalente Dreieckschaltung umgerechnet (transformiert) werden. Aus den Widerständen einer gegebenen Sternschaltung kann man wie folgt die Ersatzwiderstände einer Dreieckschaltung berechnen.
Dreieckswiderstand = \(\dfrac{{{\text{Produkt der Anliegerwiderstände}}}}{{{\text{gegenüberliegenden Widerstand}}}}\)+ Summe der Anliegerwiderstände
Dreieck-Stern-Umwandlung
Es soll die gegebene Dreieckschaltung in eine äquivalente Sternschaltung umgerechnet (transformiert) werden. Aus den Widerständen einer gegebenen Dreieckschaltung kann man wie folgt die Ersatzwiderstände einer Sternschaltung berechnen.
\(\eqalign{ & {R_1} = \dfrac{{{R_{12}} \cdot {R_{31}}}}{{{R_{12}} + {R_{31}} + {R_{23}}}} \cr & {R_2} = \dfrac{{{R_{12}} \cdot {R_{23}}}}{{{R_{12}} + {R_{31}} + {R_{23}}}} \cr & {R_3} = \dfrac{{{R_{31}} \cdot {R_{23}}}}{{{R_{12}} + {R_{31}} + {R_{23}}}} \cr} \)
Merkregel
Sternwiderstand = \(\dfrac{{{\text{Produkt der Anliegerwiderstände}}}}{{{\text{Summe der Dreieckswiderstände}}}}\)
Darstellung einer Sternschaltung bzw. deren alternative Darstellung als eine T-Schaltung
Darstellung einer Dreieckschaltung bzw. deren alternative Darstellung als eine π-Schaltung
Elektrische Leistung
Die elektrische Leistung ist das Produkt aus Strom und Spannung. Ihre Einheit ist das Watt. Sie wächst sowohl proportional zum Quadrat der Stromstärke, als auch proportional zum Quadrat der Spannung. Einem Verbraucher wird dann eine elektrische Leistung von 1 Watt zugeführt, wenn er von einem Strom in Höhe von 1A durchflossen wird und an seinen Klemmen eine Spannung von 1V abfällt.
\(P = \dfrac{W}{t} = I \cdot U = \dfrac{{{U^2}}}{R} = {I^2} \cdot R\)
Inwieweit diese zugeführte elektrische Leistung etwa an einem Motor in mechanische Leistung an der Welle des Motors umgewandelt werden kann, hängt vom elektrischen (Eisen- und Kupferverluste) und vom mechanischen (Reibung) Wirkungsgrad des Motors ab.
Watt W
Watt W ist die Einheit der Leistung P. Das Watt ist ein Maß für die Änderung von Energie bzw. Arbeit pro Zeitintervall.
\(\left[ P \right] = W = \dfrac{J}{s} = V \cdot A\)
Leitungsverluste
Unter den - natürlich unerwünschten - Leitungsverlusten eines elektrischen Netzes versteht man die Verluste zufolge des Widerstands der Zu- und Ableitung, da die realen Stromleiter einen Widerstand größer als Null haben und somit unerwünschte Wärme abgeben. Man berechnet die Leitungsverluste wie folgt
\(\eqalign{ & U = I \cdot R \cr & P = U \cdot I \cr & {P_{Verl}} = \left( {I \cdot {R_{Ltg}}} \right) \cdot I = {I^2} \cdot {R_{Ltg}} \cr} \)
Man erkennt, dass die Verlustleistung entlang einer Leitung mit dem Quadrat des Stroms wächst. Bei gegebenem Leitungswiderstand RLtg resultieren aus einer Verdoppelung des Strom die vierfachen Leitungsverluste PVerl.
Die Leitungsverlusten sind auch der Grund warum sich der Gleichstrom in der elektrischen Energieübertragung nicht durchgesetzt hat, sonder der Wechsel- bzw. Drehstrom die Energieübertragung beherrschen. In elektrischen Netzen, die dem Energietransport vom Erzeugern (Kraftwerk) zum weit entfernten Verbraucher dienen, transformiert man nämlich die Drehstrom-Klemmenspannung des Generators in einem unmittelbar neben dem Generator befindlichen Trafo z.B. um das 10-fache nach oben, wodurch der Strom, der tatsächlich durch die viele Kilometer lange Leitung zum Verbraucher fließt, auf ein Zehntel sinkt, womit wiederum die Verlustleistung entlang der Leitung auf ein Hundertstel sinkt. Beim Verbraucher muss man die Spannung wieder runter transformieren, damit sie für dessen Motoren verwendbar wird.
Auf der einen Seite hat man die Kosten für 2 Trafos und die gestiegenen Isolationskosten zufolge der Hochspannung auf der Leitung, auf der anderen Seite hat man die Ersparnis durch die quadratische Absenkung der Leitungsverluste.
Eine Reduktion des Leiterwiderstands RLtg durch eine Erhöhung des Leiterquerschnitts wirkt nur linear und nicht quadratisch wie die Reduktion vom Strom und ist zufolge der Kupferkosten sowie der Kosten zufolge der mit dem Leitergewicht gestiegenen mechanischen Anforderungen an die Leitungsmaste, nur bis zu einem gewissen Leiterdurchmesser sinnvoll.
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Elektrische Arbeit bzw. elektrische Energie
Die elektrische Arbeit, bzw. die bezogene elektrische Energie ist das Produkt aus Spannung, Stromstärke und Zeit. Somit ist sie auch das Produkt aus Leistung und Zeit. Ihre Einheit ist die Wattstunde Wh, das Tausendfache ist die kWh.
\(W = Q \cdot U = I \cdot U \cdot t = P \cdot t = \dfrac{{{U^2}}}{R} \cdot t = {I^2} \cdot R \cdot t\)
Beispiel zum Zusammenhang Leistung, Arbeit, Energie, Energiekosten:
Eine 60 W Glühlampe leuchtet 10 Stunden lang, dann beträgt die bezogene Energie \(W = 60W \cdot 10h = 600Wh = 0,6kWh\)
Damit ein Haushalt 0,6 kWh an elektrischer Energie beziehen kann, muss in einem Kraftwert eine Turbine eine mechanische Arbeit von 0,6 kWh erbringen, indem sie den Rotor vom Stromgenerator dreht. Damit die Turbine ihrerseits diese Arbeit erbringen kann, muss z.B. eine entsprechende Menge Wasser über eine bestimmte Höhe herabfallen und zufolge Umwandlung von potentieller in kinetische Energie die Turbine drehen.
Bei 8 Cent / kWh errechnen sich die Energiekosten zu: \(0,6\,\,kWh \cdot 8\dfrac{{Cent}}{{kWh}} = 4,8\,\,Cent = 0,048\,\,\mbox{€}\)
So setzt sich die Stromrechung in Abhängigkeit von der bezogenen Energie zusammen:
Aus der bezogenen elektrischen Energie errechnet sich der jährliche Strompreis eines Haushalts wie folgt:
- Da wären einmal die Kosten für die bezogene Energie als Produkt aus dem Stromtarif in Cent pro kWh (ca. 8 Cent/kWh) und der bezogenen Energie in kWh (z.B.: 6.000 kWh pro Jahr, für ein 4 Personen 200 m² Einfamilienhaus) gemessen durch einen Zähler im Haus. Seit der Deregulierung des Strommarkts kann dieser Energielieferant "irgendwo" seinen Strom erzeugen, sogar im Ausland. Nur an diesen Kosten ändert sich etwas, wenn man den Anbieter wechselt, oder wenn man im Zuge einer Werbekampagne "Gratisstrom" bekommt.
