Komplexe Zahlen
Die Gleichung \({x^2} = - 1\) kann im Bereich der reellen Zahlen nicht gelöst werden, da x dabei die Wurzel aus einer negativen Zahl wäre, was unzulässig ist.
\({x^2} = - 1 \to x = \sqrt { - 1}\)
Leonhard Euler führte den Begriff \(\sqrt { - 1} = i\) in die Mathematik ein und definierte den Ausdruck \(z = a + i \cdot b = a + b \cdot \sqrt { - 1} \). Eine komplexe Zahl setzt sich somit aus einem Realteil und einem Imaginärteil zusammen. a und b sind dabei reelle Zahlen, i ist die sogenannte imaginäre Einheit. Die reellen Zahlen sind jener Spezialfall der komplexen Zahlen, für die der Imaginärteil der komplexen Zahl Null ist.
Definition der imaginären Einheit i
Die imaginäre Einheit i ist jene Zahl, deren Quadrat gleich -1 ist. Wir können damit Wurzeln aus negativen reellen Zahlen ziehen und Gleichungen vom Typ x2+1=0 lösen.
\(\eqalign{ & {i^2} = - 1 \cr & i = \sqrt { - 1} \cr}\)
Anmerkung für Elektrotechniker: Da in der Wechsel- und Drehstromrechnung durchgängig mit komplexen Zahlen gerechnet wird und i für die zeitabhängige Stromstärke i(t) steht, verwenden Elektrotechniker statt dem Buchstaben i den Buchstaben j, somit \(\sqrt { - 1} = j\)
Gleichheit komplexer Zahlen
Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie sowohl in ihrem Real-als auch in ihrem Imaginärteil übereinstimmen.
Höhere Potenzen der imaginären Einheit i
Die höheren Potenzen von i kann man wie folgt vereinfachen:
| \({i = \sqrt { - 1} }\) |
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\({{i^2} = - 1}\) |
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\({{i^3} = {i^2} \cdot i = - 1 \cdot i = - i}\) |
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\({{i^4} = {i^2} \cdot {i^2} = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 1}\) |
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\({{i^5} = \left( {{i^4}} \right) \cdot i = 1 \cdot i = i}\) |
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\({{i^6} = \left( {{i^4}} \right) \cdot {i^2} = 1 \cdot \left( { - 1} \right) = - 1}\) |
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\({{i^7} = \left( {{i^4}} \right) \cdot {i^3} = 1 \cdot \left( { - i} \right) = - i}\) |
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\({{i^8} = {{\left( {{i^4}} \right)}^2} = {{\left( 1 \right)}^2} = 1}\) |
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\({{i^9} = {{\left( {{i^4}} \right)}^2} \cdot i = {{\left( 1 \right)}^2} \cdot i = i}\) |
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\({{i^{10}} = {{\left( {{i^4}} \right)}^2} \cdot {i^2} = 1 \cdot \left( { - 1} \right) = - 1}\) |
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\({{i^{11}} = {{\left( {{i^4}} \right)}^2} \cdot {i^3} = {{\left( 1 \right)}^2} \cdot \left( { - i} \right) = - i}\) |
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\({{i^{12}} = {{\left( {{i^4}} \right)}^3} = 1}\) |
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\({{i^{13}} = {{\left( {{i^4}} \right)}^3} \cdot i = 1 \cdot i = i}\) |
Wir erkennen dabei ab i2 folgende Abfolge: -1, -i, 1, i die sich danach immerwieder wiederholt. Es bietet sich eine Zerlegung in Vielfache von i4 wegen i4=1 an.
Gauß'sche Zahlenebene
Grafisch werden komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt. Vergleichbar zu einem Vektor in der Ebene, wird der Realteil in Richtung der x-Achse und der Imaginärteil in Richtung der y-Achse (=imaginäre Achse) aufgetragen. Für komplexe Zahlen verwendet man verschiedene Darstellungsformen, nachfolgend die kartesische Darstellung auch Normalform genannt.
\(z = a + ib\)
Für die Darstellung in Polarkoordinaten benötigt man noch den Winkel, der sich wie folgt ergibt:
\(\varphi = \arctan \dfrac{b}{a}\)
Graphische Darstellung einer komplexen Zahl in der Gauß’schen Zahlenebene
Auf der x-Achse wird der Realteil also a bzw. r·cos \(\varphi\) aufgetragen, auf der y-Achse wird der Imaginärteil also b bzw. r·sin \(\varphi\) aufgetragen. Die komplexe Zahlenebene entspricht dabei der Gauß’sche Zahlenebene, wobei die x-Achse als reelle Achse und die y-Achse als imaginäre Achse bezeichnet werden.
\(\eqalign{ & z = a + bi; \cr & z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ); \cr}\)
Illustration einer komplexen Zahl in der Gauß'schen Zahlenebene
Betrag einer komplexen Zahl
Stellt man sich eine komplexe Zahl als Vektor in der Gaußschen Zahlenebene vor, wobei der Schaft vom Vektor im Ursprung und die Spitze vom Vektor an der Stelle \(\left( {a\left| b \right.} \right)\) liegt, so entspricht der Betrag der komplexen Zahl der Länge vom Vektor.
\(\eqalign{ & \left| z \right| = \left| {a + ib} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr & \left| {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \dfrac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}} \cr & \left| {{z_1} \cdot {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right| \cr & \left| {{z^n}} \right| = {\left| z \right|^n} \cr}\)
Konjugiert komplexe Zahl
Die zu einer komplexen Zahl konjugiert komplexe Zahl erhält man, indem man das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt, während das Vorzeichen der Realteils unverändert bleibt.
\(\eqalign{ & z = a + ib \cr & \overline z = a - ib \cr}\)
Geometrisch entspricht dies einer Spiegelung der komplexen Zahl um die x-Achse.
Illustration einer komplexen Zahl und der zugehörigen konjugiert komplexen Zahl