Komplexe Zahlen

Fraktale

Fraktale werden aus nichtlinearen Gleichungen generiert und entstehen durch Rekursion.Sie zeichnen sich durch Selbstähnlichkeit aus. In der fraktalen Geometrie untersucht man, ob für individuelle Punkte der Gaußebene, eine nichtlineare rekursive Gleichung gegen einen Grenzwert oder gegen unendlich konvergiert (=sich diesem Wert kontinuierlich annähert, ihn aber nie erreicht) oder ob sie divergiert (=zwischen mehreren Werten hin und her springt, also keinen Grenzwert besitzt).

\({z_{n + 1}} = {z_n}^2 + c\)

Zwei besonders bekannte Beispiele für Fraktale sind die Mandelbrot-Menge und die Julia-Menge die auf der gleichen quadratischen Gleichung basieren.

Julia Menge

Die Darstellung der Julia Menge ist ein Beispiel für ein Fraktal, welches durch Rekursion aus einer nichtlinearen Gleichungen generiert wird. Nicht zusammenhängende Julia Mengen werden Cantor Mengen genannt, zusammenhängende Julia Mengen werden Mandelbrot Mengen genannt.

\({z_{n + 1}} = {z_n}^2 + c\)

Bild

Indem man z₀ variiert, kann man herausfinden, welche komplexen Startwerte z_o , für ein gewähltes konstantes c , zur Julia Menge gehören und welche nicht. Die Julia-Menge ist also die Menge aller komplexer Startwerte z₀, für welche die Folge z_n für ein gewähltes konstantes c stets beschränkt bleibt, also konvergiert, d.h. sich immer mehr einem Grenzwert annähert.

Die Julia-Menge kann eine Staubwolke aus unendlich vielen Punkten sein, dann ist sie eine sogenannte Cantor-Menge, oder sie ist zusammenhängend, also verbunden, dann nennt man sie Mandelbrot Menge und stellt sie als Apfelmännchen-Fraktal dar. Für diese Unterscheidung muss man für das gewählte c nur einen einzigen Punkt untersuchen: Und zwar z₀=0. Divergiert dieser Punkt in Richtung unendlich, so ist die Julia-Menge nicht zusammenhängend.

In der grafischen Darstellung hat die Julia Menge Im Unterschied zur Mandelbrot-Menge, unterschiedliche Aussehen, abhängig wie man c am Beginn festgelegt hat. D.h. für jedes c gibt es eine eigene Julia-Menge. Viele Julia-Mengen entsprechen der leeren Menge! Eine Julia-Menge ist genau dann nicht leer, wenn der Punkt c in der Mandelbrot-Menge liegt.

Mandelbrot Menge

Die Mandelbrot Menge ist jene Untermenge der Julia Menge, die aus zusammenhängenden Punkten besteht. Die Darstellung der Mandelbrot Menge ist ein Beispiel für ein Fraktal, welches durch Rekursion aus einer nichtlinearen Gleichungen generiert wird.

\({z_{n + 1}} = {z_n}^2 + c\)

Bild

Indem man c variiert, kann man herausfinden, welche Punkte c der gaußschen Ebene zur Mandelbrot-Menge gehören und welche nicht. Zur Mandelbrot Menge gehören jene c, für die die komplexe Folge beschränkt bleibt, also konvergiert, d.h. sich immer mehr einem Grenzwert annähert.

In der grafischen Darstellung als „Apfelmännchen-Fraktal“ werden die Elemente der Mandelbrot-Menge rot dargestellt. Alle anderen Punkte c, deren Zahlenfolge vor dem Erreichen der Iterationsgrenze divergieren, erhalten oft eine Farbe, die davon abhängt, nach wie vielen Iterationsschritten n die Divergenz festgestellt werden konnte, im obigen Bild sind diese Punkte aber alle weiß dargestellt..

Komplexe Zahlen

Die Gleichung \({x^2} = - 1\) kann im Bereich der reellen Zahlen nicht gelöst werden, da x dabei die Wurzel aus einer negativen Zahl wäre, was unzulässig ist.