- Dazu kommen die Kosten für die Nutzung des Stromnetzes, die in einer ähnlichen Größenordnung wie die reinen Energiekosten liegen. Das Stromnetz gehört immer dem lokalen Netzanbieter.
- Dazu kommen (in Österreich) noch die Elektrizitätsabgabe und die Ökostromförderung, die etwa im Bereich von 50% der reinen Energiekosten liegen. Mit dieser Förderung subventioniert der Stromverbraucher die Erzeugung von Ökostrom.
Kapazität eines Kondensators
Kapazität ist die Fähigkeit einer Komponente elektrische Energie in Form von elektrischer Ladung aufzunehmen und zu speichern. Die Kapazität eines Kondensators hängt von seiner Bauform ab. Die Kapazität ist direktproportional zur elektrischen Feldkonstante und zur Plattenfläche und indirekt proportional zum Plattenabstand. Über weite Strecken parallel verlaufende Leiter, etwa die Leiterseile einer Hochspannungsleitung, stellen ungewollt eine Kapazität dar, was durch Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung zur Umwandlung von gewünschter Wirk- in unerwünschte Blindleistung führt.
\(C = {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r} \cdot \dfrac{A}{d}\)
Farad F
Farad F ist die Einheit für die Kapazität C. Ein Kondensator hat 1 Farad Kapazität, wenn ihn ein Strom von 1 A innerhalb von 1 Sekunde auf eine Spannung von 1 Volt auflädt. Ein Farad ist ein sehr hoher Wert. In der Elektronik treten Kapazitäten im Bereich von Mikro- bis Pikofarad auf. Super- und Ultrakondenstoren werden in der Energietechnik, etwa in unterbrechungsfeien Stromversorgungen oder in Hybridautos, eingesetzt um hohe Leistungen (Megawatt) für sehr kurze Zeiten (wenige Sekunden) für viele Entladezyklen zur Verfügung zu stellen.
\(\left[ C \right] = F = \dfrac{{A \cdot s}}{V} = \dfrac{C}{V}\)
Reihenschaltung von Kondensatoren
Die Gesamtkapazität von in Reihe geschalteten Kondensatoren ist kleiner als die kleinste Einzelkapazität. Der Kehrwert der Gesamtkapazität ist die Summe der Kehrwerte der einzelnen Kapazitäten.
\(\eqalign{ & \dfrac{1}{{{C_{ges}}}} = \dfrac{1}{{{C_1}}} + \dfrac{1}{{{C_2}}} + ... + \dfrac{1}{{{C_n}}} \cr & \cr & n = 2 \cr & {C_{ges}} = \dfrac{{{C_1} \cdot {C_2}}}{{{C_1} + {C_2}}} \cr} \)
Parallelschaltung von Kondensatoren
Die Gesamtkapazität von parallel geschalteten Kondensatoren entspricht der Summe der Einzelkapazitäten.
\({C_{ges}} = {C_1} + {C_2} + ... + {C_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{C_i}} \)
Verhalten eines Kondensators im Gleichstromkreis
Schaltet man einen ungeladenen Kondensator im Gleichstromkreis zu, so springt der Strom im Einschaltzeitpunkt auf einen maximalen Ladestrom, der gemäß einer e-Funktion gegen Null abklingt. Umgekehrt steigt die Spannung von Null weg bis zu einem Maximalwert an. Nach diesem einmaligem Ladevorgang ist der Stromfluss erloschen und der Gleichstrom-Widerstand vom Kondensator ist so hoch, dass er den Stromkreis unterbricht. Entfernt man die Ladespannung so bleibt der Kondensator geladen (bzw. entlädt sich zufolge von Kriechströmen langsam).
Anmerkung: Obwohl wir einen Gleichstromkreis betrachten, ändern sich während des Lade- bzw. Entladevorgangs die Werte von Strom und Spannung mit der Zeit.
Induktivität einer Spule
Die Induktivität einer Spule hängt von ihrer Bauform ab. Sie ist direkt proportional zur Windungszahl N und zum (verketteten) magnetischen Fluss und indirekt proportional zur Stromstärke I.
\(L = N \cdot \dfrac{\Phi }{I} = \dfrac{\Psi }{I}\)
Henry (H)
Henry H ist die Einheit der magnetischen Induktivität L. Die magnetische Induktivität L ist eine Eigenschaft einer Spule und hängt nur von deren Bauform ab. Eine Spule hat dann eine magnetische Induktivität von 1 Henry, wenn bei einer gleichförmigen Stromänderung in Höhe von einem Ampere innerhalb einer Sekunde eine Selbstinduktionsspannung von 1 Volt induziert wird.
\(\left[ L \right] = H = \dfrac{{V \cdot s}}{A}\)
Reihenschaltung von Spulen
Die Gesamtinduktivität von in Reihe geschalteten Spulen ist gleich der Summe der einzelnen Induktivitäten
\({L_{ges}} = {L_1} + {L_2} + ... + {L_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{L_i}} \).
Parallelschaltung von Spulen
Die Gesamtinduktivität von parallel geschalteten Spulen ist kleiner als die kleinste Einzelinduktivität
\(\eqalign{ & \dfrac{1}{{{L_{ges}}}} = \dfrac{1}{{{L_1}}} + \dfrac{1}{{{L_2}}} + ... + \dfrac{1}{{{L_n}}} \cr & \cr & n = 2 \cr & {L_{ges}} = \dfrac{{{L_1} \cdot {L_2}}}{{{L_1} + {L_2}}} \cr} \)
Verhalten einer Spule im Gleichstromkreis
Wird eine Gleichspannung über einen Vorwiderstand RV an eine Spule geschaltet, so beginnt ein Strom durch die Spule zu fließen. Direkt nach dem Einschalten stellt die Spule eine Unterbrechung im Gleichstromkreis dar, die Spannung hingegen springt auf die Erregerspannung hoch.Der langsam ansteigende Strom induziert gemäß der lenzschen Regel (die bei Gleichstrom nur bei dynamischen Vorgängen anzuwenden ist) eine Spannung in der Spule, die der erregenden Spannung entgegengesetzt ist und diese letztlich kompensiert. Der Strom in der Spule steigt umso langsamer an, je größer L und je kleiner R ist. Die ideale Spule (Widerstand =0) stellt nach Abklingen der Selbstinduktion einen Kurzschluss dar, beziehungsweise steigt der reale Strom begrenzt auf \(I = \dfrac{U}{{{R_V}}}\) an. Im magnetischen Feld der Spule wird so Energie gespeichert.
Illustration vom Verlauf von Strom und Spannung während des Einschwingvorgangs nach dem Schließen eines Gleichstromkreises.
Anmerkung: Obwohl wir einen Gleichstromkreis betrachten, ändert sich während des Lade- bzw. Entladevorgangs die Werte von Strom und Spannung mit der Zeit.
Elektrische Maschinen als Bestandteile des Elektrizitätsnetzes
Das Stromnetz auch Elektrizitätsnetz genannt, ist ein System aus miteinander verbundenen elektrischen Leitungen (Freileitungen, Kabelleitungen) , Transformatoren und Schaltanlagen samt zugehörigen Zähl-, Mess- und Schutzeinrichtungen, das elektrische Energie von den Erzeugern in den Kraftwerken (Synchrongeneratoren) zu Verbrauchern (Asynchron-Motoren, Elektroheizungen) transportiert. Ziel ist die Sicherstellung der Versorgung mit elektrischer Energie auf Basis einer wirtschaftlichen, umweltschonenden und zuverlässigen Betriebsführung.
