Zahlensysteme bzw. Stellenwertsysteme

Zahlensysteme bzw. Stellenwertsysteme

Bei Zahlensystemen bzw. bei Stellenwertsystemen wird jeder Stelle einer Zahl ein Wert zugeordnet. Dieser Wert jeder Stelle hängt von zwei Parametern ab und zwar von der Höhe der Ziffer selbst und von der Position in der Zahl, an der die Ziffer steht. Aus der Summe der Stellenwerte ergibt sich der Zahlenwert. In der täglichen Praxis haben sich verschiedene Zahlensysteme etabliert, die man einfach in einander umrechnen kann. Am vertrautesten ist uns das Dezimalsystem, auch Zehnersystem genannt. Hätte der Mensch 16 Finger, so wäre uns wohl das Hexadezimalsystem besser vertraut als das Dezimalsystem...

Dekadisches Zahlensystem bzw. Dezimalsystem bzw. Zehnersystem

Im dekadischen Zahlensystem ist das Zehnfache der Einheit, die nächsthöhere Einheit. 10 Einer sind 1 Zehner, 10 Zehner sind 1 Hunderter, 10 Hunderter sind 1 Tausender, ...

Ziffernwert: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Stellenwerte: 1, 10, 100,..., Vielfache von 10

Die Basis im Dezimalsystem ist also die Zahl 10. Die einzelnen Stellen sind

• ...
• Tausenderstelle
• Hunderterstelle
• Zehnerstelle
• Einerstelle
• Zehntelstelle
• Hundertstelstelle
• ...

Große Zahlen gruppiert man in Dreiergruppen, die durch

• Leerzeichen Beispiel: \(6\,789,12\)
• Tausenderpunkt Beispiel(im deutschen Sprachraum): \(6.789,12\)
• Tausenderkomma (im englischen Sprachraum Beispiel: \(6,789.12\)

getrennt werden.

Beispiel
dezimal 123 = abc = a·10²+b·10¹+c·10⁰ mit a=1, b=2 und c=3

Beispiel
Dezimalsystem: Zahl = 123
diese Zahl besteht aus den drei Ziffern 1, 2, 3 die an der Hunderterstelle, Zehnerstelle und Einerstelle stehen

Sellenwert der "1" = 100 → Zahlenwert ist 100x1=100
Stellenwert der "2" = 10 → Zahlenwert ist 10x2=20
Stellenwert der "3" = 1 → Zahlenwert ist 1x3=3

Zahlenwert der Zahl "123" = 100+20+3=123 Einhundertdreiundzwanzig

Dual- bzw. Binärsystem

Im Dualsystem ist das Zweifache der Einheit die nächsthöhere Einheit. Die Basis im Binärsystem ist also die Zahl 2.

Ziffernwerte: 0, 1
Stellenwert: Vielfache von 2.

Das Binärsystem ist vor allem in der Datenverarbeitung im Computer in Verwendung. „0“ bedeutet dann, es fließt kein Strom, während „1“ bedeutet, es fließt Strom.

Beispiel
binär 1010 = a+b+c+d=a·2³+b·2²+c·2¹+d·2⁰ = 1·8+0·4+1·2+0·1=10 (dekadisch)

Hexadezimalsystem

Im Hexadezimalsystem ist das Sechzehn-fache der Einheit die nächst größere Einheit. Die Basis im Binärsystem ist also die Zahl 16.

Ziffernwerte: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Stellenwerte: Vielfache von 16.

Das „Sechzehnfache“ hat man gewählt, weil man damit 4 Bit einer Dualzahl in einer einzigen hexadezimalen Ziffer zusammenfassen kann.

Beispiel
Hex C4 bzw. #C4 = Dez: 12·16¹+4·16⁰=192+4=196 (dekadisch) oder Bin: 1100 0100

BCD Code

Bei BCD handelt sich um kein Zahlensystem sondern um einen Code, der in der Datenverarbeitung weit verbreitet ist.
Im Binary Coded Decimal System wird jede Stelle einer dezimalen Ziffer dualkodiert.

Beispiel
Dezimal 19 = 0001 1001 weil für die Zehnerstelle 1 = 0001 und für die Einerstelle 9 = 1001 gilt.

Gegenüberstellung Dezimal- Dual und Hexadezimalsystem sowie BCD Code