\({x^2} = - 1 \to x = \sqrt { - 1}\)

Leonhard Euler führte den Begriff \(\sqrt { - 1} = i\) in die Mathematik ein und definierte den Ausdruck \(z = a + i \cdot b = a + b \cdot \sqrt { - 1} \). Eine komplexe Zahl setzt sich somit aus einem Realteil und einem Imaginärteil zusammen. a und b sind dabei reelle Zahlen, i ist die sogenannte imaginäre Einheit. Die reellen Zahlen sind jener Spezialfall der komplexen Zahlen, für die der Imaginärteil der komplexen Zahl Null ist.

Definition der imaginären Einheit i

Die imaginäre Einheit i ist jene Zahl, deren Quadrat gleich -1 ist. Wir können damit Wurzeln aus negativen reellen Zahlen ziehen und Gleichungen vom Typ x²+1=0 lösen.

\(\eqalign{ & {i^2} = - 1 \cr & i = \sqrt { - 1} \cr}\)

Anmerkung für Elektrotechniker: Da in der Wechsel- und Drehstromrechnung durchgängig mit komplexen Zahlen gerechnet wird und i für die zeitabhängige Stromstärke i(t) steht, verwenden Elektrotechniker statt dem Buchstaben i den Buchstaben j, somit \(\sqrt { - 1} = j\)

Gleichheit komplexer Zahlen

Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie sowohl in ihrem Real-als auch in ihrem Imaginärteil übereinstimmen.

Höhere Potenzen der imaginären Einheit i

Die höheren Potenzen von i kann man wie folgt vereinfachen:

Wir erkennen dabei ab i² folgende Abfolge: -1, -i, 1, i die sich danach immerwieder wiederholt. Es bietet sich eine Zerlegung in Vielfache von i⁴ wegen i⁴=1 an.

Beispiele:

\(\eqalign{
& - {i^3} = - \left( {{i^3}} \right) = - \left( { - i} \right) = i \cr
& \cr
& {( - i)^5} = {\left( { - i} \right)^2} \cdot {\left( { - i} \right)^2} \cdot \left( { - i} \right) = \cr
& = {i^2} \cdot {i^2} \cdot \left( { - i} \right) = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - i} \right) = \cr
& = 1 \cdot \left( { - i} \right) = - i \cr} \)

Gaußsche Zahlenebene

Grafisch werden komplexe Zahlen in der gaußschen Zahlenebene dargestellt. Vergleichbar zu einem Vektor in der Ebene, wird der Realteil in Richtung der x-Achse und der Imaginärteil in Richtung der y-Achse (=imaginäre Achse) aufgetragen. Für komplexe Zahlen verwendet man verschiedene Darstellungsformen, nachfolgend die kartesische Darstellung auch Normalform genannt.
\(z = a + ib\)

Für die Darstellung in Polarkoordinaten benötigt man noch den Winkel, der sich wie folgt ergibt:

\(\varphi = \arctan \dfrac{b}{a}\)

Graphische Darstellung einer komplexen Zahl in der gaußschen Zahlenebene

Auf der x-Achse wird der Realteil also a bzw. r·cos \(\varphi\) aufgetragen, auf der y-Achse wird der Imaginärteil also b bzw. r·sin \(\varphi\) aufgetragen. Die komplexe Zahlenebene entspricht dabei der gaußsche Zahlenebene, wobei die x-Achse als reelle Achse und die y-Achse als imaginäre Achse bezeichnet werden.

\(\eqalign{ & z = a + ib \cr & z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ) \cr}\)

Illustration einer komplexen Zahl in der gaußschen Zahlenebene

Betrag einer komplexen Zahl

Stellt man sich eine komplexe Zahl als Vektor in der gaußschen Zahlenebene vor, wobei der Schaft vom Vektor im Ursprung und die Spitze vom Vektor an der Stelle \(\left( {a\left| b \right.} \right)\) liegt, so entspricht der Betrag der komplexen Zahl der Länge vom Vektor.