Das Stromnetz wird als 3-phasen Drehstromsystem (Bahnsysteme mit Einphasenwechselstrom) betrieben, da Gleichstrom bei energietechnischen Anwendungen wesentliche Nachteile bietet, wie keine direkte Transformierbarkeit der Spannungen und keine Nulldurchgänge zum Schalten, so wie bei Wechselgrößen.
Als Frequenzen kommen in Europa generell 50 Hz und für Bahnstromversorgungen zusätzlich auch 16,7 Hz (bei 15 kV) zum Einsatz (um in der Zeit vor der Erfindung der Leistungselektronik Funkenbildung am Stromwender der Motoren in den Lokomotiven zu reduzieren).
Elektrischen Maschinen basieren auf der magnetischen Kopplung zweier getrennter mechanischer Hauptelemente (Rotor, Stator bzw. Trafoschenkel). Sie spielen eine entscheidende Rolle in verschiedenen Anwendungen, von Industriemaschinen bis hin zu Haushaltsgeräten.
Elektrische Maschinen lassen sich in folgende Gruppen einteilen:
Art der Bewegung
- rotierende Maschinen, das trifft auf die gängigen Generatoren und Motoren zu.
- Linearmaschinen, das sind asynchrone Motoren, deren Ständer nicht ringförmig, sondern schienenförmig aufgebaut ist. Sie werden speziell in der Fördertechnik eingesetzt.
- feststehende Maschinen, das trifft auf die Transformatoren zu.
Synchronität zur Netzfrequenz
Entkoppelt von der Netzfrequenz
- Gleichstrommaschine
deren Rotor sich im Erreger-Gleichfeld dreht. Durch die Drehung des Rotors entsteht in dessen Ankerspulen eine Wechselspannung, welche über einen Kommutator (Stromwender) gleichgerichtet wird. Gleichstrommaschinen werden aufgrund ihrer hohen Drehzahlregelung und ihres guten Anfahrverhaltens häufig im Motorbetrieb in Elektrofahrzeugen wie Straßenbahnen, U-Bahnen und Elektroautos eingesetzt.
- Asynchronmaschine
deren Rotor sich im Erreger Drehfeld dreht, welches vom Stator ausgehend synchron mit dem Netz umläuft. Der Rotor dreht sich mit einer Drehzahl zwischen Null (Stillstand) und netzsynchron (Leerlauf). Belastet man den Rotor mechanisch im Motorbetrieb, so bleibt der Rotor mit zunehmender Last zunehmend hinter dem Drehfeld zurück. Die Differenz-Drehzahl wird als Schlupf bezeichnet. Die Nenndrehzahl des Drehstrommotors liegt bei etwa 1% .. 6% unterhalb der synchronen Drehzahl, also der des speisenden Netzes. Asynchronmaschinen werden überwiegend im Motorbetrieb aufgrund ihrer einfachen Konstruktion, Robustheit und Wartungsfreundlichkeit in der Industrie eingesetzt.
Synchron zur Netzfrequenz
- Synchronmaschine
es gibt keinen Schlupf. Sie läuft netzsynchron und wird daher vorwiegend als Drehstrom-Generator eingesetzt, der absolut exakt netzsynchron laufen muss.
- Trafo
auf der Primär- und Sekundärseite herrscht die Netzfrequenz.
Art der Energieumwandlung
mechanisch auf elektrisch: Generatorbetrieb
wenn Wasser nach einem Gefälle oder Dampf nach einem Heizkessel über die Schaufeln eine Turbine strömt, wodurch sich die Turbine dreht. Über eine Kupplung, also mechanisch, überträgt die Turbine diese Drehbewegung auf den Rotor des Generators. Dessen rotierender Anker induziert dann eine Spannung in den Stator, der in ein Netz einspeist und dort zugeschaltete elektrische Lasten (Motore) mit elektrischer Energie versorgt.
Die Leistungsobergrenze für Generatoren liegt hier bei 1000 MW, bei einer Generatorspannung von bis zu 27 kV und einer Drehzahl von 1500 min-1 oder 3000 min-1.
\({P_{mech}} = 2 \cdot \pi \cdot n \cdot M \approx {P_{el}} = m \cdot U \cdot I \cdot {g_1} \cdot \cos \left( \varphi \right)\)
\(\eta = \dfrac{{{P_2}}}{{{P_1}}}\)
- M mechanisches Drehmoment
- n Drehzahl der Welle
- m Strangzahl; m=1 Gleichstrommaschine
- g1 Grundschwingungsgehalt
- \(\varphi \) Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung
- \(\eta \) Wirkungsgrad
elektrisch auf mechanisch: Motorbetrieb
wenn Strom aus einem speisenden Netz durch eine Erregerwicklung fließt und sich der Rotor des Motors im Erregerfeld dreht. Der drehende Rotor kann dadurch mechanische Arbeit verrichten.
Gängige Leistungen für Asynchronmotoren gehen bis 1000 kW, die Leistungsobergrenze liegt bei 30 MW.
elektrisch auf elektrisch: Transformator
wenn eine Primär- auf eine Sekundärspannung gewandelt wird, wobei die Leistung auf beiden Seiten des Trafos – abgesehen von den unvermeidlichen, aber sehr niederen (1%) Trafoverlusten – gleich hoch ist.
Zwei Wicklungen, die denselben Eisenkern umfassen werden vom selben magnetischen Wechselfluss durchflossen.
- Dabei verhalten sich die beiden Klemmenspannungen auf der Primär- und auf der Sekundärseite proportional zu den jeweiligen Windungszahlen,
- während sich die Ströme indirekt proportional dazu verhalten. Durch den niedrigeren Strom (bei höherer Spannung) sinken die Leitungsverluste, das ist der entscheidende Vorteil von Drehstrom gegenüber von Gleichstrom!
\(\dfrac{{{N_P}}}{{{N_S}}} = \dfrac{{{u_P}}}{{{u_S}}} = \dfrac{{{i_S}}}{{{i_P}}}\)
Die Leistungsobergrenze liegt hier bei 1500 MW, deren Gewicht bei 450 t, jedoch noch ohne Ölfüllung.
Art von Strom und Spannung
- Gleichstrommaschine
- Einphasen- bzw. Wechselstrommaschine
- Mehrphasen- speziell (3-Phasen) Drehstrommaschinen
Komponenten von elektrischen Maschinen
Gehäuse
darin befinden sich die isoliert angebrachten Komponenten der elektrischen Maschine.
Isoliermaterial
um unerwünschten elektrischen Kontakt zu verhindern.
Luftspalt
trennt drehende von statischen mechanischen Komponenten, also den Rotor vom Stator.
Stromzu- bzw. -abfuhr
welche am Stator über Klemmen und am Rotor über Bürsten erfolgt. Damit man die Wicklungen der Maschine schon an den Klemmen erkennen kann, sind genormte Klemmenzeichen üblich:
- A1-A2: Anker
- E1-E2: Nebenschlusswicklung
- D1-D2: Reihenschlusswicklung
- B1-B2: Wendepolwicklung
- B1-B2: Kompensationswicklung
- F1-F2: Fremderregte Wicklung
Elektrobleche
sind einseitig isoliert und haben eine Dicke von 0,23 .. 0,6 mm, um Wirbelströme zu unterbinden, sind kaltgewalzte Dynamobleche und werden zu einem Blechpaket zusammengefügt.
