Aufgabe 30
Betrag komplexer Zahlen
Zeige:
\(\left| {{z_1} \cdot {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right|\)
Lösungsweg
Wir betrachten die beiden Seiten der Gleichung getrennt und zeigen, dass linke Seite = rechte Seite gilt;
Linke Seite:
\(\eqalign{ & \left| {{z_1} \cdot {z_2}} \right| = \cr & = \left| {\left( {{a_1} + {b_1}i} \right) \cdot ({a_2} - {b_2}i} \right| = \left| {{a_1}{a_2} + {a_1}{b_2}i + {a_2}{b_1}i - {b_1}{b_2}{i^2}} \right| = \cr & = \left| {({a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}) + ({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1})i} \right| = \cr}\)
Gemäß der Formel für den "Betrag einer komplexen Zahl" gilt:
\(\left| z \right| = \left| {a + ib} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}\)
\(\eqalign{ & = \sqrt {{{({a_1}{a_2} - {b_1}{b_2})}^2} + {{({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1})}^2}} = \cr & = \sqrt {a_1^2a_2^2 - 2{a_1}{a_2}{b_1}{b_2} + b_1^2b_2^2 + a_1^2b_2^2 + 2{a_1}{a_2}{b_1}{b_2} + a_2^2b_1^2} = \cr & = \sqrt {a_1^2a_2^2 + b_1^2b_2^2 + a_1^2b_2^2 + a_2^2b_1^2} \cr}\)
Rechte Seite:
\(\eqalign{ & \left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right| = \cr & = \left| {({a_1} + {b_1}i)} \right| \cdot \left| {({a_2} + {b_2}i)} \right| = \cr}\)
Gemäß der Formel für den "Betrag einer komplexen Zahl" gilt:
\({\text{mit: }}\left| z \right| = \left| {a + ib} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}\)
\(\eqalign{ & = \sqrt {a_1^2 + b_1^2} \cdot \sqrt {a_2^2 + b_2^2} = \cr & = \sqrt {(a_1^2 + b_1^2) \cdot (a_2^2 + b_2^2)} = \cr & = \sqrt {a_1^2a_2^2 + b_1^2b_2^2 + a_1^2b_2^2 + a_2^2b_1^2} \cr}\)
linke Seite = rechte Seite
\(\sqrt {a_1^2a_2^2 + b_1^2b_2^2 + a_1^2b_2^2 + a_2^2b_1^2} = \sqrt {a_1^2a_2^2 + b_1^2b_2^2 + a_1^2b_2^2 + a_2^2b_1^2}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\sqrt {a_1^2a_2^2 + b_1^2b_2^2 + a_1^2b_2^2 + a_2^2b_1^2} = \sqrt {a_1^2a_2^2 + b_1^2b_2^2 + a_1^2b_2^2 + a_2^2b_1^2}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung sowohl in Real- und Imaginärteil mit der korrekten Lösung übereinstimmt.