\(\eqalign{ & \left| z \right| = \left| {a + ib} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr & \left| {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \dfrac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}} \cr & \left| {{z_1} \cdot {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right| \cr & \left| {{z^n}} \right| = {\left| z \right|^n} \cr}\)

Konjugiert komplexe Zahl

Die zu einer komplexen Zahl konjugiert komplexe Zahl erhält man, indem man das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt, während das Vorzeichen der Realteils unverändert bleibt.

\(\eqalign{ & z = a + ib \cr & \overline z = a - ib \cr}\)

Geometrisch entspricht dies einer Spiegelung der komplexen Zahl um die x-Achse.

Illustration einer komplexen Zahl und der zugehörigen konjugiert komplexen Zahl

Darstellungsformen komplexer Zahlen

Für komplexe Zahlen gibt es verschiedene Darstellungsformen, die ihre Berechtigung in der Tatsache haben, dass damit jeweils andere Rechenoperationen besonders einfach durchgeführt werden können. Man unterscheidet zwischen der kartesischen Darstellung und der Darstellung in Polarform. Bei Letzterer unterscheidet man weiter nach trigonometrischer und exponentieller Darstellung

Komplexe Zahl in kartesischer Darstellung

Komplexe Zahlen in kartesischer Darstellung, setzen sich aus dem Realteil a und dem um 90° gegen den Uhrzeitersinn gedrehten Imaginärteil ib zusammen.
Die kartesische Darstellung wird auch Komponentenform, algebraische Normalform bzw. Binomialform genannt. Die kartesische Darstellung hat den Vorteil, dass sich Addition bzw. Subtraktion zweier komplexer Zahlen auf die Durchführung einer simplen Addition bzw. Subtraktion von den jeweiligen Real- bzw. Imaginärteilen beschränkt.

\(\eqalign{ & z = a + ib \cr & {\text{mit:}}\,i = \sqrt { - 1} \cr}\)

• a = Re(z) … a ist der Realteil von z
• b = Im(z) … b ist der Imaginärteil von z
• i … imaginäre Einheit

Vorsicht: Sowohl der Realteil a als auch der Imaginärteil b einer komplexen Zahl sind selbst reelle Zahlen. Erst im Zusammenspiel mit der imaginären Einheit i entsteht die komplexe Zahl. Der imaginäre Einheit i entspricht geometrisch eine 90 Grad Drehung gegen den Uhrzeigersinn.

Komplexe Zahl als Zahlenpaar

Eine komplexe Zahl kann als reelles Zahlenpaar bestehend aus Real- und Imaginärteil angeschrieben werden.

\(z = (a\left| b \right.)\)

Komplexe Zahl in Polarform, d.h. mit Betrag und Argument

Für die Polarform gibt es die trigonometrische und die exponentielle Darstellung.

\(\eqalign{ & z = \left| z \right| \cdot (\cos \varphi + i\sin \varphi ) \cr & z = r{e^{i\varphi }} = \left| z \right| \cdot {e^{i\varphi }} \cr}\)

Dabei entspricht

• Betrag r dem Abstand vom Koordinatenursprung
• Argument \(\varphi\) dem Winkel zwischen der reellen Achse und dem Vektor vom Koordinatenursprung bis zum Punkt z

Komplexe Zahl in trigonometrischer Darstellung

Eine komplexe Zahl z in trigonometrischer Darstellung wird mittels Betrag r und den Winkelfunktionen cos φ und sin φ dargestellt.

\(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\)

Komplexe Zahl in exponentieller Darstellung

Komplexe Zahlen in exponentieller Darstellung werden mit Hilfe vom Betrag r=|z| und dem Winkel φ als Exponent der eulerschen Zahl e dargestellt. Die exponentielle Darstellung hat den Vorteil, dass sich die Multiplikation bzw. Division zweier komplexer Zahlen auf das Durchführen einer Addition bzw. Subtraktion vereinfachen.