Kommutator
dient der Stromwendung (Umpolung) bei
- Gleichstrom und
- Einphasen-Reihenschlussmotoren
Stator bzw. Ständer
ist die feststehende Komponente einer rotierenden Maschine.
Rotor, Anker bzw. Läufer
ist die bewegliche Komponente einer rotierenden Maschine.
Eisenkern eines Trafos
dieser dient dem Rückschluss vom magnetischen Fluss und setzt sich aus dem geblechten Joch- und den Schenkeln zusammen.
Bei den Schenkeln, welche die Primär- und Sekundärwicklungen tragen, unterscheidet man den
- Einphasen-Kern bzw. – Manteltrafo
- Drehstrom Kern-Trafo bzw. Dreischenkel und Fünfschenkel-Kerntrafo.
Erregerwicklung
welche das Erreger- oder Hauptfeld erzeugt.
Ankerwicklung
entsteht durch das elektrische Zusammenschließen der einzelnen in den Ankernuten liegenden Ankerspulen, die ihrerseits aus mehreren Windungen bestehen.
Trafowicklungen
bei deren Aufbau man zwischen Zylinder- und Scheibenwicklung unterscheidet.
- Bei der Zylinderwicklung liegt innen die Unterspannung und außen die Oberspannung
- Bei der Scheibenwicklung liegen die Unter- und Oberspannungswicklungen abwechselnd entlang von den Schenkeln verteilt.
Es gibt beim Drehstromtrafo verschiedene Möglichkeiten – Schaltgruppe genannt - jeweils die Unter- und die Oberspannungswicklungen elektrisch zu einem Drehstromsystem zu verbinden: Stern-, Dreieck oder Zickzack-Schaltung, wobei sich die Unter- und die Oberspannungsseite oft nach der Schaltgruppe unterscheiden.
Für die zahlenmäßig häufigsten Energietrafos, die Verteilnetztrafos, ist Dyn 5 die Standard-Schaltgruppe. Dabei gibt es
- D: auf der Oberspannung eine Dreieckschaltung,
- y: auf der Unterspannung eine Sternschaltung
- n: samt herausgeführtem Neutral- oder Sternpunktsleiter und
- 5: die Phasenverschiebung zwischen Ober- und Unterspannung beträgt
Will man das Übersetzungsverhältnis eines Trafos ändern, kann das
- im spannungslosen Zustand, durch die Änderung der Windungsanzahl bei herausgeführten Spulenanzapfungen
- unter Spannung, mittels eines regelbaren Ortsnetztrafos (RONT) erfolgen. Benötigt werden RONTs vor allem bei Lastflussveränderungen durch regenerative Erzeuger und durch Spannungsband-Verletzungen bei Leitungen zu abgelegenen Verbrauchern.
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Maschinen, deren Erregerfeld ein Gleichfeld ist
Dieses Wirkungsprinzip kommt für
- Gleichstrommaschinen
- Einphasen-Reihenschluss-Universalmotoren, können mit Gleich- aber auch mit Wechselstrom gespeist werden, da auf Grund der Serienschaltung, Anker und Erregerstrom gleichphasig sind.
zur Anwendung.
Stator bzw. Ständer
ist die feststehende Komponente einer rotierenden Maschine. Der Stator der Gleichstrommaschine besteht aus (geblechtem) Stahl und setzt sich aus dem Jochring und den Hauptpolen zusammen.
Jochring
dient als Rückschluss für den magnetischen Fluss. Am Innenumfang des Jochrings befinden sich entweder
- die Haupt- oder Erregerpole, oder alternativ
- Permanentmagnete
von denen, die zum Aufbau des Erregerfeldes, erforderliche Durchflutung ausgeht.
Erregerwicklung
Ein Hauptpol setzt sich aus einem Polkern und einem Polschuh zusammen. Die Erregerwicklung sitzt am Polkern. Die Erregerwicklung kann auf folgende Arten mit Erregerstrom, der natürlich ein Gleichstrom ist und ein Erreger-Gleichfeld erzeugt, gespeist werden:
- Fremderregt, mittels einer separaten Gleichstrom-Spannungsquelle
- Eigenerregt, bei Maschinen, die über einen Restmagnetismus zum Anlauf verfügen, man unterscheidet
- Nebenschluß: Die Erregerwicklung liegt parallel zur Ankerwicklung
- Hauptschluß: Die Erregerwicklung liegt in Serie zur Ankerwicklung und wird somit vom Ankerstrom durchflossen
- Doppelschluß: Die Maschine besitzt eine Nebenschluß- und eine Hauptschlußwicklung.
Pollücken
In den Pollücken, zwischen den Hauptpolen, befinden sich meistens Wendepole, die in Serie zum Anker geschaltet sind.
Kompensationswicklung
In den Hauptpolschuhen kann sich eine, ebenfalls mit dem Anker in Serie geschaltete, Kompensationswicklung befinden.
Polpaarzahl
Leistungsstärkere Maschinen haben nicht nur 2 Hauptpole, sondern verteilt am Ankerumfang p Polpaare, wobei „p“ die Polpaarzahl ist.
- Je Polpaar schleift eine Plus- und eine Minusbürste am Kommutatorumfang entlang, wobei gleichnamige Bürsten miteinander verbunden sind. Die Bürsten befinden sich in der geometrisch neutralen Zone.
Lager, zur Aufnahme des Ankers
An den Stirnseiten des Ständers sind Lager befestigt, in denen sich der Anker drehen kann.
Bürsten
Am Stator der Gleichstrommaschine sind Halter so angebracht, dass Kohlebürsten mit verstellbarem Druck auf der Umfangsfläche des Stromwenders gleiten können. Die Bürsten stehen in der Mitte zwischen zwei ungleichnamigen Magnetpolen.
Wendepole
Um die Ankerrückwirkung im Bereich zwischen den Polen aufzuheben, gibt es bei Gleichstrommaschinen ab 1 kW Leistung, die Wendepole, die sich mittig zwischen den am Stator befestigten Hauptpolen, in der sogenannten Pollücke, befinden. Die Wendepole tragen eine mit der Ankerwicklung in Reihe geschaltete Wendepolwicklung. Eine zu stark bemessene Wendepolwicklung führt zu Frühwendung oder Überkommutierung. Im Motorbetrieb führt dies zu einer Feldschwächung, der zufolge die Drehzahl steigt, was zu Lasten der Stabilität des Motors geht.
Kompensationswicklung
Gleichstrommaschinen ab 100 kW haben in den Hauptpolschuhen, unmittelbar gegenüber dem Anker, noch eine Kompensationswicklung zwecks Unterdrückung der Ankerrückwirkung im Bereich direkt unter den Polschuhen. Diese Kompensationswicklung ist wie auch die Wendepolwicklung in Serie zum Anker geschaltet.
Die vollendetste Form der Gleichstrommaschine ist also jene mit einer Kompensationswicklung und Wendepolen. Die Kompensationswicklung unterdrückt die Luftspaltfeldverzerrung unter den Polschuhen und die Wendepole heben das Ankerquerfeld in der geometrisch neutralen Zone auf und erzeugen überdies ein für eine gute Stromwendung notwendiges Wendefeld.