\(\eqalign{ & z = r{e^{i\varphi }} = \left| z \right| \cdot {e^{i\varphi }} \cr & {e^{i\varphi }} = \cos \varphi + i\sin \varphi \cr}\)

Diese Darstellungsform nennt man auch exponentielle Normalform bzw. Euler’sche Form einer komplexen Zahl.

\({z_1} \cdot {z_2} = {r_1}{e^{i{\varphi _1}}} \cdot {r_2}{e^{i{\varphi _2}}} = {r_1}{r_2} \cdot {e^{i\left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)}}\)

\(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}} \cdot {e^{i\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)}}\)

Umrechnung von komplexen Zahlen

Für die Notation von komplexen Zahlen bieten sich die kartesische, trigonometrische und exponentielle bzw. Euler‘sche Darstellung an. Selbstverständlich kann man zwischen diesen Darstellungen wie folgt umrechnen:

\(z = (a\left| b \right.)\)

Illustration der unterschiedlichen Notationen einer komplexen Zahl

Rechenoperationen mit komplexen Zahlen

In Teilbereichen der Physik und der Technik, etwa bei der Rechnung mit Wechsel- oder Drehströmen in der Elektrotechnik, bedient man sich der Rechenoperationen mit komplexen Zahlen. Das ist zunächst verwunderlich, da es in der klassischen Physik eigentlich nur reelle aber keine imaginären Größen gibt. Das Resultat jeder Rechenoperation mit komplexen Zahlen ist wieder eine komplexe Zahl, doch deren Real- und deren Imaginärteil sind jeweils reelle Größen, die eine physikalische Bedeutung haben können.

Ein Beispiel aus der Elektrotechnik: Multipliziert man etwa eine zeitabhängige Stromstärke I mit einer phasenverschobenen Spannung U so erhält man die (komplexe) Scheinleistung S. Der Realteil von S ist die Wirkleistung P und der Imaginärteil von S ist die Blindleistung Q, beides sind reale physikalische Größen mit reellem Wert.

Addition komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen lassen sich besonders einfach in der kartesischen Darstellung addieren, indem man jeweils separat (Realteil + Realteil) und (Imaginärteil + Imaginärteil) rechnet.

\(\eqalign{ & {z_1} + {z_2} = ({a_1} + {a_2}) + i \cdot ({b_1} + {b_2}) \cr & {z_1} + {z_2} = {r_1} \cdot \cos ({\varphi _1}) + i \cdot {r_1} \cdot sin({\varphi _1}) + {r_2} \cdot \cos \left( {{\varphi _2}} \right) + i \cdot {r_2} \cdot \sin \left( {{\varphi _2}} \right) \cr & {z_1} + {z_2} = {r_1} \cdot {e^{i{\varphi _1}}} + {r_2} \cdot {e^{i{\varphi _2}}} \cr}\)

Subtraktion komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen lassen sich besonders einfach in der kartesischen Darstellung subtrahieren, indem man jeweils separat (Realteil minus Realteil) und (Imaginärteil minus Imaginärteil) rechnet.

\(\eqalign{ & {z_1} - {z_2} = ({a_1} - {a_2}) + i \cdot ({b_1} - {b_2}) \cr & {z_1} - {z_2} = {r_1} \cdot \cos ({\varphi _1}) + i \cdot {r_1} \cdot sin({\varphi _1}) - {r_2} \cdot \cos \left( {{\varphi _2}} \right) - i \cdot {r_2} \cdot \sin \left( {{\varphi _2}} \right) \cr & {z_1} - {z_2} = {r_1} \cdot {e^{i{\varphi _1}}} - {r_2} \cdot {e^{i{\varphi _2}}} \cr}\)

Multiplikation komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen lassen sich besonders einfach in der Polarform multiplizieren. Merke: Produkt der Beträge, Summe der Argumente