Anker
Der Anker besteht aus geschichteten zylinderförmigen Dynamoblechen. In dessen Außenumfang liegen in Nuten eingebettet, die Ankerspulen. Am Ende des Ankers sitzt der Kommutator als Stromwender. Der Ausdruck „Anker“ wird vorwiegend bei bürstenbehafteten Maschinen verwendet, bei denen es eine elektrische Leitungsverbindung von außen zum sich drehenden Anker gibt, sonst spricht man eher vom Läufer.
Jede Spule ist jeweils am Anfang und am Ende an eine separate Stromwenderlamelle des Kommutators durch Hartlöten angeschlossen. Als Teil des Ankers dreht sich der Kommutator samt seinen Lamellen und den damit fest verbundenen Spulen.
Kommutierung
Stromwendung ist bei bürstenbehafteten Gleichstrommaschinen erforderlich, damit der Stromfluss im sich drehenden Anker so umgeschaltet wird, dass das Ankerfeld den Rotor beständig in dieselbe Richtung antreibt. Der Verlauf, der in der Ankerwicklung induzierten Spannung und somit auch des Stroms eines Gleichstromgenerators ist \( + \to 0 \to - \to 0 \to + \) und somit eine Wechselspannung! Diese Wechselspannung in der Ankerwicklung wird durch Kommutator und Bürsten mechanisch gleichgerichtet. Um eine möglichst glatte Spannung im Generatorbetrieb zu erzielen, bringt man auf dem Anker möglichst viele Spulen an. Ihrer Anzahl ist jedoch durch die Lamellenbreite des Kommutators eine Grenze gesetzt.
Als Kommutierungszeit bezeichnet man jene Zeit, die der Strom zur Richtungsumkehr hat, also während die Bürste die Spule kurzschließt. Sie ergibt sich aus dem Quotienten von Bürstenbreite und Kommutatorumfangsgeschwindigkeit. Falls zu dem Zeitpunkt, zu dem der Schlitz zwischen benachbarten Kommutatorstegen den Bereich der Bürste verlässt, der Strom noch nicht vollständig kommutiert ist, wird dies nun durch einen Lichtbogen zwischen ablaufender Bürstenkante und Kommutatorsegment erzwungen, wodurch die Gefahr eines Bürstenrundfeuers entsteht.
Windung, Spule und Wicklung
Jede Ankerspule kann aus mehreren Windungen bestehen. Jede Spule erfordert 2 Nuten, eine für die Hin- und eine für die Rückleitung. Die einzelnen Spulen werden aber nicht nur an deren Anfang und Ende je an eine Kommutatorlamelle angeschlossen, sondern zudem spulenseitig zu Wicklungen zusammengeschlossen.
Man unterscheidet zwischen Trommel-, Schleifen- und Wellenwicklung.
- Bei der Schleifenwicklung wird das Ende einer Spule mit dem Anfang der unmittelbar benachbarten Spule verbunden. D.h. das Ende der einen Spule und der Anfang der benachbarten Spule teilen sich ein und dieselbe Stromwenderlamelle. Bei der Schleifenwicklung liegt eine Spule zwischen benachbarten Stromwenderlamellen.
- Bei der Wellenwicklung wird das Ende einer Spule mit dem Anfang jener Spule verbunden, die sich gleichliegend unter dem nächsten Polpaar befindet. So wird durch nur p Spulen, mit p = Polpaarzahl, ein kompletter Ankerumlauf zurückgelegt. Das Ende der p-ten Spule darf aber nicht mit mit jener Stromwenderlamelle zusammentreffen, an die der Anfang der ersten Spule angeschlossen wurde, da es sonst es einen Kurzschluss gibt, sondern muss um eine Lamelle versetzt sein. Bei der Wellenwicklung liegen p Spule zwischen benachbarten Stromwenderlamellen.
Ankerrückwirkung
Der Ankerstrom erzeugt ein – unerwünschtes – Ankerfeld, dessen Achse senkrecht zur Hauptfeldrichtung liegt. Daher spricht man auch von einem Ankerquerfeld bzw. von Ankerrückwirkung, da durch die Überlagerung des Ankerquerfeldes, mit dem Erregerfeld der Hauptpole, eine Feldverzerrung entsteht. (Gegenmaßnahme: Kompensationswicklung)
Durch die Überlagerung vom Ankerquerfeld mit dem Erregerfeld wird das aus den beiden Feldern resultierende Hauptfeld
- an auflaufenden Polkante verstärkt, wodurch es, zufolge magnetischer Sättigung, zu einer Feldschwächung gegenüber Leerlauf kommt.
- an der ablaufenden Polkante geschwächt, wodurch es ebenfalls zu einer Feldschwächung gegenüber Leerlauf kommt.
Neutrale Zone und Bürstenverschiebung
Zufolge der Ankerrückwirkung kommt es zu einer Verschiebung der neutralen Zone, also von jenem Wicklungsteil des Ankers, in dem keine Spannung induziert wird und wo die Bürsten stehen müssen, damit es zu keinem Bürstenfeuer kommt. Übersteigt die Spannung 35 V, zwischen benachbarten Stegen des Stromwenders, so kann es sogar zu Rundfeuer kommen, also zu einem Lichtbogen zwischen Bürsten unterschiedlicher Polarität, wodurch das Netz kurzgeschlossen wird. (Gegenmaßnahme: Wendepole)
Bei Maschinen ohne Wendepole ist deshalb eine Bürstenverschiebung erforderlich, um die Bürsten wieder in die neutrale Zone zu bringen. Leider entspricht einer bestimmten Last auch eine bestimmte Bürstenstellung, sodass die Stromwendung bei geringer Last beschleunigt und bei größerer Last verzögert wird. Eine Bürstenverschiebung eignet sich daher nicht für Maschinen mit veränderlicher Belastung.
Beim Generator muss man die Bürsten in Drehrichtung und beim Motor gegen die Drehrichtung des Ankers verschieben. Dies kann zu falschen Bürstenstellungen beim Reversierbetrieb führen.
Eine Gleichstrommaschine kann ohne Umbau als Motor oder als Generator betrieben werden.
Gleichstrommaschine als Motor
Im Motorbetrieb wird der Gleichstrommaschine ein Ankerstrom über die feststehenden Bürsten und die Kollektorlamellen zugeführt. Wenn zeitgleich ein magnetischer Fluss der Hauptpole am Stator vorhanden ist, d.h. wenn die Hauptpolspulen (=Feldspulen) von einem Erregerstrom durchflossen werden, so entsteht durch den in der Ankerwicklung fließenden Strom eine Lorentzkraft, der zufolge sich der Rotor gemäß der Rechte-Hand-Regel dreht. Der aus Bürsten und Kollektor bestehende Stromwender sorgt dafür, dass die umlaufenden Ankerwicklungen den Strom so zugeführt bekommen, dass ein größtmögliches Drehmoment entsteht.
Befindet sich ein stromdurchflossener Leiterdraht in einem Magnetfeld, so ist die Höhe der Lorentzkraft FL proportional zur Stromstärke i die durch den Leiter fließt, zur Länge s des stromdurchflossenen Leiters und zur magnetischen Flussdichte B, welche die Stärke des Magnetfeldes an einem bestimmten Punkt im Luftspalt und in eine bestimmte Richtung beschreibt.
\(\overrightarrow {{F_L}} = i \cdot \mathop \smallint \limits_0^l \left( {d\vec s \times \vec B} \right) = i \cdot \left( {\vec l \times \vec B} \right)\)
Gleichstrommaschine als Generator
Im Generatorbetrieb wird dem Läufer Rotationsenergie von einer gekuppelten (Wasser- / Dampf-) Turbine zugeführt, wodurch der Anker mechanisch gedreht wird. Die in den Ankernuten befindlichen Spulen schneidet beim Rotieren die von den auf dem Ständer sitzenden Hauptpolen erzeugten Feldlinien des Erregerfeldes, wodurch in den Ankerspulen eine Wechselspannung induziert wird.
Durch den Einsatz eines Kommutators kann aus dieser Wechselspannung eine pulsierende Gleichspannung erzeugt werden.
Schaltet man die einzelnen Ankerspulen hingegen zu Ankerwicklungen zusammen, werden die Schwankungen der induzierten Gleichspannung geringer.
Bewegungsinduktion eib - Spule bewegt sich
Durch die Bewegung der Ankerspule in einem konstanten Erreger-Magnetfeld B wird, zufolge der auf die beweglichen Ladungsträger des Leiters ausgeübte Lorentzkraft, eine Urspannung induziert. Das Linienintegral zwischen 2 Klemmen einer Leiterschleife heißt „induzierte Urspannung zufolge der Bewegung“. Sie entsteht, wenn das Magnetfeld B konstant bleibt, und sich darin eine Spule bewegt
\({e_{ib,12}} = \mathop \smallint \limits_1^2 {E_b}\,ds = \mathop \smallint \limits_1^2 \left( {\vec v \times \vec B} \right)\,\,ds\)
Man unterscheidet Gleichstrommaschinen dadurch, wie der Strom durch die Anker- und die Hauptpolwicklung fließt.
Reihenschlussmaschine
Bei einer Reihenschluss- oder Hauptschlussmaschine sind die Anker- und die Hauptpolwicklung in Serie geschaltet. D.h. derselbe Strom fließt zuerst durch die Ankerwicklung und danach durch die Hauptpolwicklung. Die Reihenschlussmaschine hat als Generator die entgegengesetzte Drehrichtung zum Motorbetrieb. Damit beim Reversierbetrieb die Drehrichtung beibehalten wird, muss die Maschine umgeklemmt werden. Reihenschlussmaschinen haben ein hohes Anlaufmoment und eignen sich daher z.B. für Elektrolokomotiven.
Die Erregerwicklung der Reihenschlussmaschine darf im Gegensatz zur Nebenschlussmaschine nicht hochohmig sein, da derselbe Strom auch durch die Ankerwicklung fließt. Die Erregerwicklung der Reihenschlussmaschine besteht aus wenigen Windungen mit großem Drahtquerschnitt.
Bei einem Reihenschlussmotor sind Nutzbremsungen (Rekuperation) nicht möglich, da sich bei unveränderter Schaltung die Stromrichtung in der Anker- und in der Erregerwicklung auf Grund der Serienschaltung zeitgleich umkehrt. Daher haben Reihenschlussmaschinen im Motor- und im Generatorbetrieb entgegengesetzte Drehrichtungen. Um die Drehrichtung beizubehalten, müsste man die Erregerwicklung umklemmen.
Nebenschlussmaschine
Bei einer Nebenschlussmaschine sind die Anker- und die Hauptpolwicklung parallelgeschaltet, wodurch unterschiedlich hohe Ströme durch die Anker- bzw. Hauptpolwicklung fließen. Bei der Nebenschlussmaschine werden die Anker- und die Erregerwicklung durch eine einzige Spannungsquelle versorgt. Zufolge der Parallelschaltung ist die Ankerspannung gleich hoch wie die Erregerspannung. Die Nebenschlussmaschine hat als Motor und als Generator den gleichen Drehsinn.
Die Erregerwicklung der Nebenschlussmaschine besteht aus vielen Windungen dünnen Drahtes.
Nebenschlussmaschinen eignen sich speziell für Anwendungen mit konstanter Drehzahl, die nahezu Lastunabhängig ist. Leider nimmt die Drehzahl und die Stromaufnahme beim Zusammenbrechen des Erregerfeldes dramatisch zu und die Maschine neigt zum Durchgehen.
\(n = \frac{{U - \left( {{R_{A,V}} + {R_A}} \right) \cdot {I_A}}}{{{k_1} \cdot \Phi }}\)
Mit n als Drehzahl, U als Klemmenspannung, mit RA,V + RA als Ankerwiderstand, mit IA als Ankerstrom, k1 als Motorkonstante und Phi als magnetischen Fluss.
Die Drehzahlregelung kann auf zwei Arten erfolgen:
- Über einen Vorwiderstand RA,V der Ankerwicklung, was den Ankerstrom verringert, was zu einer Verringerung von Drehzahl und Drehmoment führt. Dies Form der Regelung ist einfach aber auf Grund des hohen Ankerstroms stark verlustbehaftet.
- Über den Vorwiderstand RF,V der Erregerwicklung, wodurch der magnetische Fluss verringert wird, was ebenfalls zu einer Verringerung der Drehzahl führt. Diese Form der Regelung ist komplexer, aber effizienter als die Regelung über den Ankervorwiderstand.
Das Drehmoment \({M_i} = {k_2} \cdot {I_A} \cdot \Phi \) des Nebenschlussmotors ist proportional zum Ankerstrom, da der magnetischen Fluss konstant ist, weil der Erregerkreis unabhängig vom Ankerkreis ist . k2 ist eine konstruktionsabhängige Konstante.
Die Drehzahl-Drehmoment-Kennlinie eines Nebenschlussmotors ist eine Hyperbel. Bei kleiner Ankerstromstärke ist das Drehmoment gering, aber die Drehzahl ist hoch. Bei großer Ankerstromstärke ist das Drehmoment groß, aber die Drehzahl ist gering.
Die beiden unterschiedlichen Maschinenkonstanten k1 in der Formel für die Drehzahl n bzw. k2 in der Formel für das Drehmoment M werden durch Messungen an dem Motor bestimmt. Dazu wird der Motor mit einem bestimmten Ankerstrom betrieben und die Drehzahl und der magnetische Fluss werden jeweils gemessen.
Wird ein Nebenschlussmotor im gleichen Umlaufsinne, in dem er zuvor als Motor lief, mit einer so großen Drehzahl von außen angetrieben, sodass seine induzierte Spannung Ui größer als die Klemmenspannung U wird, so geht er – ohne dass an der Schaltung etwas geändert werden müsste – in den Generatorzustand über. D.h eine Nebenschlussmaschine kann ohne Schaltungsänderung bei gleichem Drehsinn als Motor und als Generator betrieben werden. Rekuperation ist also möglich, denn in diesem Fall liefert er Energie zurück und kann daher für Nutzbremsungen verwendet werden.
Fremderregte Maschine
Wenn die Nebenschussmaschine an einem starren Netz hängt, die Klemmenspannung also unabhängig vom gezogenen Strom ist, ist ihr Betriebsverhalten dem der fremderregten Maschine ident.
Bei der fremderregten Maschine handelt es sich um eine Nebenschlussmaschine, bei der Anker- und Hauptpolwicklung durch Ströme aus voneinander unabhängigen Spannungsquellen durchflossen werden. Die Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie ist im Falle des fremderregten Gleichstrommotors eine Gerade.