\(\eqalign{ & {z_1} \cdot {z_2} = \left( {{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} \right) + \left( {{a_1}{b_2} + {b_1}{a_2}} \right)i \cr & {z_1} \cdot {z_2} = {r_1}.{r_2}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right] \cr & {z_1} \cdot {z_2} = {r_1}{e^{i{\varphi _1}}} \cdot {r_2}{e^{i{\varphi _2}}} = {r_1}{r_2} \cdot {e^{i\left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)}} \cr}\)

Division komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen lassen sich besonders einfach in der Polarform multiplizieren. Merke: Quotient der Beträge, Differenz der Argumente

\(\eqalign{ & \dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} \cdot \dfrac{{\overline {{z_2}} }}{{\overline {{z_2}} }} = \dfrac{{\left( {{a_1} + i{b_1}} \right)}}{{\left( {{a_2} + i{b_2}} \right)}} \cdot \dfrac{{\left( {{a_2} - i{b_2}} \right)}}{{\left( {{a_2} - i{b_2}} \right)}} = \dfrac{{\left( {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right)}}{{a_2^2 + b_2^2}} + \dfrac{{\left( {{b_1}{a_2} - {a_1}{b_2}} \right)}}{{a_2^2 + b_2^2}}i \cr & \dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right] \cr & \dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}} \cdot {e^{i\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)}} \cr}\)

Satz von Moivre

Der Satz von Movire erleichtert das Potenzieren komplexer Zahlen in Polarform, da man das Potenzieren auf die Multiplikation eines Winkels (\({n\varphi }\)) vereinfacht.

\({z^n} = {\left| z \right|^n} \cdot {\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^n} = {\left| z \right|^n} \cdot {\left( {{e^{i\varphi }}} \right)^n} = {\left| z \right|^n} \cdot {e^{in\varphi }} = {\left| z \right|^n} \cdot \left[ {\cos \left( {n\varphi } \right) + i\sin \left( {n\varphi } \right)} \right]\)

Potenzen komplexer Zahlen

Um eine komplexe Zahl mit n zu potenzieren, bietet sich die Polarform an, da dabei lediglich der Betrag r zur n-ten Potenz zu nehmen ist und das Argument \(\varphi\) mit n zu multiplizieren ist.

\(\eqalign{ & {z^n} = {\left( {r \cdot {e^{i\varphi }}} \right)^n} = {r^n} \cdot {e^{i \cdot n \cdot \varphi }} \cr & {z^n} = {r^n}(\cos \left( {n\varphi } \right) + i\sin \left( {n\varphi } \right)) \cr} \)

Wurzeln komplexer Zahlen

Für das Wurzelziehen von komplexen Zahlen ist es zweckmäßig auf eine Polarform (trigonometrische Form oder Exponentialform) umzurechnen, da dabei lediglich die Wurzel aus dem Betrag r gezogen werden muss und das Argument durch n zu dividieren ist. So erhält man die 1. von n Lösungen der Wurzel. Die restlichen Lösungen erhält man, indem man das Argument um den Faktor \(k \cdot 2\pi \) erhöht.

\(\begin{array}{l}
\sqrt z = \sqrt {\left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \left( {\arg \left( z \right) + k \cdot 2\pi } \right)}}} = \sqrt {\left| z \right|} \cdot {e^{i \cdot \left( {\arg \left( z \right)/2 + k\pi } \right)}}\\
\\
\sqrt[n]{z} = {z^{\dfrac{1}{n}}} = {\left( {a + ib} \right)^{\dfrac{1}{n}}} = \\
= \sqrt[n]{r}\left( {\cos \dfrac{{\varphi + k2\pi }}{n} + i\sin \dfrac{{\varphi + k2\pi }}{n}} \right) = \\
= {\left( {r \cdot {e^{i\left( {\varphi + k2\pi } \right)}}} \right)^{\dfrac{1}{n}}} = \sqrt[n]{r} \cdot {e^{i\dfrac{{\varphi + k2\pi }}{n}}}\\
\\
2\pi \buildrel \wedge \over = 360^\circ ;\,\,\,\,\,k = 1,2,...,n - 1;
\end{array}\)

Logarithmen komplexer Zahlen

Die komplexe Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der komplexen Exponentialfunktion. Für das Logarithmieren ist es zweckmäßig auf Polarform umzurechnen, da dann lediglich der reelle Logarithmus vom Betrag r berechnet werden muss und sich der Imaginärteil zu \(i\left( {\varphi + 2k\pi } \right)\) ergibt. Bedingt durch die Periodizität der Exponentialfunktion ist der Imaginärteil lediglich auf ganzzahlige Vielfache k von 2π bestimmt.

\(\eqalign{ & \ln z = \ln \left( {r \cdot {e^{i\varphi }}} \right) = \ln r + i\left( {\varphi + 2k\pi } \right) \cr & \ln z = \ln \left| z \right| + i\left( {\varphi + 2k\pi } \right) \cr}\)

Zerlegung der Winkelfunktionen komplexer Zahlen in Real- und Imaginärteil

\(\begin{array}{l}
\sin \left( {a + ib} \right) = \sin \left( a \right) \cdot \cosh \left( b \right) + i \cdot \cos \left( a \right) \cdot \sinh \left( b \right)\\
\cos \left( {a + ib} \right) = \cos \left( a \right) \cdot \cosh \left( b \right) - i \cdot \sin \left( a \right) \cdot \sinh \left( b \right)\\
\tan \left( {a + ib} \right) = \dfrac{{\sin \left( a \right) \cdot \cosh \left( b \right) + i \cdot \cos \left( a \right) \cdot \sinh \left( b \right)}}{{\cos \left( a \right) \cdot \cosh \left( b \right) - i \cdot \sin \left( a \right) \cdot \sinh \left( b \right)}} = \\
= \dfrac{{\sin \left( {2a} \right) + i \cdot \sinh \left( {2b} \right)}}{{\cos \left( {2a} \right) + \cosh \left( {2b} \right)}}
\end{array}\)

Zerlegung der Hyperbelfunktionen komplexer Zahlen in Real- und Imaginärteil

\(\begin{array}{l}
\sinh \left( {a + ib} \right) = \sinh \left( a \right) \cdot \cos \left( b \right) + i \cdot \cosh \left( a \right) \cdot \sin \left( b \right)\\
\cosh \left( {a + ib} \right) = \cosh \left( a \right) \cdot \cos \left( b \right) + i \cdot \sinh \left( a \right) \cdot \sin \left( b \right)\\
\tanh \left( {a + ib} \right) = \dfrac{{\sinh \left( a \right) \cdot \cos \left( b \right) + i \cdot \cosh \left( a \right) \cdot \sin \left( b \right)}}{{\cosh \left( a \right) \cdot \cos \left( b \right) + i \cdot \sinh \left( a \right) \cdot \sin \left( b \right)}} = \\
= \dfrac{{\sinh \left( {2a} \right) + i \cdot \sin \left( {2b} \right)}}{{\cosh \left( {2a} \right) + \cos \left( {2b} \right)}}
\end{array}\)

Eulersche Formel

Die eulersche Formel stellt das Bindeglied zwischen den komplexen Zahlen und den Winkelfunktionen her, indem sie für einen vorgegebenen Winkel \(\varphi\) eine Verknüpfung herstellt zwischen der Exponentialfunktion e mit dem imaginären Exponenten i einerseits und mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus andererseits

\(\eqalign{ & {e^{i\varphi }} = \cos \varphi + i\sin \varphi \cr & {e^{ - i\varphi }} = \cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right) = \cos \varphi - i\sin \varphi \cr}\)

bzw:

\(\begin{array}{l} {e^{iy}} = \cos y + i \cdot \sin y\\ {e^{x + iy}} = {e^x} \cdot \left( {\cos y + i \cdot \sin y} \right) \end{array}\)