Gleichstrom-Verbundmotoren
Beim Gleichstrom-Verbundmotor (auch Doppelschluss- oder Compoundmotor) wird ein Teil der Hauptpolwicklung wie bei der Reihenschlussmaschine in Serie zur Ankerwicklung und der andere Teil der Hauptpolwicklung wie bei der Nebenschlussmaschine parallel zur Ankerwicklung geschaltet. Diese Kombination verleiht dem Verbundmotor folgende Eigenschaften:
- Hohes Drehmoment bei niedrigen Drehzahlen und somit ein gutes Anlaufverhalten auf Grund der Reihenschlusswicklung
- Stetige Drehzahlregelung da durch die Nebenschlusswicklung die Drehzahl des Motors stufenlos geregelt werden kann.
Gleichstrom Verbundmotoren werden häufig in Anwendungen eingesetzt, bei denen hohe Drehmomente bei niedrigen Drehzahlen erforderlich sind, z. B. in Aufzügen, Kränen und Elektrofahrzeugen.
Fourier-Reihe
Periodische Funktionen können als (additive) Überlagerung von Sinus- und Kosinusfunktionen (Superposition) beliebig genau approximiert werden. Die Frequenzen der Sinus- und Kosinusfunktionen sind ganzzahlige Vielfache (k) der Grundfrequenz \({\omega _1}\). Die Fourier-Reihenentwicklung kann nur auf periodische Funktionen angewendet werden. Für nichtperiodische Funktionen benötigt man die Fourier-Transformation.
Fourier Analyse
Bei der Entwicklung einer periodischen Funktion f(t) in eine Fourier Reihe handelt es sich physikalisch gesehen um die Transformation eines periodischen Vorgangs in eine Summe von einzelnen harmonischen Schwingungen. Das Berechnen der einzelnen harmonischen Funktionen, die - durch Überlagerung (Summation) - eine vorgegebenen periodischen Funktion annähern, nennt man Fourier Analyse.
Die Fourier Koeffizienten ak und bk entsprechen den Amplituden der entsprechenden Schwingungsanteile (so genannte "Harmonische"). Damit man diese Koeffizientenformeln auch auf den Fall k=0 anwenden kann, wird in der Fourier Reihe, das den arithmetischen Mittelwert darstellende, zeitunabhängige Glied mit \(\dfrac{{{a_0}}}{2}\) angesetzt. Für die Fourier Koeffizienten ak und bk gilt, dass sie für \(k \to \infty \) gegen Null konvergieren. Daher kann man über die Anzahl der berechneten Harmonischen die Genauigkeit der Approximation von f(t) durch die Fourier Reihe beeinflussen.
Fouriersche Reihenentwicklung
Eine periodische Funktion \(f\left( t \right) = f\left( {t + T} \right)\) kann durch eine trigonometrische (Fourier-) Reihe, also durch eine Summe von harmonischen Schwingungen, dargestellt werden. Dabei treten neben der Grundfrequenz \({\omega _1}\) nur ganzzahlige Vielfache von ebendieser auf.
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = \dfrac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( {{a_k} \cdot \cos \left( {k{\omega _1}t} \right) + {b_k} \cdot \sin \left( {k{\omega _1}t} \right)} \right)} \cr & = \dfrac{{{a_0}}}{2} + {a_1} \cdot \cos \left( {1{\omega _1}t} \right) + {a_2} \cdot \cos \left( {2{\omega _1}t} \right) + ... + {b_1} \cdot \sin \left( {1{\omega _1}t} \right) + {b_2} \cdot \sin \left( {2{\omega _1}t} \right) + ... \cr} \)
Mit den Harmonischen: \({\omega _1} = \dfrac{{2\pi }}{T}\)wobei die niedrigste Frequenz \({\omega _1}\)als Grundharmonische bzw. Grundwelle bezeichnet wird und die übrigen Schwingungen mit höheren Harmonischen (2. Harmonische, 3. Harmonische) bzw. Oberwellen bezeichnet werden.
Formeln für die Berechnung der fourierschen Koeffizienten
Um für eine konkrete gegebene periodische Funktion die Fourierreihe bilden zu können, sind deren (Fourier)Koeffizienten a0, ak und bk zu bestimmen. Für die Fourier Koeffizienten gilt, dass sie für \(k \to \infty \) gegen Null konvergieren, gleichzeitig geht auch der Restfehler (also die Abweichung zwischen f(t) und der Approximation durch die Fourier Reihe) gegen Null.
\(\eqalign{ & \dfrac{{{a_0}}}{2} = \dfrac{1}{T}\int\limits_t^{t + T} {f\left( t \right)} \,\,dt \cr & {a_k} = \dfrac{2}{T}\int\limits_t^{t + T} {f\left( t \right) \cdot \cos \left( {k{\omega _1}t} \right)} \,\,dt \cr & {b_k} = \dfrac{2}{T}\int\limits_t^{t + T} {f\left( t \right) \cdot \sin \left( {k{\omega _1}t} \right)} \,\,dt \cr & \underline {\widehat {{c_k}}} = \dfrac{1}{T}\int\limits_t^{t + T} {f\left( t \right)} \cdot {e^{ - jk{\omega _1}t}}\,\,dt \cr} \)
Die Koeffizientenformel stellt die Amplitude der betreffenden Kosinus- oder Sinusschwingung dar. Dabei gelten folgende Vereinfachungen:
- Der arithmetische Mittelwert ist eine gerade Funktion (Ordinatensymmetrie) und fällt daher bei reinen Wechselgrößen weg. Es ist zweckmäßig den konstanten Koeffizienten welcher dem DC-Anteil oder Gleichanteil \(\overline u\) als \(\overline u = \dfrac{{{a_0}}}{2}\)und nicht als a0 anzusetzen, damit man die Koeffizientenformeln für ak bzw. bk auch für k=0 anwenden kann.
- ungerade Funktion d.h. Ursprungssymmetrie - z.B. Sinus: \(f\left( t \right) = - f\left( { - t} \right) \Rightarrow {a_k} \equiv 0;\,\,\,\,\,\underline {{c_k}} {\text{ }}...{\text{ rein imaginär}}\) Es reichen die ebenfalls ungeraden Sinusfunktionen zur Approximation, die Fourier-Koeffizienten der Kosinusschwingungen sind null
- gerade Funktion d.h. Ordinatensymmetrie - z.B. Kosinus: \(f\left( t \right) = f\left( { - t} \right) \Rightarrow {b_k} \equiv 0;\,\,\,\,\,\underline {{c_k}} {\text{ }}...{\text{ rein reell}}\) Es reichen die ebenfalls geraden Kosinusfunktionen zur Approximation, die fourierschen Koeffizienten bk der Sinusschwingungen sind null
Als Integrationsintervall kann jedes beliebige Intervall der Länge T bzw. \(2\pi \) verwendet werden, d.h. man darf, wenn das die Berechnung durch Symmetrien erleichtert, den Anfangspunkt beliebig wählen.
Spektrale Darstellung der Fouriersche Reihenentwicklung
Die Darstellung mit lediglich der sinus- bzw. der kosinus Komponente nennt man auch die spektrale Darstellung. Ihr Vorteil besteht darin, dass es statt 2 nur mehr 1 Koeffizienten gibt.