Aus der Addition bzw. der Subtraktion der beiden Gleichungen folgt:
\(\eqalign{ & \cos \varphi = \dfrac{{{e^{i\varphi }} + {e^{ - i\varphi }}}}{2}; \cr & \sin \varphi = \dfrac{{{e^{i\varphi }} - {e^{ - i\varphi }}}}{{2i}}; \cr}\)

Eulersche Identität

Die Euler'sche Identität gibt einen einfachen Zusammenhang zwischen den fünf wichtigen Zahlen, der Euler'schen Zahl e, der Kreiszahl \(\pi\), der imaginären Einheit i, der reellen Einheit 1 und der Null.
\({e^{i\pi }} + 1 = 0\)

Da e und \(\pi\) irrationale Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen sind und i die Wurzel aus -1 ist, wirkt es verblüffend, dass es einen Term aus diesen 3 Zahlen gibt, dessen Wert exakt -1 ist.

Herleitung der Euler'schen Identität aus der Euler'schen Formel

Wenn man in der Euler'schen Formel \({e^{i\varphi }} = \cos \varphi + i\sin \varphi\) wie folgt setzt: \(\varphi = \pi\) so erhält man \({e^{i\pi }} = \cos \pi + i\sin \pi = - 1 + i0\) bzw. vereinfacht \({e^{i\pi }} = - 1\) oder umgeformt \({e^{i\pi }} + 1 = 0\) die Euler'sche Identität.

Darstellung der komplexen Winkelfunktionen durch Exponentialfunktionen

\(\begin{array}{l} \sin z = \dfrac{{{e^{iz}} - {e^{ - iz}}}}{{2i}}\\ \cos z = \dfrac{{{e^{iz}} + {e^{ - iz}}}}{2}\\ \tan z = - i \cdot \dfrac{{{e^{iz}} - {e^{ - iz}}}}{{{e^{iz}} + {e^{ - iz}}}} \end{array}\)

\({\cos ^2}z + {\sin ^2}z = 1\)

Darstellung der komplexen Hyperbelfunktionen durch Exponentialfunktionen

\(\begin{array}{l} \sinh z = \dfrac{{{e^z} - {e^{ - z}}}}{2}\\ \cosh z = \dfrac{{{e^z} + {e^{ - z}}}}{2}\\ \tanh z = \dfrac{{{e^z} - {e^{ - z}}}}{{{e^z} + {e^{ - z}}}} \end{array}\)

\({\cosh ^2}z - {\sinh ^2}z = 1\)

Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung

Im Bereich der komplexen Zahlen lassen sich nun auch jene quadratischen Gleichungen lösen, deren Diskriminante kleiner Null ist - d.h. deren Wert unter der Wurzel negativ ist. In diesem Fall gibt es 2 zu einander konjugiert komplexe Lösungen.

pq Formel

\(\eqalign{ & {z^2} + pz + q = 0 \cr & p,q \in {\Bbb R} \cr & {z_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{p}{2}} \right)}^2} - q} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt D \cr}\)

• D > 0: Es gibt 2 Lösungen in R
• D = 0: Es gibt eine Doppellösung in R
• D < 0: Es gibt 2 konjugiert komplexe Lösungen in C

\(D < 0: \pm \sqrt { - D} = \pm \sqrt { - 1 \cdot D} = \pm \sqrt { - 1} \cdot \sqrt D = \pm i \cdot \sqrt D \)

Wurzelsatz von Vieta für eine quadratische Gleichung mit komplexen Lösungen

Der Satz von Vieta macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten p und q einer quadratischen Gleichung in normierter Darstellung mit einer Variablen x auf der einen Seite und den Lösungen (Nullstellen) z_i auf der anderen Seite

\(\eqalign{ & p = - \left( {{z_1} + {z_2}} \right) \cr & q = {z_1} \cdot {z_2} \cr}\)

abc Formel, auch „Mitternachtsformel“

\(\eqalign{ & a \cdot {z^2} + b \cdot z + c = 0 \cr & a,b,c \in {\Bbb R} \cr & a \ne 0 \cr & {z_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} \cr}\)