- Amplitudenspektrum: Stellt die Amplituden ck, , also die Amplitude der k-ten Fourier Komponente grafisch über t dar
- Phasenspektrum stellt den Phasenwinkel \({\varphi _k}\), also den Phasenwinkel der k-ten Fourier Komponenten grafisch über t dar
Sinusdarstellung
\(\eqalign{ & {c_k} = \sqrt {{a_k}^2 + {b_k}^2} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{c_0} = {a_0};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\varphi _k} = \arctan \dfrac{{{a_k}}}{{{b_k}}}; \cr & f\left( t \right) = \dfrac{{{c_0}}}{2} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {{c_k} \cdot \sin \left( {k{\omega _1}t + {\varphi _k}} \right)} \cr} \)
Kosinusdarstellung
\(\eqalign{ & {c_k} = \sqrt {{a_k}^2 + {b_k}^2} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{c_0} = {a_0};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\varphi _k} = - \arctan \dfrac{{{b_k}}}{{{a_k}}}; \cr & f\left( t \right) = \dfrac{{{c_0}}}{2} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {{c_k} \cdot \cos \left( {k{\omega _1}t + {\varphi _k}} \right)} \cr}\)
Komplexe Darstellung
\(\eqalign{ & \underline {\widehat {{c_k}}} = \dfrac{2}{T}\int\limits_\tau ^{\tau + T} {f\left( t \right) \cdot {e^{ - jk{\omega _1}t}}} \,\,dt = {a_k} - j{b_k} \cr & f\left( t \right) = \dfrac{1}{2}\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\underline {\widehat {{c_k}}} } \cdot {e^{ - jk{\omega _1}t}} \cr}\)
Der Vorteil der komplexen Darstellung gegenüber der Darstellung der Fourierreihe mittels Sinus- und Kosinusdarstellung liegt darin, dass sich die e-Funktion einfacher integrieren lässt und anstelle von 2 nur mehr 1 Koeffizient zu berechnen ist.
Eulersche Gleichungen für Fourier’sche Reihenentwicklungen
\(\eqalign{ & {e^{j\omega kt}} = \cos \left( {\omega kt} \right) + j \cdot \sin \left( {\omega kt} \right) \cr & {e^{ - \,j\omega kt}} = \cos \left( {\omega kt} \right) - j \cdot \sin \left( {\omega kt} \right) \cr} \)
Verzerrende bzw. frequenzabhängige Übertragungsfunktion G in elektrischen Schaltungen
Bei elektrischen Schaltungen mit (frequenzabhängigen) Spulen und Kondensatoren, ist auch der Zusammenhang zwischen der angelegten Spannung und dem resultierenden Strom, beschrieben durch eine Übertragungsfunktion G, frequenzabhängig.
Mit Hilfe der Fourier Analyse lassen sich periodische, aber nicht sinusförmige Vorgänge, in linearen elektrischen Netzen (R, L, C) wie folgt behandeln:
- Man zerlegt die nicht sinusförmige erregende (Eingangs) Größe - die Spannung - nach Fourier in ihre sinusförmigen Teilschwingungen (Harmonische). Man erhält also \(u = u\left( {k{\omega _1}t} \right)\)
- Man ermittelt den komplexen Widerstand \(Z = Z(R,L,C,\omega )\) im Sinne einer frequenzabhängigen Übertragungsfunktion G
- Allgemeine Berechnung des Problems im Komplexen für eine beliebige Frequenz \(\omega = k \cdot {\omega _1}\) und Einsetzen von k=1, 2, 3 in die Lösung
- Ermittlung
- der Amplitude der Ausgangsgröße z.B.: \(\left| {\underline {\widehat {{{I'}_k}}} } \right| = \sqrt {{\rm{R}}{{\rm{e}}^2}\underline {\widehat {{{I'}_k}}} + {\rm{I}}{{\rm{m}}^2}\underline {\widehat {{{I'}_k}}} \,\,} \)
- der Phasenlage der Ausgangsgröße z.B.: \({\psi _{ik}} = \arctan \dfrac{{{\rm{Im}}\underline {\widehat {{{I'}_k}}} }}{{{\rm{Re}}\underline {\widehat {{{I'}_k}}} }}\)
- der Amplitude der Ausgangsgröße z.B.: \(\left| {\underline {\widehat {{{I'}_k}}} } \right| = \sqrt {{\rm{R}}{{\rm{e}}^2}\underline {\widehat {{{I'}_k}}} + {\rm{I}}{{\rm{m}}^2}\underline {\widehat {{{I'}_k}}} \,\,} \)
In der Übertragungsfunktion G sind also die einzelnen Widerstandsgrößen der Innenschaltung enthalten. Da L und C frequenzabhängig sind, ist auch die Übertragungsfunktion frequenzabhängig.
- Bei rein sinusförmigen Vorgängen (Eingangsgröße (Spannung) ist die Frequenz eine Konstante und damit ist auch die Übertragungsfunktion G eine Konstante. In diesem Spezialfall nennt man sie auch „Übertragungsfaktor“
- Bei nicht sinusförmigen periodischen Vorgängen liegt nach Fourier ein Spektrum von Frequenzen vor (konkret: ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz), sodass auch die Übertragungsfunktion G eine Funktion der Frequenz ist G=G(f). Jede Harmonische der Eingangsfunktion (u(t)) wird also in anderer Weise in die betreffende Harmonische der Ausgangsgröße (i(t)) übertragen. Das Netzwerk „verzerrt“ somit die Eingangsfunktion, d.h. die Kurvenform der Ausgangsfunktion wird eine andere sein, als die Kurvenform der Eingangsfunktion
Aufgaben
Aufgabe 221
Leistungsberechnung im Wechselstromkreis
Berechne für \(u\left( t \right) = U \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)\) und für \(i\left( t \right) = I \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)\) den Wirk- und den Blindleistungsanteil und interpretiere deren Mittelwerte.
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Aufgabe 245
Fourier Analyse einer \(2\pi \) periodischen Rechteckspannung
Gegeben ist folgende Rechteckspannung
\(u\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { + U\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,0 < t < \dfrac{T}{2}}\\ { - U\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,\dfrac{T}{2} < t < T} \end{array}} \right.\)
Aufgabenstellung:
Ermittle für obige Rechteckspannung die zugehörige Fourierreihe
Aufgabe 255
In einem Einfamilienhaus soll der Bezug von Strom und Gas aus dem öffentlichen Netz durch den Einsatz von Wärmepumpen und Photovoltaikanlagen reduziert werden.
1. Teilaufgabe:
Die spezifische Wärmekapazität von flüssigem Wasser beträgt \(4,190\dfrac{{kJ}}{{kg \cdot K}}\). Es soll ein 270 Liter Brauchwasserboiler eingesetzt werden. Das zufließende Wasser aus der öffentlichen Wasserleitung hat eine Temperatur von 7°C, das Brauchwasser (Abwasch, Dusche, Bad,...) soll 45°C haben.
Berechne, wie viel Energie in kWh pro Jahr erforderlich sind, um das Wasser zu erwärmen.
2. Teilaufgabe:
- Eine kWh Gas kostet inkl. MWST 4,8374 Cent bzw. 0,0484 €.
- Eine kWh Nachtstrom kostet inkl. MWST 14,21 Cent bzw. 0,1421 €
- Eine kWh Tagstrom kostet inkl. MWST 17,20 Cent bzw. 0,1720 €
Berechne die jährlichen Energiekosten des Brauchwasserboilers für jede der 3 Heizformen.
3. Teilaufgabe:
An dem Brauchwasserboilder soll eine Luft-Luft Wärmepumpe angebracht werden, die dem Raum Wärme entzieht und damit das Brauchwasser erwärmt. Die Brauchwasser-Wärmepumpe hat einen Effizienzfaktor COP = 3. D.h. sie nimmt 500 W elektrische Leistung aus dem Stromnetz auf und erzeugt 1.500 Heizleistung.
Berechne die jährlichen Stromkosten für den Betriev der Brauchwasser-Wärmepumpe.