Fundamentalsatz der Algebra (komplexe Zahlen)

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jede ganze rationale Funktion y=p_n(x) genau n reelle oder komplexe Nullstellen besitzt, wobei k-fache Nullstellen auch k-fach gezählt werden. Fallen mehrere Nullstellen zusammen, so spricht man von der Vielfachheit der Nullstelle bzw. von k-fachen Nullstellen. Sind alle Koeffizienten a des Polynoms reell, so sind die entsprechenden Nullstellen entweder reell und / oder paarweise konjugiert komplex.

\(\eqalign{ & {p_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0} = \cr & = {a_n} \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - {x_n}} \right) \cdot {\text{Restglied}} \cr} \)

Es handelt sich dabei um einen reinen Existenzsatz. Explizite Lösungsformeln gibt es etwa für quadratische Gleichungen mit der abc Formel oder der pq Formel. Durch sogenannte Faktorisierung oder Abspaltung von Linearfaktoren (x-x_i) wandelt man die Summendarstellung in eine Produktdarstellung um, bei der die Lösungen der Gleichung bzw. die Nullstellen der Funktion sofort ablesbar sind.

Bezeichnungen von einfachen Polynomen:

Faktorisieren bzw. Abspaltung von Linearfaktoren bei komplexen Polynomen

Faktorisieren

Mit Faktorisieren bezeichnet man die Umwandlung eines Polynoms von der Summendarstellung in eine Produktdarstellung.
\({p_n}\left( z \right) = {a_n} \cdot {z^n} + {a_{n - a}} \cdot {z^{n - a}} + ... + {a_1} \cdot z + {a_0} = 0\) ⇒ \(p\left( z \right) = {p_n}\left( z \right) \cdot \,\,...\,\,\cdot \,{p_2}\left( z \right) \cdot {p_1}\left( z \right)\)

Abspaltung von Linearfaktoren

Jedes Polynom n-ten Grades lässt sich also als Produkt von n Linearfaktoren anschreiben.

Kennt man von einer algebraischen Gleichung mit reellen Koeffizienten a_n, .. a₀ eine (erste) Lösung z₀, so kann man den Linearfaktor (z-z₀) abspalten und so das Polynom im Grad reduzieren / vereinfachen.
\({p_n}\left( z \right) = {a_n} \cdot {z^n} + {a_{n - a}} \cdot {z^{n - a}} + ... + {a_1} \cdot z + {a_0} = 0\) ... Summendarstellung

Ist z ₀ eine Lösung (Nullstelle) vom Polynom p_n(z)=0, so gilt:
\({{\text{p}}_n}\left( z \right) = \left( {z - {z_0}} \right) \cdot {q_{n - 1}}\left( z \right)\) ... Produktdarstellung
wobei q ein einfacheres Polynom - das sogenannte Restglied ist.

• Wenn z₀ eine reelle Zahl (also eine Nullstelle) ist, so ist das Restglied vom Grad n-1.
• Wenn z₀ eine komplexe Zahl ist, so ist das Restglied vom Grad n-2, da komplexe Lösungen immer paarweise auftreten.

Das Polynom n-ten Grades lässt sich somit durch wiederholte Abspaltung von (komplexen) Linearfaktoren wie folgt faktorisieren:
\({p_n}\left( z \right) = {a_n} \cdot \left( {z - {z_0}} \right) \cdot \left( {z - {z_s}} \right) \cdot ... \cdot \left( {z - {z_n}} \right)\)

• Für Polynome ohne konstantes Glied gilt: Sie können durch Herausheben der niedrigsten Potenz von z faktorisiert werden.
• Für Polynome mit ausschließlich ganzzahligen Koeffizienten a gilt: Allfällige ganzzahlige Nullstellen sind stets ein Teiler des konstanten Gliedes a₀.